斜布朗运动的密度及其泛函及其应用

LetN（x，y，ρ）=xZ-∞yZ-∞e1-ρ-Z-ρzz+z2πp1- ρdzdz，x，y∈ R、 （30）具有零均值、单位方差和相关ρ的二元正态分布的点累积分布函数。也表示φ（S）=log（S）σ（S）=（log（S）/σ，S≥ 1，对数/σ，S<1，h（t，x，b）=x√2πte-（x+bt）2t，t∈ R+、x、b∈ R、 （31）最后，为了简单起见，我们在定理3中假设无风险利率为零。定理3设St为方程（17）和函数（18）的随机过程。给定k>0和S>0表示k=φ（k）和x=φ（S）。设Cin=Cin（S，K，T）为行使K和到期日T的欧式看涨期权中aknock的价格，给定初始价格S.1），如果S≥ 1，K>1，则CIN=pe-σxFcallσ、 x-e.打电话-σ、 x其中fcall（a，x）=TZF（T- t） F（a，t，x，1）e-tσdt，（32），其中F（s）=√σe-σs- σe-σs+√πsσΦ√sσ-Φ√sσ√πs（σ）-σ） ，（33）F（a，t，x，θ）=√2π√特卡-（|x |+|k |）2t+aea | x |+ta1.- Φθ| x |+k|√T-A.√T. （34）2）如果S<1，K>1，则cin=2peσxG-σ、 x- ekσGσ、 xG（a，x）=TZe-σv-σ（T）-v） eσu（pq）+v-|x | paqG（a，v，|x |，-pqaDVG（a，v，y，w）=∞Zk∞Zh（v，lp+x，a）h（T）- v、 lq+y，w）dldx。反过来，GCF可以用标准正态分布（即用其pdf（28）和cdf（29）表示）和二元正态cdf（30）表示为以下（a，y，v，w）qpv（T- v） =n（γX+Y）n（X）1+γ-γY（1+γ）3/2nYp1+γ！Φ-（1+γ）X+γYp1+γ！-αp1+γnYp1+γ！Φ-（1+γ）X+γYp1+γ！-βn（X）Φ(-γX- Y）-γp2π（1+γ）nYp1+γ！Φ-（1+γ）X+γYp1+γ！+αβN-十、-Yp1+γ，-γp1+γ！式中α=w√T- v、 β=a√v、 γ=pqrT- vv，andX=y+（T- v） w√T- v、 Y=qk- py- pw（T）- v） +qvaq√v、 定理3在第4.3.4节证明中得到证明。定理1和定理2的证明我们只证明定理1。

定理2可以用类似的方法用直公式证明（见备注2）。给定n∈ N考虑离散时间马尔可夫链S（N）k∈ R、 k∈ Z+，由以下转换概率P指定S（n）k+1=x+1 | S（n）k=x>0= PS（n）k+1=x- 1 | S（n）k=x>0=,PS（n）k+1=x+1 | S（n）k=x<0= PS（n）k+1=x- 1 | S（n）k=x<0=,PS（n）k+1=1 | S（n）k=0= p、 pS（n）k+1=-1 | S（n）k=0= q=1- p、 定义以下随机过程x（n）t=√nS（n）[nt]+nt- [nt]√NS（n）1+[nt]-南（北）[nt], T≥ 过程X（n）皮重的0.（35）个数量（9）、（8）和（10）定义如下：τ（X（n））=τnn，V（X（n））=Vnn，L（X（n））=Ln，其中τn=maxnk:S（n）k=0o，（36）Vn=τnXi=0nS（n）i≥0，S（n）i+1≥0o，（37）Ln=[tn]Xi=0nS（n）i=0o。（38）定理1由下面的引理2和3所暗示。引理2设X（n）为（35）定义的过程，设τn、vn和Lnbe为（36）、（37）和（38）定义的量。然后τnn，Vnn，Ln√n、 X（n）T→τ、 V，L（0）T（W（p）），W（p）T,在分布上，如n→ ∞.引理2的证明。文献[14]证明了X（n）t在连续函数空间中的收敛性→ ∞, 这意味着引理的要求。引理3设X（n）为（35）定义的过程，设τn、vn和Lnbe为（36）、（37）和（38）定义的量。

假设数rn，r1，nand的序列是2r1，nn→ 十、∈ [0，T]，2（rn）-r1，n）n→ Y∈ [0，T]，千牛√N→ L∈ R+，作为n→ ∞,其中x+y=t≤ T.1）此外，如果√N→ Z≥ 0，作为n→ ∞, 德林→∞NPVn=2r1，n，τn=2rn，Ln=kn，X（n）=jn | X（n）=0=2pqlz[2πx（t- x） （T）- t） ]3/2e-z2（T）-（t）-Lpx+qt-十、.2） 此外，如果√N→ z<0，为n→ ∞, 德林→∞NPVn=2r1，n，τn=2rn，L（n）n=kn，X（n）=jn | X（n）=0=2pql | z |[2πx（t- x） （T）- t） ]3/2e-z2（T）-（t）-Lpx+qt-十、.引理3在第4.2节中得到了证明。注2定理2可以通过适当修改定理1的证明来证明。首先，研究了马尔可夫链S（n）k的转移概率∈ R、 k∈ Z+，应根据以下内容进行修改S（n）k+1=x+1 | S（n）k=x>0=1+m√N,PS（n）k+1=x- 1 | S（n）k=x>0=1.-M√N,PS（n）k+1=x+1 | S（n）k=x<0=1+m√N,PS（n）k+1=x- 1 | S（n）k=x<0=1.-M√N,PS（n）k+1=1 | S（n）k=0= p、 pS（n）k+1=-1 | S（n）k=0= q=1- p、 假设X（n）是一个由等式（35）定义的随机过程。在无漂移的情况下，通过直接修改[14]中的证明（参见[20]），可以证明X（n）toSBM与漂移m的收敛性。收敛意味着类似于L emma 2。在非零漂移的情况下，对引理3的陈述和证明进行适当的修改也是ratherstraightforward。我们跳过了细节。或者，我们可以将定理1和Gir-sanov定理（见备注1）结合起来，得到定理2.4.2引理3的证明，记住X（n）是（35）定义的过程。定义1给定n考虑离散轨迹X（n）tk，k=0，1，n、 kn=1，其中，我们表示，[T n]。o交通的一部分X（n）tk，X（n）tk+1，X（n）tk+2d这样X（n）tk=0，X（n）tk+1>0，X（n）tk+2d-1> 0，X（n）tk+2d=0，称为长度2d的正循环。类似的，这是轨迹的一部分X（n）tk，X（n）tk+1，X（n）tk+2d这样X（n）tk=0，X（n）tk+1<0。

，X（n）tk+2d-1<0 X（n）tk+2d=0，称为长度为2d的负循环设Rn为轨迹X（n）tk中的正循环数，k=0，[T n]。o给定r，r，k，i∈ Z+，其中r≤ r和我≤ k、 确定以下轨迹集x（n）tk，k=0，[tn]，即ar，r，k，i={τn=2r，Ln=k，Rn=i，Vn=2r}。请注意，正循环和负循环的总数都等于Ln。我们证明了引理只有当z≥ 0（可以认为z<0的情况类似）。给定j≥ 0bn，r，j=nX（n）t2r+1>0，X（n）t[t n]-1> 0，X（n）T=jo。很容易看出p（Vn=2r1，n，τn=2rn，Ln=kn，X（n）=jn | X（n）=0=knXi=0P（Arn，r1，n，kn，i）！PBn，rn，jn | X（n）t2rn=0引理的陈述由以下两个命题所暗示。引理3limn假设下的命题1→∞nknXi=0P（Arn，r1，n，kn，i）=2pqlπ（x（t）- x） ）3/2e-Lpx+qt-十、= 4h（x，pl）h（t）- x、 lq）。命题2 1）在引理3，limn第1）部分的假设下→∞NPX（n）t2r+1>0，X（n）t[t n]-1> 0，X（n）T=j | X（n）t2r=0=rπ2pz（T- t） 3/2e-z2（T）-t） =4ph（t- t、 z）.2）在引理3第2部分的假设下，limn→∞NPX（n）t2r+1<0，X（n）t[t n]-1<0，X（n）T=j | X（n）t2r=0=rπ2q | z |（T）- t） 3/2e-z2（T）-t） =4qh（t- t、 4.2.1命题1的证明我们在证明中写出r=rn，r=r1，和k=knth。很容易看出长度为2d的正循环和长度为2d的负循环的概率，其中d≥ 1，分别等于2p/4d和2q/4d。因此，从mar，r，k，iis到m的单路径的概率等于tokpiqk-i2r。（39）用N2d表示，长度为2d的路径数，从原点开始和结束，由i个循环形成，与它们的符号无关。很容易看出，长度为2d的路径的数量，从原点开始和结束，由相同符号的i个循环构成，等于N2d，i/2i。因此，形成集Ar、r、k、iis的轨迹数等于基N2r，iiN2（r-r） ，k-ik-我

（40）注意n2d，i2d=f（i）2d，（41），其中f（i）2d是i-SSRW返回原点发生在时刻2D。总结方程式（39）、（40）和（41），我们得到以下公式（Ar，r，k，i）=基皮克-if（i）2rf（k）-i） 2（r）-r） 。已知（第7节，第3章[9]）tf（i）2d=i2d- i2d-我二维- 身份证件.如果d很大，而i/（2d）不是很大或接近于零，则可以使用以下近似值（第7节第3章[9]中的方程式（7.6））f（i）2d≈rπi（2d）- i） 3/2e-i2（2d-i） 。使用这种近似可以证明kXi=0基皮克-if（i）2rf（k）-i） 2（r）-r）-πkXi=0基皮克-ii（k）- i） e-i2（2r）-（一）-（k）-i） 2（2（r）-r）-k+i）（2r-i） 3/2（2（r）- r）- k+i）3/2→ 0，（42）作为n→ ∞. 在引理3的假设下，前面显示的第二个和可以由以下的onen2lπ（xy）3/2kXi=0代替基皮克-ii（k- i） 柯-Likx+y（1）-ik）, （43）这反过来等于期望值EFξnk, 式中，ξ是一个参数为knand p的二项随机变量，其中函数F定义为以下F（z）=z（1- z） e-Lzx+（1）-z） y.根据大数定律Fξnk→ F（p）=pqe-Lpx+qy, 作为n→ ∞, （44）结合方程（42），（43）和（44），我们得到nkXi=0P（Ar，r，k，i）=nkXi=0基皮克-if（i）2rf（k）-i） 2（r）-r）→2pqlπ（x（t）- x） ）3/2e-Lpx+qt-十、,作为n→ ∞.4.2.2命题2的证明在第9章[4]中得到了证明，作为推导标准BM联合分布、其最后一次访问起源和职业时间的一部分。为了完整和方便读者，我们在这里给出证明。为了表示法的简单性和不丧失一般性，我们假设[tn]是一个整数，因此T[tn]=T。很容易看出，单个轨道的概率，比如X（n）t2r=0，X（n）t2r+1>0，X（n）t[t n]-1> 0，X（n）t[tn]=X（n）t=j>0，等于p/2n-2r-1.因此，PX（n）t2r+1>0，tT（n）X-1> 0，X（n）T=j | X（n）t2r=0= 2pP（S2r+1>0。

，ST n-1> 0，ST n=j | S2r=0），其中是简单对称随机游动（SSRW）。如果不是-2r和j具有相同的奇偶性，然后p（S2r+1>0，…，Sn）-1> 0，ST n=j | S2r=0）=jT n- 2rP（圣北）-2r=j | S=0）。很容易看出，在lemmaj的假设下√T n- 2r→Z√T- t、 因此，根据局部极限定理√T n- 2rP（圣北）-2r=j | S=0）→√2πe-z2（T）-t） 。我们通过注意到Limn来总结证据→∞n2j（tn- 2r）3/2=2z（T- t） 3/2.4.3定理3的证明。很容易看出，如果S>1，K>1，那么我们可以得到下面的期权价格公式=∞Zk∞ZZΓT，1eσx- eσkE-（t+v+s）λ-uλ+（x-x） uh（t，x）ψp，t-t（u+v，v，x，l）dtdxdldvdsw其中λi=σi，i=1，2，这是到零的命中时间，v和u分别是正半线和负半线的占用时间，这是从最后一次到原点（即t+v+u）之间观察到的，s=t-（t+v+u），Γt，1={（t，v，u，s）：t+v+u+s=t}，其中ψp，t-由（11）决定，即ψp，T-t（u+v，v，x，l）=2ph（v，lp）h（u，lq）h（s，x），因为x>0。利用命中时间的卷积性质，我们得到zt+s=th（t，x）h（s，x）dtds=tZh（t- s、 x）h（s，x）dtds=h（t，|x |+|x |）。注意2ph（v，lp）h（u，lq）h（t，|x |+|x |）=ψp，t（v+u，v，|x |+| x |，l）并重写Cinas followsCin的表达式=∞Zk∞ZZΓT，2eσx- eσkψp，T（v+u，v，|x |+|x |，l）e-（t+v）λ-uλeu（x-x） dldtdvdx，其中ΓT，2={（T，v，u）：T+v+u=T}。表示（u，v）=2∞Zh（v，lp）h（u，lq）dl=pq√2π（pu+qv）3/2我们可以重写cin=p∞ZkZΓT，2eσx- eσkg（u，v）h（t，|x |+|x |）e-（t+v）λ-uλeu（x-x） dtdvdx。

（45）进一步回顾σ=-2u对于priceCin=pe，我们得出以下表达式-σxFcallσ、 x- e.打电话-σ、 x,式中，fcall（α，x）=Z∞kZt+v+u=Tg（u，v）e-vλ-uλh（t，|x |+|x |）eαxe-tλdtdvdx。关于变量u，v的积分，前提是u+v=T- t=s是固定的，我们得到函数f（s）=Zv+u=sg（u，v）e-vλ-uλdv=σσ- σ\"√2πse-sσ-E-sσ+Φ√sσ- Φ√sσ#,由等式（33）确定。积分出变量x，我们得到∞kh（t，|x |+|x |）eαxdx=√2π√tekα-（|x |+|k |）2t+αetα-α| x|1.- Φ|x |+|k |- tα√T= F（α，t，x，1），其中函数F（α，t，x，θ）由（34）定义。最后，我们重写了Fand FFcall（α，x）=TZF（T）的Fcallin项- t） F（α，t，x，1）e-tσdt，如（32）所述。定理3第2部分的证明。如果S<1且K>1，那么x=φ（S）=log（S）σ<0，K=φ（K）=log（K）σ>0，我们使用第1部分证明中引入的符号得到=∞Zk∞ZZΓT，1eσx- eσkh（t，x）ψp，t-t（v+u，v，x，l）e-λ（v+s）-λ（t+u）+ux-uxdtdxdldvds，其中，与之前一样，h（t，x）ψp，t-t（u+v，v，x，l）=2ph（t，x）h（v，lp）h（u，lq）h（s，x）。我们在第1部分中使用了命中时间的卷积性质，但现在分别在给定约束v+s=const和t+u=const的情况下，对产品h（v，lp）h（s，x）和h（t，x）h（u，lq）进行积分。它导致priceCin=2pTZ的以下表达式∞Zk∞Zeσx-eσkh（v，lp+x）h（u，lq+|x |）e-λv-λu+ux-uxdldxdv=2peσxTZe-σv-σu∞Zk∞Zeσx- eσkh（v，lp+x）h（u，lq+|x |）e-σxdldxdv=2peσxTZe-σv-σu∞Zk∞Zh（v，lp+x）h（u，lq+|x |）eσxdldxdv-2peσx+σkTZe-σv-σu∞Zk∞Zh（v，lp+x）h（u，lq+|x |）e-σxdldxdvwu=T- v和ui=-σi/2和λi=σi/8。RewriteCin=2peσxTZe-σv-σ（T）-v）我-σ、 |x |，v-eσkIσ、 |x |，vdv，（46）其中i（a，y，v）=∞Zk∞Zh（v，lp+x）h（u，lq+y）e-axdldx，y≥ 0

注意h（v，lp+x）h（u，lq+y）e-ax=h（v，lp+x，a）eva+alph（u，lq+y）=eva+u（apq）-aypqh（v，lp+x，a）hu、 lq+y，-apq-1.其中h（t，x，b）由（31）定义，因此我们可以重写i（a，y，v）=eva+t-五（apq）-aypqGa、 v，y，-apq-1.,式中g（a，v，y，w）=∞Zk∞Zh（v，lp+x，a）h（u，lq+y，w）dldx。（48）留下来证明G（a，y，v，w）可以用标准正态分布和双变量正态分布表示。注意到h（v，lp+x，a）h（u，lq+y，w）=（lp+x）（lq+y）2π（uv）3/2e-（lp+x+va）2v-（lq+y+uw）2uan和变化变量z=lp+x+av√vand z=lq+y+uw√uwe可以重写gasflowsg（a，y，v，w）=ZDe的表达式-W-w2π（z）-A.√v） （z）- W√u） q√其中D={（z，z）∈ R:z√u>y+uw，-zp√u+q√大众>qk-py+qva-puw}。表示α=w√u、 β=a√v、 X=y+uw√u、 Y=qk- py- puw+qvaq√v、 γ=pqruv，和Γ={（z，z）：z>Y+γz，z>X}。在这些符号中（a，y，v，w）=ZΓe-Z-z2π（z）-β） （z）- α） q√UVDZ=q√uvJ（a，y，v，w），其中J（a，y，v，w）=RΓn（z）n（z）（z）- β） （z）- α） 函数n由（28）定义。注意j（a，y，v，w）=ZΓzzn（Z）n（Z）dzdz-αZΓzn（Z）n（Z）dzdz- βZΓzn（Z）n（Z）dzdz+αβZΓn（Z）n（Z）dzdz:=J+J+J+J。可以显示（我们跳过中间计算细节）J=n（γX+Y）n（X）1+γ-γY（1+γ）3/2nYp1+γ！Φ-（1+γ）X+γYp1+γ！J=-αp1+γnYp1+γ！Φ-X（1+γ）+γYp1+γ！J=-βn（X）Φ(-γX- Y）-γp2π（1+γ）nYp1+γ！Φ-（1+γ）X+γYp1+γ！J=αβN-十、-Yp1+γ，-γp1+γ！这就完成了定理第二部分的证明。5 Black-S-choles近似在本节中，我们推导了一个基于Black-Scholes（BS）公式的期权价格的简单而准确的近似值。我们使用与第3.2节和第4.3节相同的符号。在不丧失一般性的情况下，假设S=1（x=0）和K>1（K>0）。在这种情况下，C=C，等式（45）变成C=p∞ZkZt+u+v=Teσx- eσkg（u，v）h（t，x）e-（t+v）λ-uλeuxdtdvdx。

（49）这种近似是由以下想法驱动的。由于k>0，我们“最应该”在Xt的那些区域中，即sp在Xt>0区域结束“大部分寿命”，其中σ=σ。因此，让我们首先替换函数e-（t+v）λ-（49）中的uλ乘以e-λT。其次，积分出变量v和u=T- T- v givesT-tZg（u，v）dv=T-tZpq√2π（p（T）- T- v） +qv）3/2dv=p2π（T- t） =2p（0，t）- t） ，其中p（y，t）-t） 是时间t时标准BM的转变密度-所以积分的结果不依赖于p和q。因此，在表示σ的λ和u中间值后，我们得出期权价格C的以下近似值≈ 2p∞Zkeσx- eσkE-σTe-σxTZh（t，x）p（0，t）- t） dtdx=2p∞Zkeσx- eσkE-σT-σxp（x，T）dx=2σ+σBSC（σ）（50），其中，BSC（σ）是具有相对性σ的对数正态模型下期权的BS价格。很明显，如果我们在前面显示的两侧设置σ=σ，那么近似值将成为波动率为σ的看涨期权价格的BS公式。使用相同的参数，我们可以得到类似的看跌期权价格近似值。也就是说，如果S=1，那么行使K<1的看跌期权的价格可以近似为followsput≈ 2qBSP（σ）=2σ+σBSP（σ），（51），其中BSP（σ）是波动率为σ的看跌期权的BS价格。与调用选项的情况类似，BS近似提供了上限（如果σ>σ）或下限（如果σ<σ）。图1左侧显示的一条不连续（K=1）曲线是通过使用近似值计算的隐含可用性曲线。在这个计算中，如果K>1，则使用买入价；如果K<1，则使用卖出价。图1左侧中间的实心曲线是使用定理3提供的精确公式计算的隐含波动率曲线。

很容易看出，如果σ<σ，那么在买入（卖出）期权的情况下，BS近似提供了价格的上限（下限），反之亦然，如果σ>σ，那么近似提供了买入（卖出）价格的下限（上限）。在本例中，σ=0.5<σ=0.9，因此，如果K<1，近似曲线低于精确曲线，如果K>1，则近似曲线高于精确曲线，如预期。上虚线曲线是通过使用[21]中提出的近似值计算的隐含波动率曲线，用于校准具有分段波动率（t iled LVM）的LVM。后者将两值LVM作为一种特殊情况。BS近似可以改进。事实上，回想一下，我们必须拥有C- Put=K- S、 如果K=S，则变成C=Put。看跌期权平价对近似价格没有影响，我们调整它们，使看跌期权平价保持在K=1。也就是说，定义以下调整系数sacl=pBSC（σ）+qBSP（σ）2pBSC（σ），Apt=pBSC（σ）+qBSP（σ）2qBSP（σ），并将近似价格重新定义为^BSC（σ）=AclBSC（σ）和^BSP（σ）=AptBSP（σ）。根据构造，调整后的价格在K=1时，看跌期权平价现在保持不变。该调整平滑了近似隐含波动率曲线，该曲线在任何地方都是连续的。调整结果如图1右侧所示，其中实线和上虚线与之前一样，新的da shed曲线是通过使用调整后的价格计算出来的。很明显，调整改进了近似。最后，数值试验表明，随着激发时间的减小，近似精度提高，这与直觉相符。0.81.01.21.40.600.650.700.75ExactLiptonSeppSimple0。81.01.21.40.600.650.700.75ExactLiptonSeppSimple调整图1：隐含波动率曲线，σ=0.5，σ=0.9，T=2，S=1。