斜布朗运动的密度及其泛函及其应用

在两种图中：实线对应于两值LVM，虚线上曲线对应于Lipton Sepp的近似值。使用BS近似计算的隐含波动率：左侧无调整，右侧有调整。6关于位移扩散模型的注释，以及关于SBM及其泛函联合分布的结果，也可应用于以下位移模型中的导数定价=σ（St- α） 1{St≥s*}+ σ（St-α） 1{St<S*}dWt，（52），其中σ6=σ，αi∈ R、 i=1、2和S*> 0.模型（52）是[6]dSt中考虑的以下模型的特例=σ（St-α） β{St≥s*}+ σ（St-α） β{St<S*}dWt。其中，除此之外，βi≥ 0，i=1，2。在[6]中，他们推导出了基础过程的过渡密度的某些半解析表达式。[6]中的技术是对[11]中使用的技术的改编。在本文中，[11]的技术基于一个众所周知的观测（例如[10]），即跃迁密度满足部分微分方程，并且可以通过相应的Sturm-Liouville问题中的特征函数展开来构造。一般来说，这些跃迁密度的本征函数展开很难解析处理，需要近似。应注意的是，在[6]中，在σ=σ，α6=α的特殊情况下，得到了转换密度的解析表达式，因此接缝密度对占用时间的依赖性变得非常明显（例如，见等式（13）or（27），其中m=m）。还请注意，如果σ=σ=σ，β=β=1，α=α=a，则这是位移对数正态模型的经典情况。Latter就是St=Zt- a、 式中，zt是对数正态过程，可以用m的局部波动率来表示，na mely，dSt=σ（1-a/St）标准载重吨。

对于近似更复杂的随机过程，离散差分是一个非常有用的工具。主要原因是该模型是任何LVM的一阶近似值（见[1]中的备注7.2.14和其中的其他示例）。对于任何类型的置换模型，一个已知的问题是，理论上，基础过程可能会出现负值（例如，当αi>0时）。这个问题可以通过施加一些限制来解决。例如，我们可以考虑α=0的模型（52），而不是经典的位移对数模型。这意味着波动率是S级以上的双曲函数*和一个低于S级的常数*因此，当过程接近0时，可以防止获取大值。将我们的结果应用于具有此类约束的置换对数正态模型是相当直接的。让我们举一个例子，模型（52），其中S*= 1，α<1且α=0，并简单考虑过程从S<1开始时的情况。给定σ、σ、α和走向K>1，定义=σ+σ（1- α） ，q=1- p、 k=σ对数K- α1 - α, x=log（S）σ，b=qσ- pσ。然后，具有行使K和到期日T的敲入式欧式看涨期权的价格由以下积分给出：Cin=2p（1- α)∞Zk∞ZZΓT，1eσx-eσkE-lβ-λ（s+v）-xu-λ（t+u）+uxR（u，v，x，l，t）dxdldvdtw其中R（u，v，x，l，t）=h（t，x）ψp，t-t（u+v，v，x，l），我们使用了定理3第1部分开头介绍的符号。

使用与定理证明中相同的论证，可以证明上述积分的计算可以简化为以下积分的计算：=∞Zk∞泽-斧头-blh（v，lp+x）h（u，lq+y）dldx。反过来，通过适当修改应用于积分（47）的参数，可以用一元和二元nor分布来表示前面显示的积分，如下所示：I（b，a，v，y）=eνu+av+νyq√uve-X+（Y+γX）2π（1+γ）-是-XΦ(-Y- γX）√2π+p2π（1+γ）-A+Bγ-γY1+γE-Y（1+γ）Φ-（1+γ）X+γY）p1+γ+荷兰银行-十、-Yp1+γ，-γp1+γ！！其中ν=-美联社-bq，A=ν√u、 B=a√v，Y=q（k+av）-p（νu+y）q√v、 X=νu+y√uandγ=pqpuv。参考文献[1]Andersen L.和Piterberg V.（2010年）。利率建模。大西洋财经出版社。[2] Appuhamillage，T.，Bokil，V.，Thomann，E.，Waymire，E.，Wood，B.（2011）：校正：斜布朗运动的占领和当地时间，以及在界面上分散的应用。《应用概率年鉴》，21，N5，第2050-2051页。[3] 阿普哈米拉奇，T.，博基尔，V.，东托曼，东韦米尔，伍德，B.（2011）。斜布朗运动的占位符和局部时间，以及在界面上分散的应用。《应用概率年鉴》，21，N1，第183-214页。[4] 比林斯利P.（196 8）。概率测度的收敛性。Jo hn Wiley&Sons公司[5]Decamps，M.，De Schepper，A.和Goovaerts，M.（2004）。δ的应用-衍生证券定价的函数扰动。Ph ysica A，342，第67-692页。[6] 迪坎普斯，M.，古韦茨，M.，和肖滕斯，W.（2006）。自激阈值对模型产生兴趣。《理论与应用金融国际期刊》，第9期，第7期，第10931122页。[7] 迪坎普斯，M.，古韦茨，M.，和肖滕斯，W.（2006）。不对称斜贝塞尔过程及其在金融中的应用。《计算与应用数学杂志》，186，第130-147页。[8] 杜皮尔，B。

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