斜布朗运动的密度及其泛函及其应用

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英文标题：
《Density of Skew Brownian motion and its functionals with application in
  finance》
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作者：
Alexander Gairat and Vadim Shcherbakov
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We derive the joint density of a Skew Brownian motion, its last visit to the origin, local and occupation times. The result is applied to option pricing in a two valued local volatility model and in a displaced diffusion model with constrained volatility.
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中文摘要：
我们推导了一个斜布朗运动的联合密度，它的最后一次访问的起源，当地和占领时间。该结果应用于二值局部波动模型和波动率受限的位移扩散模型中的期权定价。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Density_of_Skew_Brownian_motion_and_its_functionals_with_application_in_finance.pdf (286.12 KB)

2022-5-6 10:39:47 上传

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关键词：布朗运动 Mathematical Quantitative Differential Applications

斜布朗运动的密度及其函数及其在金融领域的应用*Vadim Shcherbakov+摘要我们推导了一个斜布朗运动的联合密度，它最后一次到达原点，它的局部时间和占领时间。结果表明，在两值局部波动率模型和具有约束波动率的置换扩散模型下，欧式期权的定价都有明确的解析公式。关键词：斜布朗运动，局部波动模型，置换扩散，局部时间，占用时间，简单随机游走，选项原则1简介参数为p的斜布朗运动（SBM）是一个马尔可夫过程，随着标准布朗运动在原点的反映而演化，因此下一次偏移选择为概率p为正。SBM在[18]中被引入，并从那时起被广泛研究不概率性。这一过程自然出现在各种应用中，例如[3]和[20]，尤其是在基本应用中，例如[5]、[6]、[7]和[24]。在本文中，我们推导了SBM及其一些泛函的联合分布，并将该分布应用于具有不连续性的局部波动模型和具有约束波动性的位移扩散模型下的衍生定价。让(Ohm, F、 P）是概率空间，设{Wt，Ft，t≥ 0}是一个标准的布朗运动（BM）及其自然过滤。通常，分别用所有实数和所有非负实数的R和R+集表示。基本价格STI的局部波动率模型（LVM）由以下等式给出：dST=u（t）Stdt+σ（t，St）StdWt，（1），其中u（t）∈ R和σ（t，St）∈ R+。LVM是著名黑人学者模型的自然延伸。后者是（1）的一种特殊情况，其中漂移u和波动率σ均为常数。LVM在实践中得到了积极的应用，因为它可以很容易地根据市场进行校准。

此外，通过Gyongy引理（[13]）可以将更广泛的随机波动率模型简化为LVM。*莫斯科Gazprombank。电邮地址：亚历山大。Gairat@gazprombank.ru+伦敦大学皇家霍洛韦数学系。电子邮件地址：瓦迪姆。shcherbakov@rhul.ac.ukA已为校准目的和定性分析开发了大量LVM近似值（[12]）。我们主要将我们的概率结果应用于LVM的一个特定案例，该案例可作为分析此类近似质量的基准模型。也就是说，我们考虑了具有二值波动率（二值LVM）σ（t，S）=σ{S的无漂移LVM≥s*}+ σ{S<S*}, （2） 其中σi>0，i=1，2，S*> 0和1用于表示集合A的指示函数。在不丧失一般性的情况下，我们假设S*= 1在接下来的内容中。在第3.1节中，我们表明，如果STT遵循二值LVM，则重标过程Xt=log（St）/σ（St）是以下类型的随机微分方程（SDE）的解Xt=X+tZm（Xs）ds+（2p- 1） L（0）t（X）+Wt，（3）其中L（0）t（X）是过程Xtat 0的本地时间，p∈ （0,1），m（x）=m{x≥0}+m{x<0}，m，m∈ R、 （4）p和pair（m，m）都是由σ和σ（引理1）唯一确定的。而不是ice thatSDE（3）属于以下类型的SD E，本地时间dxt=b（Xt）dt+σ（Xt）dWt+ZRν（dx）dL（x）t（x），（5）其中，ν是一个有限符号度量，在点处有at oms，其中b和σ可以不连续，L（x）t（x）是过程x在x处的局部时间。众所周知，在某些一般条件下，SDE（5）具有唯一的强解，这些条件在方程（3）中得到满足（例如[19]、[20]和其中的参考文献）。特别是，如果m≡ 那么方程（3）的一个唯一强解是一个带参数p的SBM，从现在开始我们将用byW（p）t表示。如果m=m=m，那么方程（3）采用以下形式xt=X+mt+（2p- 1） L（0）t+Wt。

（6） 例如，方程（6）定义的扩散过程出现在[3]中的一项跨SSAN界面扩散研究中，并在该研究中被命名为带参数p和漂移m的SBM。通过模拟y，我们将方程（3）的解视为带两值漂移的SBM。具有两个值位移（4）的SBM在初始位置的反映方式与无漂移的W（p）和BM在高于零时的演变方式相同，在低于零时的演变方式分别为漂移M和漂移M。一般来说，LVM下的期权价格是通过数值求解相应的偏微分方程来计算的，尽管一些半解析结果也是已知的。例如，在[6]中获得了LVM的半解析结果，其中σ（t，S）=σ（S）在除一点外的所有点上都是连续的。[21]提供了另一个例子，其中获得了具有所谓平铺局部波动率的LVM的半分析结果。在无漂移和二值漂移两种情况下，我们推导了W（p）t的联合密度、其最后一次到达原点的时间、局部时间和占据时间的显式公式。然后将联合密度应用于波动率为（2）的LVM和波动率为约束的置换扩散模型下的期权定价。第二个模型在第6节中定义，在实际应用中具有特殊性。应该注意的是，这两种模型都属于[6]中考虑的更一般的LVM类别。事实证明，这两种情况下的欧式期权价格都可以用标准的单变量正态分布和无变量正态分布来解析表示。SBM及其泛函的联合分布本身就令人感兴趣。例如，在[3]中获得了具有恒定漂移的SBM接头密度、其局部时间和占用时间。

[3]的结果推广了[16]的经典结果，其中标准BM得到了相同的三变量密度。[3]对[18]中的技术进行了修改，以获得SBM的Feynman–Kac公式，这使他们能够采用[16]中的方法。而[16]的方法则是基于关节密度的拉普拉斯变换的计算。相比之下，我们使用随机游动对SBM进行离散逼近，并将离散过程的n直观清晰路径分解与对称简单随机游动的一些众所周知的性质相结合，从而实现我们的方法的关键步骤。这使我们能够推导出感兴趣量的离散类似物的联合密度的解析可压缩表达式，并计算极限密度。离散近似是获得bo t h BM和SBM及其泛函（例如[22]或[25]）的jo int分布的一种众所周知的方法。我们受到了[4]中使用该方法计算标准BM联合分布的启发，它包括职业时间和最后一次访问原点。这篇论文的结构如下。我们在第2节中给出了SBM及其泛函的联合分布的结果。在第3节中，我们描述了具有二值波动率的LVM和具有二值漂移的SBM之间的关系。第3.2节中的定理3是二值LVM下期权定价定理的一个例子。第4节给出了证明。在第5节中，我们还基于Black-Scholes公式推导了期权价格的一个简单闭式近似。将近似结果与定理3给出的精确结果和[21]中得到的另一个近似结果进行比较，以检验近似结果的有效性。

最后，我们将在第6节讨论我们的结果如何应用于波动率受限的置换扩散模型下的衍生品定价。2.给出了一个连续半鞅Xt，t∈ [0，T]，定义以下量τ=min{T:Xt=0}（7）τ=max{T∈ （0，T）：Xt=0}，（8）V=τZτ{Xt≥0}dt。（9） 同样，设L（x）t（x）是x点x的对称局部时间。特别是，如果Xt=W（p）t，或x是方程（3）的解，则L（x）t（x）=limε→02εtZ{x-ε≤徐≤x+ε}du。（10） 在下文中，我们只考虑对称的本地时间（本地时间）。我们关于SBM及其泛函的联合密度的主要结果是以下定理。定理1 Letτ、 V，L（0）T（X）是由方程式（8）、（9）和（10）确定的量，其中xt=W（p）t。给定X=0τ、 V，XT，L（0）T（X）isψp，T（T，v，x，l）=2a（x）h（v，lp）h（T- v、 lq）h（T）- t、 x），0≤ 五、≤ T≤ T、 l≥ 0，（11）其中q=1- p、 a（x）=（p，如果x≥ 0，q，如果x<0，h（s，y）=y|√2πse-y2s，y∈ R、 s∈ R+，（12）是从y开始的标准BM第一次通过时间到零的概率密度函数。定理2τ、 V，L（0）T（X）为方程式（3）解的方程式（8）、（9）和（10）定义的量。给定X=0，则τ、 V，XT，L（0）T（X）由以下函数φT（T，v，x，l）=ψp，T（T，v，x，l）e给出-mv+m（T）-v）-l（议员）-qm）+xm（x），0≤ 五、≤ T≤ T、 l≥ 其中ψp，T（T，v，z，l）由方程（11）定义。让我们简要地评论一下定理1和定理2与一些已知结果的关系。首先，我们根据总占用时间重写关节密度（13）。

给定T>0 deneu=TZ{Xt≥0}dt时间段[0，T]内非负半行的总占用时间，注意如果X=0，那么u=（V+T）- τ、 如果XT≥ 如果XT<0，则为0，V。（14） 如果X是带参数p和漂移m（X）的SBM，则定理1和等式（14）得出（τ，U，XT，L（0）T（X））的节理密度由以下等式φT（T，U，X，L）给出=2小时（u+t）- T、 lp）h（T）- u、 lq）h（T）- t、 x）e-mu+m（T）-u） +xm-l（下午）-qm），如果x≥ 0、l>0和t≤ T、 T- T≤ U≤ T、 2qh（u，lp）h（T-u、 lq）h（T）- t、 x）e-mu+m（T）-u） +xm-l（下午）-qm），如果x<0、l>0和0≤ U≤ T≤ T.（15）如果m=m=m=const，那么我们就得到了在恒定裂缝的情况下四重奏的密度，T，m（T，u，x，l）=2小时（u+t）- T、 lp）h（T）- u、 lq）h（T）- t、 x）e-mT+xm-lm（p-q） ，如果x≥ 0，l>0，a和t≤ T、 T- T≤ U≤ T、 2qh（u，lp）h（T-u、 lq）h（T）- t、 x）e-mT+xm-lm（p-q） ，如果x<0，l>0，和≤ U≤ T≤ T.进一步，在前面的显示中设置m=0，并积分出变量T，我们得到SBM的联合密度，参数p，其（总）占用和当地时间（文献[3]中的定理1.2]）ρ（u，z，b）=TR2ph（u+t）- T、 lp）h（T）- u、 lq）h（T）- t、 x）dt，x≥ 0，TRu2qh（u，lp）h（T-u、 lq）h（T）- t、 x）dt，x<0，=（2ph（t- u、 bq）h（u，lp+x），x≥ 0,2qh（u，lp）h（T-u、 lq- x） ，x<0。（16） 在局部情况下，p=1/2密度（16）是标准BM在[16]f中获得的三变量密度。需要注意的是，[16]中的当地时间等于（10）中定义的当地时间的一部分。3财务应用3。1具有不连续性的LVM与SBMFixσ>0和σ>0之间的关系，并考虑以下LVMdSt=σ（St）StdWt，（17）其中σ（S）=σ{S≥1} +σ{S<1}。（18） 下面的引理1解释了（17）定义的SBM和LVM之间的关系。

这个引理可以被视为[6]中定理1的特例（另见[5]中关于p.687的论述），并基于对称田中-迈耶公式的应用（例如，见[17]中的公式（7.4），或[23]中第六章练习1.25，或[20]中的公式（32））。为了完整性和读者的方便，我们在此提供证据。引理1设St为方程（17）的解。定义为followsxt=log（St）σ（St）（19）的随机过程是以下SDE的一个表达式，其本地时间dxt=u（Xt）dt+dWt+（p-q） dL（0）t（X），（20），其中u（X）=-σ（ex）=（u=-σ/2，x≥ 0,u= -σ/2，x<0，（21）和p=σ+σ，q=1- p=σ+σ。（22）换句话说，xT是SBM，参数p=σ+σ，不连续漂移u（x）。引理1的证明。首先，定义Yt=log（St），注意按照通常的伊藤公式，Yt=-σ（St）dt+σ（St）dWt=-σ艾特dt+σ艾特dWt。关于过程Yt，我们有Xt=f（Yt），其中f（y）=yσ{y≥0}+yσ{y<0}。很容易看出f是两个凸函数的差分，因此Xt=f（Yt）是半鞅。定义f′（y）=f′l（y）+f′r（y）, 其中f′l（y）和f′r（y）分别是左导数和右导数。很容易看出f′（y）=σ（y）{y6=0}+σ+σ2σ{y=0}。此外，f的二阶导数（在分布意义上）是f′（y）=δ（y）σ-σ, 其中δ（x）是δ函数。将对称田中-迈耶公式应用于半鞅f（Yt），我们得到了xt=f（Yt）=f（Y）+tZf′（Yu）dYu+ZRf′（Y）L（Y）t（Y）dy，=f（Y）+tZ{y}0+y}dYu+σ-σL（0）t（Y）（23）=X-tZσ埃苏du+Wt+σ-σL（0）t（Y），（24），其中L（0）t（Y）是Ytat 0的本地时间，我们还使用了t hattR{Yu=0}dYu=0和σ艾特= σ提取, 从式（23）中得出式（24）。用L（0）t（X）表示L（0）t（Y）。

首先，我们将对称田中-迈耶公式应用于凸函数为| x |的半鞅Xt，得到|Xt |=|x |+tZsgn（Xu）dXu+L（0）t（x），（25），其中，如果x>0，sgn（x）=1，sgn（x）=-1，如果x<0，且sgn（0）=0。其次，考虑| Xt |作为应用凸函数g（y）=| f（y）|=yσ{y的结果≥0}-yσ{y<0}到半鞅Yt。设g′是g的右导数和左导数的算术平均值。很容易看出g′（y）=（g′l（y）+g′r（y））=sgn（y）σ（y）+σ-σ{y=0}。g的二阶广义导数g′是σ+σδ（y）。将对称田中-迈耶公式应用于g（Yt），我们得到|Xt |=|f（Yt）|=|X |+tZg′（Yu）dYu+σ+σL（0）t（Y）。（26）注意到tZsgn（Xu）dXu=tZsgn（Yu）σ（Yu）-σeYudu+σeYudWu=tZg′（Yu）dYu-g′（0）tZ{Yu=0}dYu=tZg′（Yu）dYu并比较方程（25）和（26）的右侧，我们得到以下等式（0）t（X）=σ+σL（0）t（Y），由此得出dxt=-σ提取dt+dWt+σ- σ+σdL（0）t（X）=u（Xt）dt+dWt+（p-q） 如权利要求所述的dL（0）t（X）。证明了引理1。备注1表示时间间隔[0，T]上带参数p和漂移（4）的SBM的概率分布，以及W（p）T，T的概率分布∈ [0，T]。根据吉萨诺夫的理论，我们得到了dqtdpt（X·）=eRXTXm（u）du-RTm（Xt）dt-（下午）-qm）L（0）T（X）=eRXTXm（u）du-RTm（Xt）dt-（pm）-qm）L（0）T（X）=eRxxm（u）du-（兆瓦）-m（T）-w） )-（下午）-qm）l（27）对于任意轨迹X·使得X=X，XT=X，RT{XT≥0}dt=w，L（0）T（X）=L.3.2二值局部波动模型下的期权定价在本节中，我们将展示第2节的结果如何应用于二值LVM下的期权定价。我们以欧式看涨期权为例。首先回顾一下期权定价理论的一些术语和事实。具有行使价格（行使）K和到期日T的欧洲看涨期权（看涨期权）是一种支付为（ST）的衍生工具- K） +=最大值（ST）- K、 0），其中STI是到期时标的资产的价格。

带障碍H的Aknock看涨期权是一种常规看涨期权，只有当标的达到障碍时才会出现。带障碍H的淘汰看涨期权是一种常规看涨期权，一旦标的达到障碍，该看涨期权就不再存在。考虑由等式（17）和（18）定义的两值LVM（即具有不连续性）*= 1). 在t=0、敲打K和到期日t时，标的资产的价值表示为C=C（S，K，t）和Cin=Cin（S，K，t）。看涨期权的价格和障碍水平为1的敲入式看涨期权的价格，其中两种价格都是根据两个价值LVM计算的。此外，还提供了相同的参数，用Cout=Cout（S，K，T，σ，1）表示在波动率σ为lo g-normal模型下计算的障碍水平为1的淘汰期权的价格。很容易看出，如果K>1，那么c=（Cin+Cout，S≥ 1，Cin，S<1。对数-无rmal模型下的障碍期权价格已知（例如，见[15]第22章）。因此，如果K>1，则只有在两值LVM下找到CIN，才能为看涨期权定价。下面的定理3给出了敲入式看涨期权价格的公式。行权K<1的看涨期权的价格和看跌期权的价格可以用类似的方式来计算。请注意，对于行使K<1（K>1）的看涨（看跌）期权，从计算具有相同参数的看跌（看涨）期权的价格开始，然后使用看跌（看跌）概率方程，在技术上似乎更方便。让我们介绍一下定理3中出现的一些f函数及其证明。Letn（x）=e-十、√2π，x∈ R、 （28）是概率密度函数和Φ（z）=√2πzZ-∞E-伊迪，z∈ R、 （29）是标准正态分布的累积分布函数。