耦合非均匀系统协方差矩阵的局部化

Real和null模型数据是超过10个大小为N=100的矩阵。对于空模型数据，我们使用从实际数据中获得的u和D值。四、 结论我们分析了一个复杂系统的简单模型，为随机矩阵的抽样提供了一种方法。我们已经展示了我们的方法如何给出与真实数据中普遍存在的特征向量定位一致的结果。该模型表明，信号之间的异质性可能会导致局部化，正如已知的随机带模型[22,23]所示。分析显示了一个独特的特点，即定位既涉及最具噪声的信号，也涉及最具确定性的信号，即倒钟效应。另一个有趣的方面是提出的模型中局部化的异质性影响，该模型显示了从耦合主导相（其中光谱特性与Wishart矩阵相同）到异质性主导相（其中光谱边缘发生局部化）的非平凡过渡。一个理论观点是，确定影响是来自简单的交叉还是来自真实的相变，在热力学极限下有效，即对于有限N，并可能通过检查其他基质性质来更详细地描述两相。为了改善与真实数据的比较，尤其是在财务方面，另一个角度是描述有限时间采样的情况，即有限比率Q=M/N，并检查异质性、耦合和有限时间采样的相互作用如何改变基准情况下卵巢矩阵的性质。导致这些结果的研究已收到欧盟第七框架计划（FP7/2007-2013）/ERC第247328号赠款协议项下欧洲研究理事会的资助。附录AWe在一般情况下展示了耦合、协方差和异质性之间的关系。

这里我们展示了在小耦合的无扰动极限中，从协方差到相关矩阵发生了什么。我们写J=I+K（1）其中I是单位矩阵，K（1）是随机对称高斯矩阵 是一个非常小的实数。一开始 协方差矩阵必须满足微扰表达式C=~T+Σ(1). 因此K（1）和∑（1）检验：K（1）ij（Ti+Tj）=-2∑（1）ij（9）此外Cii=Ti+∑（1）iiso对于协方差矩阵我们有：Cij=Ti-K（1）ij（Ti+Tj）（10），而相关矩阵cij=cij√CIICJJSaties:cij=I-K（1）ij（Ti+Tj）√TipTj（11）一阶展开揭示了相关矩阵中T和1/T之间的对称性，这很容易验证。这种展开允许我们考虑弱耦合非均匀时间序列的协方差矩阵的简化随机矩阵集合，可以获得分析结果[24]。此外，在异质性强的情况下，即Ti>>Tjcij=cji=qTiTjK（1）ij，因此，如果| K（1）ij |的大值的概率较低，则与高或低温度变量相关的行/列上的相关矩阵元素可能显著大于其他元素。根据列维矩阵理论[25]，我们知道，特定空气相关系数的大值，即大的cmn，意味着特征向量集中在所涉及的两个分量上，例如m和n。此外，如果整行的元素与矩阵的其余部分相比大，那么将有一个定位在相关分量上的特征向量。高阶展开式表明，这种高/低温对称性的破坏有利于低温组分。

二等舱 我们可以写C=T+Σ(1)+∑（2）和J=I+K（1）+K（2）。这个高阶展开式导出了∑（2）：2∑（2）ij=（Ti+Tj）的补充方程(-K（2）ij+XkK（1）ikK（1）kj）+2XkK（1）ikTkK（1）kj，（12）其中我们用一阶（9）中的表达式替换∑（1）。如果我们知道除以√TipTjwe对相关矩阵C进行二阶校正，其读数为：（Ti+Tj）√TipTj(-K（2）ij+XkK（1）ikK（1）kj）+PkK（1）ikTkK（1）kj√TipTj。（13） 如果我们用1/TiB代替Ti，前两项保持不变，但第三项没有，它打破了对称性，有利于与低温组件相关的元素。我们强调这样一个事实： 无论系统大小N的值是多少，它都很小。如果对大N进行展开，则必须考虑所有阶次的项，因为在高阶时，矩阵乘法将涉及到越来越多元素的和。六、 附录B对于给定的耦合矩阵J和温度测试集，信号xi的平衡分布为多元高斯分布，即：P（{xi}|J，T）=exp(-xTC-1x）p（2π）Ndet C（14），其中C是协方差矩阵，等式（5）的解。从该分布中提取的信号之间的经验协方差矩阵定义了一个相关的Wishart系综[13，26–28]，其特点是分离耦合和温度引起的猝灭无序。七、感谢我要感谢C.卡马罗塔、B.塞鲁蒂、A.德克尔、C.卢西贝洛、G.帕里西、J.罗基和B.塞昂的有趣讨论。[1] 潘国强和辛哈，物理系。牧师。E 76046116（2007）。[2] B.Podobnik，D.Wang，D.Horvatic，I.Grosse和H.E.Stanley，EPL（欧洲物理学通讯）9068001（2010）。[3] A.E.Biondo、A.Pluchino、A.Rapisarda和D.Helbing，《公共科学图书馆综合》8期，e68344（2013年）。[4] M.Potters、J.-P.Bouchaud和L。

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