耦合非均匀系统协方差矩阵的局部化

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英文标题：
《Localization in covariance matrices of coupled heterogenous
  Ornstein-Uhlenbeck processes》
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作者：
Paolo Barucca
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We define a random-matrix ensemble given by the infinite-time covariance matrices of Ornstein-Uhlenbeck processes at different temperatures coupled by a Gaussian symmetric matrix. The spectral properties of this ensemble are shown to be in qualitative agreement with some stylized facts of financial markets. Through the presented model formulas are given for the analysis of heterogeneous time-series. Furthermore evidence for a localization transition in eigenvectors related to small and large eigenvalues in cross-correlations analysis of this model is found and a simple explanation of localization phenomena in financial time-series is provided. Finally we identify both in our model and in real financial data an inverted-bell effect in correlation between localized components and their local temperature: high and low temperature/volatility components are the most localized ones.
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中文摘要：
我们定义了一个随机矩阵系综，由高斯对称矩阵耦合的不同温度下Ornstein-Uhlenbeck过程的无限时间协方差矩阵给出。该系综的光谱特性与金融市场的一些典型事实在定性上是一致的。通过提出的模型，给出了分析非均匀时间序列的公式。此外，在该模型的互相关分析中，发现了与小特征值和大特征值相关的特征向量中存在局部化转变的证据，并对金融时间序列中的局部化现象提供了一个简单的解释。最后，我们在我们的模型和真实金融数据中都发现了局部成分与其局部温度之间相关性的倒贝尔效应：高温和低温/波动性成分是最局部的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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PDF下载：
--> Localization_in_covariance_matrices_of_coupled_heterogenous_Ornstein-Uhlenbeck_p.pdf (359.75 KB)

2022-5-6 10:46:52 上传

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关键词：协方差矩阵 协方差 localization Eigenvectors correlations

耦合非均匀Ornstein-Uhlenbeck过程的协方差矩阵局部化*意大利罗马萨皮恩扎大学第二分校，I-00185，意大利罗马（日期：2018年11月12日）。我们定义了一个随机矩阵系综，由不同温度下的奥恩斯坦-赫伦贝克过程的有限时间协方差矩阵在高斯对称矩阵耦合下给出。该集合的光谱特性与金融市场的一些典型事实在定性上是一致的。通过提出的模型，给出了分析非均匀时间序列的公式。此外，在该模型的互相关分析中，发现了与小特征值和大特征值相关的特征向量中存在局部化转换的证据，并对金融时间序列中的局部化现象提供了简单的解释。最后，我们在我们的模型和实际财务数据中都发现了局部成分与其局部温度之间相关性的倒钟效应：高温和低温/波动性成分是最局部的。I.引言复杂系统很难分析，因为通过定义，其组件之间的相互作用与它们的行为密切相关[1]。在这些系统中，由于缺乏明确的通用模型，关系分析即使不是唯一的，也是不可替代的指南针[2,3]。此外，在这些系统中，噪声的存在使得基准测试非常重要，而随机矩阵理论（RMT）是检验配对相关性统计有效性的基础。RMT主要关注时间序列的有限长度的影响。特别是，在变量N的数量较大且信号M的长度可比的情况下，即在有限比值Q=M/N[4–8]下，对随机矩阵的光谱特性进行了仔细分析。

在这种情况下，总时间不足以使噪声可以忽略不计：我们需要将耦合引起的特性与随机性带来的特性分离开来。然而，复杂系统中的时间序列不仅是同质的、不确定的，而且是异质的，这意味着它们的方差可能真的不同（即一个时间序列的方差可能与另一个时间序列的方差非常不同）。更一般地说，一个变量的边际分布可能在质量和数量上与另一个变量不同。在我们将重点考虑的金融领域，不同资产的波动性，即股票价格百分比变化指数，具有非常广泛的分布[9]，即不同资产的回报之间存在强烈的异质性。最近的研究表明，这种分布类似于对数正态分布，与市场的分形模型兼容[10,11]。此功能已包含在基于模型的应用程序中*baruccap@gmail.comon随机矩阵Wishart集合改进了与实矩阵的比较[12–14]。综上所述，复杂系统是异质的、无序的和嘈杂的，它们在相互作用和相关性之间有着非同寻常的关系：需要仔细研究基准，以获得更详细的见解。在下文中，我们将看到这些不同的特征是如何相互关联的，我们将指出，为了预测它们对互相关分析的影响，将它们放在一起考虑是多么重要。本文的目的是在一个简单的特别模型中观察异质性的后果，该模型允许我们显式地计算耦合和相关性之间的关系。在第二节中，我们从一组独立的Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程在不同温度下给出的基本动力学模型开始。

然后我们转向相互作用的情况，即OU进程通过给定的矩阵进行耦合。我们考虑的系综是由不同温度下OU过程的有限时间协方差矩阵给出的系综，由阿加西对称矩阵耦合而成。我们还考虑了时间序列的平稳分布，并展示了它与已知的Wishart-Laguerre随机矩阵集合的关系。在第三节中，我们展示了渐近极限下的数值模拟结果。通过计算特征值的谱密度、逆参与比（IPR）、特征向量局部化的标准指数[15]和成分参与比（CPR），确定给定成分对所有特征向量的贡献。我们在平均特征向量和单样本特征向量中检查了这个集合属性。此外，我们还发现了由异质性驱动的特征向量局部化的急剧变化，这可能是模型互相关矩阵的特征向量从扩展相位向局部化相位过渡的一个指标。最后，我们讨论了随机矩阵模型的已知光谱特性和金融数据中广泛观察到的真实局部化特性[16,17]的结果，并给出了理论观点。二、耦合异构过程。独立的OU过程在下文中，我们将考虑从连续时间随机动力学的平衡分布中提取的信号。

该模型对应用的兴趣取决于这样一个假设：在复杂系统中，观测是从复杂的嘈杂动态中取样，例如，金融每日价格是所有交易给出的所有微小价格调整的结果。不过，我们想强调的是，我们不想详细建模特定的资产动态：每一类资产可能需要不同的动态和更复杂的非线性相互作用项，这些项不允许给出从耦合到关联的直接公式，以及从关联到耦合的反问题的显式公式。其目的是构建一个空模型，包括分离耦合和温度的特定参数化，以便明确区分它们在协方差矩阵中的作用。我们从alimit情形开始分析，N个自变量x={x，x…xN}的噪声动力学遵循一个标准的OU过程，具有一组N个温度T={T，T…TN}：˙xi=-xi+pTiηi（t），（1）其中ηi（t）是δ相关高斯噪声，hηi（t）ηj（t）i=2δijδ（t- t） 。在这种情况下，xi的边际平衡分布是Pi（xi）：Pi（xi）=e-xi2Ti√2πTi（2）如果我们知道在M次采样所有xi的值，我们可以计算经验协方差系数，Cij=xixj- xixj，其中·表示M次采样的平均值。对于比值Q=M/N的有限值，协方差矩阵收敛于对角线，Cij=Tiδij。同时，对于Q的固定值，C的反对角线元素为N（N-1） /2个具有零均值和方差的高斯变量。在这种情况下，皮尔逊相关矩阵cij=cij/pciicjj与从广泛使用的Wishart-Laguerre随机矩阵集合中提取的矩阵的统计数据完全相同，因为其元素是长度为N个正态分布信号的成对相关性。

在这种情况下，我们在动力学中引入的异质性在相关矩阵中不起作用。B.耦合OU过程耦合情况的推广很有趣。目前的动态证实：˙xi=-xjjixj+pTiηi（t），（3），其中jiji是对称的正定义，以确保过程的有限限制。在下文中，我们将重点分析渐近极限，因为在目前的工作中，我们对有限Q和异质性相互作用的后果不感兴趣，只对后者的后果感兴趣。在这个系统中，有两种不同的方法[18]来获得渐近协方差矩阵的闭合公式，Cij=hxixji，作为耦合和温度的函数（h·i表示有限时间内的平均值）。从动力学出发，通过几个标准步骤，可以找到隐式公式：{C，J}=2T，（4），其中Tij=Tiδij，{·，·}表示矩阵反变换器。根据J的谱分解，可以找到一组关于Cij元素的显式公式：Cij=2Xa，buaiubjλa+λbxkuabktk，（5）其中uai是J的第i个分量ath特征向量，λais是第a个特征值。在（4）中，C和J以不对称形式出现，同样的对称性也必须适用于（5）。这一事实意味着（5）可用于求解该系统的反问题，即在给定协方差C的情况下找到耦合J。这种对称性并不奇怪，因为它也适用于常见的齐次情形，其中C=J-1，一个表面上对称的公式。

在附录A中，我们研究了小耦合情况下皮尔逊相关矩阵c的结果。因此，我们定义了两个不同的随机矩阵集合：一个，我们将在下一节中研究，是由公式（5）定义的有限时间协方差矩阵集合，用于从给定的随机矩阵集合（例如高斯集合）中采样的耦合矩阵J，以及从任意选择的分布中采样的温度T集合，另一个（附录B）是在给定的有限时间内，从OU动态的平稳分布中采样的信号之间的有限时间经验协方差矩阵集。C.III.采样矩阵由于我们对确定异质性的后果感兴趣，我们直接使用有限时间渐近公式（5），以避免模拟整体。5.1.5 2.5 3.5 40.20.40.60.811.21.41.61.82λρ（λ）随着D的增加而增加。1.固定N=100和 = 0.2/√N我们绘制了相关矩阵C的光谱密度，其中D=0.0、0.2和0.5是通过10个样本的平均值获得的。增加Dwe可以看到光谱的下边缘变得更小，反之，更高的边缘会增加。随机动力学。因此，我们生成一个随机耦合矩阵J=I+K其中I是单位矩阵，其中 是信号与K和随机高斯矩阵之间的耦合强度，其元素为方差。对于任何Nso，J必须为正定义。我们消除了具有非正特征值的样本，这些样本随着N的增加而消失。在原则上，可以考虑对耦合和温度进行任何类型的概率测量，这里讨论的主要思想是将耦合视为均匀的，因此温度是非均匀性的唯一来源。

由于在金融环境中，温度代表的波动率通常为对数正态分布[10,11]，我们选择从这种分布中得出它们：p（T）=Te-（日志T）-u）2D√2πD（6），即我们生成N个正态分布随机数，ξi，并定义Ti=eu+Dξi。然后我们然后画出耦合矩阵J，对角化，用（5）得到C.变化的D， 我们观察了C矩阵的一些基本特征。首先，我们计算在固定D=1和 = 0.2/√我们注意到，随着N的增加，分布迅速收敛到一个有限大小的光谱。一旦验证了这一点，我们将研究单独变化的特征值分布。在真实数据分析图1中经常观察到，频谱在树篱上传播。因此引入异质性，我们有了新的特征值，无论大小，因此我们查询相关的特征向量，并检查它们是否在统计上不同于光谱均匀体中的特征向量。我们通过IPR来描述C，vai的特征向量，这是矩阵分析中的一个标准量，由以下公式定义：IP Ra=Xi（vai）（7）0 10 20 30 50 60 70 80 90 90 10000.10.20.30.40.50.60.70.80.9特征值IndexIPR null-modelReal dataJ-1市场特征向量图。2.对于每个有序特征值，我们绘制了第n个IPR的平均值与1000个样本的特征值指数的平均值，系统大小为n=100，值为 =0.2/√N表示D=0.74和u=7.74（从realdata挥发性中获得）。交叉显示，从1987年6月1日到1998年12月31日，纽约证券交易所的平均每日资产回报率超过10个区间。J-1线路为等温度情况（D=0）。我们看到代表市场的最大特征向量被扩展，并落在D=0线上。显然，IP R值取决于样本。

由于我们想描述它的典型行为，我们对每个样本取有序特征值集，并考虑它们的IPR，然后是样本上的IPR图2。所使用的Realdata是纽约证券交易所从1987年6月1日到1998年12月31日的1017份每日资产回报。为了与数据进行定性比较，我们通过评估收益率方差对数的平均值和标准偏差来确定对数正态分布的值，即u=Pk=1log（σk）和D=Pk=1（log（σk）-u），其中σi是经验变量。我们获得的图显示了边缘的本地化，这是在实际数据分析中观察到的一个常见特征。特别是，IPR不仅在体积相关的典型流量区域（其值的波动略大于3/N）表现出一致性，而且在边缘（见[17]中的IPR），我们观察到IPR的增加。然后我们计算水平间距λn+1- λn，其中λ是协方差矩阵的第n个特征值，观察到间距分布明显左移[19,20]，这意味着间距的偏度随着异质性的增加而增加。图3接近真实数据。为了观察异质性效应，我们还需要考虑一个可观察的矩阵，该矩阵不取决于特征向量，如IPR，而是取决于成分，因此我们研究成分参与率，我们通过以下公式确定：CP Ri=Xa（vai）（8）-5.-4.-3.-2.-1 0 1 2 3-4.5-4.-3.5-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.5sp（s）实数据空-modelJ-1FIG。3.由其中值标准化的水平间距分布，sn=λn+1-λnhλn+1-λni，其中λnis是协方差矩阵的第n个特征值。数据以对数表示。交叉显示了从1987年6月1日到1998年12月31日纽约证券交易所10个每日资产周转矩阵的平均IPR。J-1直线为等温度情况，D=0。

对于大小为N=100的系统，使用从实际数据中获得的u和D参数，对10个样本的空模型数据进行平均。这就相当于基础矩阵变换的IPR。我们通过构建散射图（log（Ti）、CP-Ri）来研究CPR与异质性之间的关系，评估CPR与T和1/T之间的相关性。对于实际数据，我们决定用不同的术语[21]来近似不同的温度，因此我们绘制（log（D（e）i），CP Ri）图4，其中D（e）i=TT-1Pt=1（ri（t+1）- ri（t））是ri（t）时间t时资产i的返回。考虑到与CPR的差异，影响也成立。倒钟形表明，高温和低温/挥发性成分是最局部的。这一结果既取决于耦合的存在，也取决于不均匀的温度/挥发性：如果没有耦合，协方差矩阵将是对角的，因此所有特征向量都将被定位，如果不均匀性太低，不同项之间的差异将可以忽略，并且不会如此明显地影响定位。如果我们考虑不耦合的情况，即每个特征向量都是严格局部化的，因为矩阵是对角的，则可以解释这种影响。如果我们现在在成分之间加上一个耦合，就会出现这样的情况：大部分特征值更接近的成分可能会相互作用并扩散，而边缘的成分则与更孤立的特征值相关，因此不太可能与其他成分混合，并且会更局部化。这张照片应该一直保持到联轴器足够大，足以对比温度差异。0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.400.10.20.30.40.50.60.70.80.91日志（T）心肺复苏（T）无效-modelReal dataFIG。4.平面内组件的散点图（对数（Ti），CP-Ri）。我们可以看到GOE矩阵中的倒钟形，即没有异质性。