一般仿射随机波动率下的几何亚式期权定价

为了研究几何期权或已实现方差期权，我们引入了相关的积分过程Y和z，其中yt=ZtXsds，Zt=ZtVsds。（8） 2号提案。如果（X，V）是一个具有函数特征（F，R）的ASV模型，那么（Xt，Vt，Yt，Zt）的接合点由log E[euXt+uVt+uYt+uZt | X，V]=Φ（t，u，u，u，u，u）+（u+ut）X+ψ（t，u，u，u，u）V（9）描述，其中Φ=F（u+ut，ψ）Φ（0）=0（10）˙ψ=R（u+ut，ψu）+u（11）证明。从[KR08，定理4.10，p.50]中可以看出，对于二维，（X，V，Y，Z）是一个函数，loge[euXt+uVt+uYt+uZt | X，V，Y，Z]=Φ（t）+ψ（t）X+ψ（t）V+ψ（t）Y+ψ（t）Z，（12）其中Φ和ψ满足Riccati方程˙Φ=F（ψ，ψ）Φ（0）=0（13）˙ψ=ψ（0）=u（14）˙ψ=R（ψ，ψ）+ψ（0）=u（15）˙ψ=0ψ（0）=u（16）˙ψ=0ψ（0）=u（17）记住，（13）的解取决于参数u，u，u，u，u，u，u，因此ψ（t）=，u，u，u，u，u等）可以立即积分这些方程。显然，ψ（t）=u，ψ（t）=u，ψ（t）=u+ut，唯一相关的方程是˙Φ=F（u+ut，ψ）Φ（0）=0（18）˙ψ=R（u+ut，ψ）+uψ（0）=u（19），然后我们注意到Y=0和Z=0，并设置ψ=ψ。（36）和（37）跟在（18）和（19）后面。备注2。[BGK07]和[Sep08]研究了带跳跃的随机波动率模型中的方差互换和已实现方差期权。本文[KMKV11]在一般有效设置下对其进行了广泛研究，其中已实现的方差由对数回归过程的二次变化近似。

例如，对于连续收益过程，如theHeston模型，二次方差[X，X]及其可预测部分hX，Xi与积分方差一致，即我们的Z。积分方差的累积量可以根据以下推论计算，这是[KMK V11，引理5.1，P.634]的特例。推论1。loge[ewZt]=φ（t，w）+Vψ（t，w）（20），其中˙φ=F（0，ψ）φ（0）=0（21）˙ψ=R（0，ψ）+wψ（0）=0（22）证明。这是从Pr op.2开始的，u=0，u=0，u=0，u=w。4.ASV模型的计价方式的变化为了计算平均行使期权的价格，我们应用计价方式的变化，将股票作为新的计价方式。从现在起，我们用键响应表示鞅测度。通过Qresp以数字形式存储。Q、 和e expe ctations Eresp。E.log Ex，v[euX（t）+uV（t）]=φ（t，u，u）+xψ（t，u，u）+vψ（t，u，u）（23），因此我们有密度处理dqdq（t）=eXt-让我们从下面的引理1开始。如果（X，V）是qf下的一个函数，具有函数特征Fand R，那么它是qf下的一个函数，具有函数特征Fand R，并且由F（u，u）=F（u+1，u），R（u，u）=R（u+1，u）（25）证明。log-Ex，v[euX（t）+uV（t）]=log-Ex，v[Ex+Xt·euX（t）+uV（t）]=- x+logex，v[e（u+1）x（t）+uV（t）]=φ（t，u+1，u）+x（ψ（t，u+1，u）- 1） +vψ（t，u+1，u）=φ（t，u，u）+xψ（t，u，u）+vψ（t，u，u）（26），其中φ（t，u，u）=φ（t，u+1，u），（27）ψ（t，u，u）=ψ（t，u+1，u）- 1，（28）ψ（t，u，u）=ψ（t，u+1，u）（29）ThusF（u，u）=F（u+1，u）R（u，u）=R（u+1，u），（30）如果存在一个鞅，我们有F（1，0）=R（1，0）=0，因此F（0，0）=R（0，0）=0。引理2。如果（X，V）是一个ASV模型，那么（Xt，Yt）在Qi下的联合定律由log E[euXt+wYt]=φ（t，u，w）+Vψ（t，u，w）（31）描述，其中（φ′=F（u+1，ψ）φ（0）=0（32）（ψ′=R（u+1，ψ）ψ（0）=w（33）证明。这源于引理1和命题2应用于Qresp。F、 R。

5 G几何亚洲选项的一般结果5。1平均价格让我们用“XT”表示对数收益过程的算术平均值，用^t表示股票价格的几何平均值，然后用“XT=（r- q） +TZTXsds，^ST=e¨XT=exp（r- q） +TZTXDS！。（34）对于平均罢工，我们需要综合日志回报的累积量。推论2。如果（X，V）是一个ASV模型，那么Yt=RtXsds的规律由log E[ewYt]=Φ（t，w）+wtX+Vψ（t，w）（35）描述，其中˙Φ=F（wt，ψ）Φ（0）=0（36）˙ψ=R（wt，ψ）ψ（0）=0。（37）证据。这是从Pr op.2开始的，u=0，u=0，u=w，u=0。定理2。假设存在一个大于1的值，使得e[ea¨XT]<∞, （38）然后平均价格亚洲看涨期权的时间零值由[e]给出-rT（^ST）- K） +]=e-rT2πia+i∞Za-我∞KuKu（u）- 1） eκ（T，u）du，（39）具有累积量函数κ（T，u）=log e[eu\'XT]。它由κ（T，u）=u（r）给出- q） +φ（T，u）+uX+ψ（T，u）V，（40）式中˙φ=FutT，ψφ（0）=0（41）˙ψ=RutT，ψψ(0) = 0. （42）证据。为了评估期望值（39），我们首先使用积分表示法（132），它得出（^ST- K） +=2πia+i∞Za-我∞KuKu（u）- 1） 然后应用Fubini的理论，参见[HKK06]和[HS11]。备注3。可积条件（38）保证了累积量函数κ（T，u）的存在Ru=a。这意味着对第6节中研究的混凝土模型的参数有一些限制。根据[？]中的结果对于参数值u=a，这相当于Riccative方程（41）的解的存在性。通过研究累积量函数的真实奇异性，可以分别确定每个具体模型的适当参数集，参见[Doe71，Satz 3.4.1，P.153f]，尽管我们不会在下面的示例部分给出所有模型的所有细节。5.2平均罢工次数3次。

如果存在b<0，则e[eb\'XT]<∞, （44）然后，平均罢工时间零值作为ian看涨期权，由[e]给出-rT（圣-^ST）+]=e-qT2πib+i∞Zb-我∞u（u）- 1） eκ（T，u）du，（45），其中κ（T，u）=log e[eu\'XT+（1）-u） XT]。它由κ（T，u）=u（r）给出- q） +φ（T，u）+Vψ（T，u）+X（46），其中˙φ=FutT+（1）- u） ，ψφ（0）=0（47）˙ψ=RutT+（1）- u） ，ψψ(0) = 0. （48）证据。利用密度过程（24）中的数字变化技术，我们得到了-^ST）+]=e（r-q） TE[（1）- 电子文本-XT）+]。（49）这只是e’XT看跌期权的收益-XT的asse t和STREK均等于1。函数κ是“XT”的累积量函数- 根据引理2中的函数φ和ψ，可以从Yt和XT的联合求和中得到。与定理2的证明类似，我们现在可以将附录中提供的Lapla c e积分公式（133）和Fubini定理应用于结果中的obta。备注4。对于可积条件（44），类似于上述备注3的备注适用。3号提案。如果参数按以下方式更改，则平均罢工和价格里卡蒂方程具有相同的结构。u 7→ u+tT（1- u） 。备注5。上述命题中所描述的性质实际上是期权定价中的对偶原理的一般结果的一个特例。[Pap07]和[EPS08]中的一般半鞅设置对这一基本性质进行了系统研究。6具体有效随机波动率模型的几何亚洲选项我们现在讨论金融文献中一些流行的ASV模型（有关非常好的总结和更多示例，感兴趣的读者请参考[Kal06]）。对于一些相关情况，我们将获得相应Riccati方程的显式解。

让我们回忆一下，对于所有模型，资产价格都将由St=e（r）建模-q） t+Xt，其中X表示折扣价格。在下面的例子中，我们将继续假设模型参数将验证命题1中的条件，因此是一个鞅。6.1 Heston模型Heston[Hes93]模型通过具有均值回归的CIR型随机微分方程描述波动动力学。然后用DXT给出了风险中性测度下贴现对数收益率的演化=-及物动词dt+pVtdWt，（50）dVt=λ（θ）- Vt）dt+ζpVtdWt，（51），其中λ、θ和ζ是严格正参数。此外，在（50）和（51）Wand-Warestard-Wiener过程中，具有常数相关ρ∈ [-1, + 1].可以证明，如果满足以下条件：ζ<2λθ，（52），则波动过程V保持严格正（见[Fel51]）。有效特性为[KR08，KR11]F（u，w）=λθw，R（u，w）=（u- u） +ζw- λw+uwρζ。（53）平均价格结合（53）和（41）我们得到了平均价格˙φ=λθψ，φ（0）=0（54）˙ψ=ζψ的Riccati方程- (λ - ρζut/T）ψ+ut/T（ut/T）- 1） ，ψ（0）=0（55）通过使用标准代换ψ（t）=ζy′（t）y（t）（56），Ricca-ti方程可以转化为二阶[Rei72，PZ03]y′+（λ）的线性微分方程- ρζut/T）y′+ζut/T（ut/T）- 1) = 0.

（57）该方程的通解可以表示为第一类[Sla60]（通常用f（a，b，c）表示）y（t）=Cy（t）+Cy（t）（58）y（t）=AM的两个有效超几何函数的线性组合a、 ，c（59）y（t）=ABMa+，c（60）其中a1、c和A、B由以下表达式定义：=-ζ- 2ρζ（ξu/T）- λ) - 2λζu/Tξ+（61）c=（（1+tu/Tζ）ξ）- λρ）ζu/Tξ（62）ξ=ρ- 2（63）A=exp-[t（2λ）- ρζut/T+ρζut/T- 2λρ + 2ζ(1 - ut/T）ξ]（64）B=ξut/Tζ- ξ+λρ（65）通过考虑初始条件ψ（0）=0，我们得到ψ（t）=-ζy′（0）y′（t）- y′（0）y′（t）y′（0）y（t）- y′（0）y（t）。（66）鉴于（56），我们也用超几何函数显式表示φ，即φ（t）=-λθζlny′（0）y（t）- y′（0）y（t）y′（0）y（0）- y′（0）y（0）（67）平均罢工组合（53）和（114）与（u，w）7→ (-u、 u/T）我们得到˙φ=λθψ+q- rφ（0）=0（68）˙ψ=u（t/t）- 1） +u（t/t）-1) +ζψ- λψ+ρζ（u（t/t）- 1) + 1)ψ. ψ（0）=0（69）这些方程的解可以以类似的方式获得，前提是φ和ψ的表达式类似于（66）和（67）中的y，y取代y（t）=M（\'a，，\'c）（70）和\'y（t）=\'a\'BM（\'a+，\'c）。（71）式中，\'a，\'c，\'a和\'B现在定义为：\'a=ρζ（2ξu+λT）- （λ+ζ）Tζuξ+（72）\'c=[（ρ（u）- 1) + (- u） ]T+ζut（1）- ρ） +λρT）ζuTξ（73）\'A=exp[tT（ρζ）（u- 1） T-ut）+λT）ut+（（ρ（u）- 1) - u+）-ζutT（ρ- 1） ）+ρλ）ξ]（74）\'B={[（u- 1)ρ- u+]T+ut（1- ρ） }ζ+λρT（75）备注6。Kim和Wee在[KW11]中研究了Heston模型中几何亚式期权的定价。它们用一些级数展开式表示收益和总体平均的联合矩母函数。

事实上，它们的级数可以用超几何函数的封闭形式求和，并且与我们上面的结果一致。6.2贝茨模型在贝茨[Bat96]提出的模型中，通过复合泊松过程Z:Zt=NtXi=1Ji，（76）在先前的动力学中引入了跳跃分量，其中N是强度ν>0和（Ji），i=1,2,3。，均为独立的随机变量，均为正态分布，平均值为γ，标准偏差为δ。在这种情况下，Z的L′evy度量由以下公式给出：U（dx）=νδ√2πexp“-（十）- γ） 2δ#，（77），Z的累积量函数的形式为：κ（Z）=ν（eγZ+δZ/2- 1). （78）在风险中性度量下，不计数日志收益的动态由以下公式得出：dXt=(-κ(1) -Vt）dt+pVtdWt+dZt，（79），波动性的动力学与Heston mo de l提出的相同，即dvt=λ（θ）- Vt）dt+ζpVtdWt。（80）有效特性为f（u，w）=λθw+κ（u）- uκ（1），R（u，w）=（u- u） +ζu- λw+uwρζ。（81）如果→ 0，我们得到了Hesto n随机波动率模型[Hes93]。如果ζ→ 0和V=θ，然后vt=θ，我们得到了默顿跳跃扩散模型[Mer76]。因此，我们可以将贝茨模型视为默顿模型对随机波动情况的扩展，或将赫斯顿随机波动模型扩展到资产价格跳跃的情况。在Bates模型中，平均价格的Riccati方程为˙φ=λθψ+κ（ut）- utκ（1），φ（0）=0（82）˙ψ=ζψ- (λ - ρζut）ψ+ut（ut）- 1), ψ(0) = 0. （83）我们观察到，ψ的方程实际上与赫斯顿模型中的方程相同，φ等于赫斯顿模型中的相应量加上跳跃累积量的积分（非常容易计算）：φ（t）=φH（t）+Ztκ（us）ds- utκ（1），（84），其中φHis在（67）中给出。

这是因为跳跃与连续部分无关。对于平均走向，我们得到了与赫斯顿模型相同的ψ，而φ由以下表达式提供（也易于计算）：φ（t）=φH（t）+ZtκUtT- 1.u+1ds-utTκ（1）+（1）- u） κ（1），（85），其中φHis在上文中给出，使用（70）和（71）。6.3[Bat00]Bates中的涡轮蝙蝠es模型引入了前一个模型的一个与状态相关的跳跃强度。我们将只考虑以下版本[11]中的一个。日志返回的风险中性动态由DXT给出=-νκ(1) -+ νκ(1)及物动词dt+pVtdWt+ZDxN（Vt，dt，dx）（86）dVt=-λ（Vt）- θ） dt+ζpvtdwt，其中λ，θ，ζ与之前一样>0，布朗运动W与相关系数ρ相关。跳变分量由N（Vt，dt，dx）=N（Vt，dt，dx）给出- u（Vt，dt，dx），其中N（Vt，dt，dx）是泊松随机m度量，其可预测补偿器u（Vt，dt，dx）=（ν+νVt）F（dx）dt，F是一些固定的跳跃大小分布。有效特性为f（u，w）=νκ（u）-uνκ（1）0+λθw，R（u，w）=（u-u） +ζw-λw+ρζuw+νκ（u）-uνκ（1）（87），其中κ（u）是F的累积量母函数。平均价格的Riccati方程为˙φ=λθψ+νκ（ut/T）- ut/Tνκ（1），φ（0）=0（88）˙ψ=ζψ- (λ - ρζut/T）ψ+ut/T（ut/T）- 1） +νκ（ut/T）- ut/Tνκ（1），ψ（0）=0（89），对于平均走向˙φ=αθψ+νκ（u（T/T-1) + 1) -utT+（1）- u）νκ（1），φ（0）=0（90）˙ψ=u（t/t）- 1） +u（t/t）-1) +ζψ- βψ+ρζ（u（t/t）- 1） +1）ψ+（91）+λκ（（u（t/t）-1) + 1)) -utT+（1）- u）νκ(1), (92)ψ(0) = 0. （93）6.4巴恩多夫-尼尔森-谢泼德模型BNS模型由奥勒·巴恩多夫-尼尔森和尼尔·谢泼德介绍。[BNS01]、[BNNS02]、[NV03]、[HS09]。

该模型由一个称为背景驱动L′evy过程（BDLP）的从属函数构造而成，其累积量生成函数κ（θ）=loge[EθZ（1）]，（94）表示R(θ) < l 带着一些真正的麻木l > 0.瞬时方差过程（V（T），T≥ 0）由以下Ornstein-Uhlenbeck型随机微分方程描述，dV（t）=-λV（t）-)给定实数s，V>0且λ>0时的dt+dZλ（t），（95）。对数回归过程（X（t），t≥ 0）是givenby:dX（t）=(-κ(ρ) -V（t）-))dt+pV（t-)dW（t）+ρdZλ（t），X（0）=0，（96），参数为u∈, β ∈, ρ ≤ 0.有效特性为f（u，w）=λk（w+ρu）- uλk（ρ），R（u，w）=（u- u）- λw.（97）平均价格的Riccati方程为˙φ=λk（ψ+ρut/T）- ut/Tλk（ρ）φ（0）=0（98）˙ψ=（ut/T）- ut/T）- λψ ψ(0) = 0. （99）我们注意到ψ的方程是线性的，可以显式求解，给出ψ（t）=u2Tf（t）-utTf（t）。（100）带f（t）=1- E-λtλ，f（t）=tλ-1.- E-λtλ，f（t）=tλ-2tλ+2（1）- E-λt）λ。（101）φ的方程产生一个积分φ（t）=Ztλk（ψ（s）+ρus/t）-tuTλk（ρ）（102）平均走向的Riccati方程为˙φ=λk（ψ+ρ）（u（t/t-1） φ（0）=0（103）˙ψ=u（t/t）- 1） +u（t/t）-1) - λψ ψ(0) = 0. （104）这个解非常类似，现在是ψ（t）=u2Tf（t）+uT- Uf（T）+U-Uf（T）。（105）和积分φ（t）=ZTλkψ（s）+ρ圣- 1.u+1ds- ((1 - T）u+T）λk（ρ）。（106）结果与[HS11]中的结果一致，这些结果是通过不同的技术获得的，不使用通用框架和Riccati方程。6.5 P.Carr、H.Geman、D.Madan和M.Yor[CGMY03]引入了随时间变化的列维过程，以改进列维模型在描述资产价格动态方面的性能。我们将把注意力集中在基于满足Ornstein-Uhlenbeck或平方根（CIR）型随机微分方程的过程的时间变化上。

设L是累积量函数θ（u）=loge[euL（1）]的L'evy过程。（107）实际期限-u/2在[HS11，（47）]中缺失，应包含在其中。然后我们定义下一步=L（Γ（t）），（108），其中Γ（t）是一个独立于L的非负增长过程。在这里，我们想使用非常流行的时间变化，即一个综合的Ornstein-Uhlenbeck（OU）型过程。定义1（OU时间变化）。OU时间变化模型表示为Γ（t）=ZtV（s）ds，（109），其中V现在表示为SDEdV（t）的解-λV（t）dt+dU（t），（110），其中U是累积量为κ（U）的纯跳跃子。有效特征为f（u，w）=λκ（w），R（u，w）=-λw+θ（u）。（111）对于Riccati方程，我们从（41）和（111）˙φ=λκ（ψ）φ（0）=0（112）˙ψ=-λψ+θ（ut）ψ（0）=0。（113）平均走向的Riccati方程为˙φ=λκ（ψ）+q- rφ（0）=0（114）˙ψ=-λψ+θ（u（t/t）- 1） +1）ψ（0）=0（115）让我们考虑一个具体的例子，时间变化的L’evy由一个双指数的L’evy过程给出，时间变化由一个综合的OU过程暗示。