一般仿射随机波动率下的几何亚式期权定价

通过回顾双指数的累积量有以下表达式：κ（u）=νupα+- U-1.- pα-+ U, （116）式中，ν是跳跃过程的强度，α-, α+描述指数尾，平均价格的Riccati方程有以下显式解：ψ（t）=- E-λtνλu[PEI（1，-λα-u） e（λα）-u） λα-Ei（1，λα+u）e（λα+u）λα+u+pλα+Ei（1，λα+u）e（λα+u）(117)- E-λtνλu[PEI（1，-λ(α-+ ut）u）e（λ（α）-+ut）u）λα-Ei（1，λ（α）+- ut）u）e（λ（α）+-ut）u）λα+（118）+u+pλα+Ei（1，λ（α）+- ut）u）e（λ（α）+-ut）u）（119）平均走向Riccati方程有以下解：ψ（t）=e-λtνu[pλα-T Ei（1，-λα-T-λuT- λu（T）- t） u）e（λα）-T-λuT-λu（T）-t） u）+u]（120）-E-λtνu[pλα+tei（1，λα+t-λuT- λu（T）- t） u）e（λα+t-λuT-λu（T）-t） u）]+-E-λtνu[-pλα+tei（1，-λ(α-T- λuT- λu（T）- t） u）e（λ（α）-T-λuT-λu（T）-t） ）u）]6.6 CIR时变L’evy处理[CGMY03]中提出的另一个时间变化，用于改善Levy过程在描述logreturns统计行为方面的性能，是由集成CIR过程驱动的，即满足以下SDE的过程：dVt=-λ（Vt）- θ） dt+ηpVtdWt。（121）上述（109）和（108）将给出时间变化和返回过程。特性为f（u，w）=λθw，R（u，w）=ηw- λw+κ（u）。（122）式中，κ（u）是L’evy过程的累积量生成函数。从（41）和（122）中，我们得到了平均价格˙φ=λθψφ（0）=0（123）˙ψ=ηψ+-λψ+κ（ut）ψ（0）=0。（124）对于平均走向˙φ=λθψ+q- rφ（0）=0（125）˙ψ=ηψ+-λψ+κ（u（t/t）-1） +1）ψ（0）=0（126）让我们考虑一个具体的例子，由一个双指数过程给出的时变L’evy，其时间变化由一个积分CIR过程暗示。

通过回顾双指数的累积量有以下表达式：κ（u）=νupα+- U-1.- pα-+ U, （127）式中，ν是跳跃过程的强度，α-, α+描述指数尾，ψ的方程变成：˙ψ=η- ν˙ψ+λupν-- U-1.- pν+u, ψw（0）=0。（128）对于对称跳跃分布，即p=1/2和α+=α-我们可以用Heun的反超几何函数C给出一个明确的解，参见[Ron95，SK10]：ψ（t）=-ηy′（0）y′（t）- y′（0）y′（t）y′（0）y（t）- y′（0）y（t）。（129）y=exp(-λt）（α+- ut）C（0，-, 1.-λα++2etνα+16u，8u+λα+16u，utα+（130）y=exp(-λt）（α+- ut）C（0，+，1，-λα++2etνα+16u，8u+λα+16u，utα+（131）7结论性意见本文提供了一个几何亚式期权估值的框架，我们已经证明，通过一般过程方法，这个估值问题可以简化为解一些广义的Riccati方程，并且在许多相关情况下，这些方程允许c损失形式的解。当前估值程序的最后一步需要拉普拉斯变换的数值反演。尽管这种计算已经成为期权定价的标准，但仍然需要一些谨慎，尤其是当涉及复杂的特殊函数时，比如目前考虑的那些函数。我们未来的研究主题将是研究一种提供这种反演的快速而准确的算法，以及对几何亚式期权定价随机波动模型可用的数值方法的广泛比较。正如我们在第5节中提到的，为了应用我们的一般定价结果，必须验证操作可积性条件：必须确保所有未解决累积量函数的存在；这可以通过分析引入的特殊函数的奇异性来研究。

这一主题，以及对目前结果的系统数值说明，将是我们未来研究的主题，并将收集在另一篇论文中。拉普拉斯公式3。假设我们得到实数S>0，K>0，a>1，0<b<1，c<0。那么我们就有了x∈ R公式（例如- K） +=2πia+i∞Za-我∞KuKu（u）- 1） euxdu，（132）（K）- ex）+=2πic+i∞Zc-我∞KuKu（u）- 1） euxdu（133）和（前- （K）+- ex=2πib+i∞Zb-我∞KuKu（u）- 1） euxdu。（134）证据。设f（x）=（ex-K） +。一个初等计算提供了f的（双边）拉普拉斯变换，即z+∞-∞f（x）e-uxdx=KuKu（u）- 1） （135）对于Ru>1。现在f是连续的，并且具有局部有界变化，这是保证拉普拉斯反演积分（具有哪个轮廓）产生原始函数（132）的有效条件。见[Doe71，Satz 4.4.1，第210页]。（133）和（134）的证明是相似的。参考文献[AG03]Hansj–org Albrecher和Marc Goovaerts。L’evymodels下亚洲期权的静态套期保值：共单调性方法。预印本，格拉茨理工大学，2003年。[Alb04]Hansj–org Albrecher。指数型市场模型的亚洲期权估值。预印本，2004年。检查[AP04]汉斯·奥尔布赖彻和马丁·普雷多塔。关于NIG L’evy过程的亚式期权定价。ics计算与应用数学杂志，172（1）：153–168，2004。[Bat96]D.贝茨。跳跃和随机波动：汇率变动过程中隐含的indeutsche马克期权。《金融研究评论》，1996年9:69-107。检查贝茨。标准普尔500指数期货期权市场在1987年崩盘后的恐慌。《经济计量学杂志》，94（1-2）：181-238，2000年。检查[BGK07]弗雷德·埃斯彭·本思、马丁·格罗斯和罗德韦尔·库内苏。

非高斯Ornstein-Uhlenbeck随机波动率模型的波动率估值和方差交换。《应用数学金融》，14（4）：347–363，2007年。[BNNS02]奥勒·E·巴恩多夫——尼尔森、伊莉莎·尼古拉托和尼尔·谢泼德。随机波动率建模的一些最新进展。《定量金融》，2（1）：2002年11月至23日。波动率建模的特殊问题。[BNS01]奥勒·E·巴恩多夫——尼尔森和尼尔·谢泼德。非高斯Ornstein-Uhlenbeck模型及其在金融经济学中的一些应用。皇家统计学会杂志。B.S.统计方法学系列，63（2）：167-2412001。[CGMY03]佩特·卡尔、埃尔耶特·杰曼、迪利普·B·马丹和马克·约尔。L’evy过程的随机波动性。《数学金融》，13（3）：345–3822003年。[CLW12]彼得·卡尔、罗杰·李和吴留仁。时间变化的列维过程上的方差交换。《金融与随机》，16（2）：335-3552012。[CW04a]彼得·卡尔和吴留仁。随时间变化的列维过程和期权定价。《金融经济学杂志》，71（1）：113–141，2004年。[CW04b]张英乐和何英旺。几何亚式期权：随机波动的估值与校准。定量金融，4（3）：301–3142004。[DFS03]D.杜菲、D.菲利波维奇和W.沙切迈耶。一套财务流程和应用。《应用概率年鉴》，13（3）：984–1053，2003年。古斯塔夫·多奇。Handbuch-der-Laplace变换。乐队一：Theorie derLaplace——转型。Birkh–auser Verla g，巴塞尔，1971年。丹尼尔·杜弗兰。几何布朗运动的积分。应用可能性的进展，33（1）：223–2412001。Daniel Dufresne。贝塞尔过程和亚洲选项。Mich\'ele Breton and HatemBen Ameur，《金融中的数值方法》编辑，杰拉德25周年系列第9卷，第35-57页。斯普林格r，纽约，2005年。[EPS08]Ernst E berlein、Anto nis Papapanto leon和Albert N.Shiryaev。

期权定价中的对偶原理：半鞅设置。《金融与随机》，12（2）：265-2922008。[Feller]威廉·费勒。两个奇异的扩散问题。《数学年鉴》，54:173–1821951。[FH03]Jean-Pierre Fouque和川湘涵。具有随机波动性的亚洲期权定价。《定量金融》，3（5）：353-3622003年。[FM08]Gianluca Fusai和Attilio Meucci。独立监控的亚洲期权定价是evy流程的基础。《银行与金融杂志》，32（10）：2076-2088，2008年。保罗·格拉斯曼。金融工程中的蒙特卡罗方法。斯普林格，2004年。[GM11]伊曼纽尔·戈贝特和穆罕默德·米里。平均扩散过程的弱近似。预印本，2011年。[GY93]埃尔叶特·杰曼和马克·约尔。贝塞尔流程、亚洲期权和个人理财。数学金融，3（4）：349-3751993。史蒂文·L。赫斯顿。随机波动率期权的封闭d型解，应用于债券和货币期权。牧师。鳍《研究》，6:327–343，1993年。[HKK06]Friedrich Hubalek、Jan Kallsen和Leszek Krawczyk。具有平稳独立增量的过程的方差最优解。《应用概率年鉴》，16（2）：853–8852006。[HS09]弗里德里希·胡巴莱克和卡洛·斯加拉。关于Barndorff-Nielsen和Shephard的tochastic波动率模型的Esscher变换和其他等价的参与测度。随机过程及其应用，119（7）：2 137–2157，2009。[HS11]弗里德里希·胡巴莱克和卡洛·斯加拉。关于带跳跃的随机波动率模型中g几何期权的显式评估。计算与应用数学杂志，235（11）：3355–3365，20 11。[Kal06]简·卡尔森。一篇关于有效的随机波动率模型的说教笔记。《从随机微积分到数学金融》，第343-368页。柏林斯普林格，2006年。[Kat01]哈里·凯特。

结构性股票衍生品：奇异期权和结构性票据的定义指南。约翰·威利，2001年。[KMKV11]扬·卡尔森、约翰·穆勒·卡布e和莫里茨·沃什。有效随机波动率模型中的方差期权定价。《数学金融》，21（4）：627-64112011。[KR08]马丁·凯勒·雷塞尔。财务流程——财务理论与应用。论文，维也纳理工大学，2008年。[KR11]马丁·凯勒·雷塞尔。有效随机波动率模型的矩解和长期行为。数学金融，21（1）：73-982011。[KRST10]马丁·凯勒、沃尔特·沙切梅耶和乔·塞普·泰奇曼。一个过程是有规律的。预印本，2010年。[KW11]巴拉金和尹淑薇。赫斯顿随机波动模型下的几何亚洲期权定价。定量金融，iFirst:2011年1月1日至15日。[Mer76]R.Merton。基础股票收益不连续时的期权定价。《金融经济学杂志》，1976年3:125–144。检查[MP98]M.A.米列夫斯基和S.E.波斯纳。亚式期权，对数正态和互易伽马分布之和。《金融与定量分析杂志》，33（3）：409–422，1998年。[NV03]Elisa Nicolato和E mmanouil Venardos。Ornstein-Uhlenbeck型随机波动模型中的期权定价。《数学金融》，13（4）：445–4662003。[Pap07]安托尼斯·帕帕托莱恩。半鞅和L’evy过程在金融中的应用：对偶和估值。弗莱堡大学博士论文，2007年。[Pen06]彭斌。在CEV程序下对几何亚式期权进行定价。《国际经济杂志》，20（4）：515-5222006。【PZ03】Andrei D.Polyanin和Valentin F.Zaitse v.《有序微分方程精确解手册》。查普曼和霍尔/CRC，佛罗里达州博卡拉顿，第二版，2003年。[Reid]威廉·T·里德。Riccati微分方程。

学术出版社，纽约，1972年。科学与工程中的数学，第86卷。[Ron95]A.Ronveaux，编辑。Heun的微分方程。牛津科学出版社。牛津大学出版社，纽约，1995年。[Sch08]迈克尔·施罗德。关于金融中的构造性复杂分析：拉森期权的显式公式。《应用数学季刊》，66（4）：633-6582008。[2008年9月]Artur Sepp。在收益率和波动率跳跃的Heston模型中，基于已实现方差的期权定价。计算金融杂志，11（4）：33-702008。[SGD00]S.Simon、M.J.Goovaerts和J.Dhaene。算术亚式期权价格的一个易于计算的上界。保险：ics和经济学的Mathem，26（2-3）：175-1832000。[SK10]B.D.斯莱曼和V.B.库兹涅。Heun函数。NIST数学函数手册，第709-72页1。美国商务部，华盛顿特区，2010年。[Sla60]L.J.Slater。反超几何函数。剑桥大学出版社，纽约，1960年。【VDL+06】M.Vanmaele、G.Deelstra、J.Liinev、J.Dhaene和M.J.Goovaerts。离散算术亚式期权价格的界限。计算与应用数学杂志，185（1）：51-902006。[VX04]Jan Veˇceˇr和徐明欣。半鞅模型下的亚式期权定价l.定量金融，4（2）：170–1752004。[WHD95]保罗·威尔莫特、山姆·豪森和杰夫·德温。金融衍生品的数学。剑桥大学出版社，剑桥，1995年。[ZO13]B.Zhang和C.W.Oosterlee。基于傅里叶余弦展开的指数L’evy过程下欧式亚式期权的有效定价。《暹罗金融数学杂志》，4（1）：399-4262013。