参与最优清算的凸对偶方法

该离散版本（~SH）对应于第2节优化问题的离散对应物的最优性条件（离散时间模型的表示见附录B）。考虑到时间网格0，TNt=t，我们正在寻找（（秦）1≤我≤d、 0≤N≤N、 （pin）1≤我≤d、 0≤N≤N-1） 令人满意的是：（SH）：（pn+1=pn+tγ∑qn+1，0≤ n<n- 1琴+1=琴+tVin+1Hi′（引脚），0≤ n<n，我∈ {1，…，d}q=q，qN=0。系统的第一部分由线性方程组成。这一困难与哈密顿函数引入的非线性有关。特别值得一提的是，在初始的Almgren-Chriss情况下[2,3]，使用二次执行成本函数，系统可归结为线性系统。实际上，执行代价函数的经典形式是Lis isL（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|，η>0，ψ≥ 0, φ ∈ （0，1）。自Almgren和Chriss的最初论文以来，就考虑了超线性分量。在[2，3]中，作者考虑了二次情形φ=1以获得闭式解。然而，φ的实际值通常估计在0.4到0.8之间。例如，Almgren和花旗集团的合著者估计φ 0.6使用大量元顺序数据（见[5]）。比例成分模拟了投标报价、印花税或金融交易税的影响。参与约束ρmis:H（p）=sup |ρ与L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|相关的哈密顿函数H|≤ρmpρ- η|ρ|1+φ-ψ|ρ| =0如果| p |≤ ψφη|p|-ψη(1+φ)1+φ如果ψ<| p |≤ ψ+η（1+φ）ρφm（|p |- ψ） ρm- ηρ1+φmifψ+η（1+φ）ρφm<| p |因为L是严格凸的，H是cw，其中：H′（p）=符号（p）m在ρm中，最大值（|p|- ψ, 0)η(1 + φ)φ!该函数H′是不可区分的（见图1）。

这是一个建立通用数值方法的问题，因为系统（SH）和（~SH）涉及这种形式的哈密顿函数的导数。-0.06-0.04-0.02 0.00 0.02 0.04 0.06-0.2-图1：η=0.045、φ=0.5、ψ=0.0081和ρm=20%时的H\'形状。在维数d=1时，系统的解（~SH）很容易用简单的打靶法进行数值近似。我们确实可以用形式为p=λ的p上的初始条件来代替终端条件qN=0。然后，系统可以很容易地递归求解（时间向前）。需要注意的是，qN是一个λ的单调函数，最终得到一个有效的方法，该方法可以找到λ的适当值，从而qN=0。然而，当我们考虑几种资产时，出现了数值方法的问题。上面描述的射击方法不再相关：单调性属性丢失，通常用于确定p的适当值（如梯度下降）的方法通常失败。如[16]中所讨论的，在整个系统上使用牛顿方法，只有当他的函数是两次可微的时才可能。因此，当存在买卖价差成分或考虑参与约束时，它不能用于找到系统的近似解决方案（~SH）。另一种方法是考虑与问题相关的贝尔曼方程，并使用经典技术来近似这些方程的解。这始终是可能的，与Lis和His功能的规律性无关。然而，这种方法有几个严重的缺点。首先，Bellman方程需要在d维网格上求解，因为动态规划需要能够解决（几乎）状态变量q的所有值的执行问题。就计算时间而言，这不是一种有效的方法，尤其是当d变得大于2或3时。

此外，状态变量q的域需要被认为是大的，因为最优策略可能涉及套期保值目的的往返。即使在维度1或维度2中，也不建议求解与（~SH）相关的贝尔曼方程，因为最优策略必须在网格上，或使用插值方法（例如样条曲线）进行近似。。。如果考虑到市场容量过程的可变性，那么在执行过程中，q中的网格步骤没有理由是相同的。我们提出的方法基于问题（P）的对偶形式。它只要求他的函数的导数是Lipschitz（这就是被认为是love形式的情况）。此外，我们的方法是迭代的，只需要对大小为n×d.3.2的向量进行计算。我们在第2节中考虑的问题（P）是：inf（q，…，qd）∈CdXi=1ZTVisLi˙齐（s）与ds+γZTq（s）′∑q（s）ds。与此Bolza问题相关的对偶问题（D）是：inf（p，…，pd）∈W1,1（（0，T），Rd）J（p，…，pd），其中J（p，…，pd）=dXi=1ZTVisHi圆周率(s)ds+2γZT˙p（s）′∑-1˙p（s）ds+p（0）·问题。备注8。通过构造对偶问题，刻画J的极小值的哈密顿方程正是系统（SH）的哈密顿方程。换句话说，问题（D）的任何解都给出了问题（P）的解，通过q=γ∑-1˙p.如果我们考虑我们模型的离散对应物（见附录B），那么（p）的离散对应物（~p）是：inf（qin）0≤N≤N、 一,≤我≤D∈~C~I（（秦）0≤N≤N、 一,≤我≤d） ，有关Bolza问题的更多详细信息，请参见[27]。式中I（（秦）0≤N≤N、 一,≤我≤d） =dXi=1N-1Xn=0Li秦- 秦+1Vin+1TVin+1t+γN-1Xn=0q′n+1∑qn+1t、 式中，C=n（q。

，qd）\'∈RN+1Di、 齐=齐，秦=0，|秦- 秦+1|≤ ρimVin+1t、 0≤ N≤ N- 1o。与（P）相关的双重问题（D）是：inf（pin）0≤n<n，1≤我≤dJ（（引脚）0≤n<n，1≤我≤d） ，式中J（（pin）0≤n<n，1≤我≤d） =dXi=1N-1Xn=0Vin+1Hi（引脚）t+2γtN-1Xn=1（pn-pn-1)Σ-1（请注意-pn-1） +dXi=1piqi。备注9。如上所述，通过构造对偶问题，任何问题的解决方案（~D）都给出了（~SH）的解决方案，因此问题的解决方案（~P）–参见附录B。该解决方案可以使用原始变量和对偶变量之间的关系来编写：qn+1=γt∑-1（pn+1）- 请注意），0≤ n<n-1.这个对偶问题是我们数值近似方法的核心，因为我们的方法是基于一个J的极小值的数值近似。找到这样一个极小值的最初想法实际上是使用一个J的梯度下降算法。然而，一个简单的梯度下降相当于一个显式格式来近似PDE的解θp-γΣ-1.ttp+VH′P...VdHd′警察局= 0具有Neumann边界条件˙p（θ，0）=γ∑qand˙p（θ，T）=0，初始条件为θ=0。因此，幼稚的梯度下降需要θ的一小步，才能收敛到最小值。我们提出的方法不考虑半隐式梯度下降。的确如此J（p）=-γΣ-1–p+VH′P...VdHd′警察局, 在L.3.3半隐式梯度下降中取梯度，我们提出的方法受梯度下降的启发。然而，我们考虑了一个隐式格式，它对应于连续时间中的热算符。实际上，我们的想法是将J分解为J+，其中J（（pin）0≤n<n，1≤我≤d） =2γtN-1Xn=1（pn- pn-1)Σ-1（请注意- pn-1） 和J（（引脚）0≤n<n，1≤我≤d） =dXi=1N-1Xn=0Vin+1Hi（引脚）t+dXi=1piqi。然后，从最初的猜测p开始=p1,0，pd，0，p1,0N-1.

，pd，0N-1.′, 我们从pkby:pk+1=pk计算pk+1-θT~J（pk+1）+~J（pk）.哪里选择θ>0以保证序列（pk）k的收敛性。换句话说，我们提出以下半隐式梯度下降：o从初始猜测（pi，0n）0开始≤n<n，1≤我≤do代表k≥ 0和θ>0，递归定义（pi，k+1n）0≤n<n，1≤我≤dfrom（π，kn）0≤n<n，1≤我≤dby:p·，k+1n- p·，千牛θ-γΣ-1p·，k+1n+1- 2p·，k+1n+p·，k+1n-1.t+VH′p1，千牛...VdHd′pd，kn= 0, 0 ≤ n<n，按照惯例，我们定义为：p·，k-1=p·，k- tγ∑q，p·，kN=p·，kN-1.由于该方法是半隐式的，我们需要首先声明递归定义没有问题。为此，我们从一个简单的引理开始：引理3.1。为了p=P警察局，pN-1.pdN-1.′,~J（p）=γ商标 Σ-1其中N×N矩阵M由以下公式定义：p·，kn表示Rdcolumn向量（p1，kn，…，pd，kn）′。M=1.-1 0-1 2 -1.-1 2 -10-1 1.然后，下一个命题表明，我们的方法确实很明确。提议3.1。序列（pk）kis已明确。现在，我们的目标是证明θ、 序列（pk）kconvergestoward是J的极小值。然后，最优轨迹q*利用对偶变量p和原始变量q之间的关系，也将得到一个极限。为此，我们从一个简单的引理开始。引理3.2。假设哈密顿函数His是C1,1，那么■Jis是一个带有K的Lipschitzfunction~JkLip≤ t supi，nVin+1kHi\'kLip。现在我们可以陈述我们的收敛结果。定理3.1（半隐式梯度下降的收敛性）。假设Ham-iltonian函数His是C1,1，让我们考虑K，使得K~JkLip≤ Kt、 那么，如果θ<K，（pk）kc趋于最小值p*因此，如果我们定义N∈ {1，…，N- 1} ，q*n=q1*N

，qd*N′= 林克→+∞γ锡 Σ-1.p·，千牛- p·，千牛-1.,然后（q*, P*) 是（~SH）的解决方案。这个定理证明了我们的方法比简单的梯度下降更有效，如下所示： θ可以独立于t、 除此之外，它不需要考虑哈密顿函数的二阶导数，这与牛顿公式相反。在开始实际使用我们的方法之前，让我们注意到，在形式为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|的执行成本的情况下，边界可以明确表示：备注10。如果i、 Li（ρ）=ηi |ρ| 1+φi+ψi |ρ|，那么我们可以考虑k=supi，nVin+1ηiφi（1+φi）ρim1-φiI在实践中，对于θab oveK。备注11。如果定义qkn=γ锡 Σ-1.p·，千牛- p·，千牛-1., 然后qk=qand qkN=0表示所有k，感谢pk的定义-1和pkN。这在实践中是很重要的，因为我们需要接近q*通过QK获得一个大型k.4实践示例4。1初步注释在实践中，可以方便地对∑进行对角化，以简化EMIS隐式梯度下降中的计算。如果我们真的写∑=QDQ-1∑的谱分解，由y·定义的变量yk，kn=Q-1p·，knveri fies:y·，k+1n- y·，千牛θ-γD-1y·，k+1n+1- 2y·，k+1n+y·，k+1n-1.t+Q-1.VH′（Qy·，千牛）...VdHd′（Qy·，kn）d= 0, 0 ≤ n<n，根据惯例，我们定义为：y·，k-1=y·，k- tγDQ-1q，y·，kN=y·，kN-1.这个公式确实能够独立地考虑每种原料上的离散热算符。我们现在通过具体的例子来讨论我们的方法的实际应用。我们将不讨论比较静力学，因为参数的作用已在许多论文中描述过（例如参见[6,16]）。相反，我们关注的是对参与率的约束具有约束力，或买卖价差起作用的特定情况。4.2单一资产案例中的例子为了举例说明我们方法的使用，我们首先考虑用单一股票清算投资组合。

股票的参数如下：o股票价格S=75，o波动率20%，对应于σ=0.9375，o假设市场容量在一天内保持不变，Vt=2000000，o执行成本函数为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|，η=0.045，φ=0.5，ψ=0.0081。我们考虑q=300000股（即市场日交易量的15%）在一天（T=1）内的清算，最大参与率有三种不同的数据。在FirstCase中，我们将ρm设置为60%，由于约束从未具有约束力，因此这对应于对参与率设置完全没有约束。另外两种情况分别对应于ρm=40%和ρm=20%。最优清算策略的结果如图2所示。我们发现，正如预期的那样，我们越是限制参与率，参与率就越低。这些数字的灵感来源于法国的Sano Fi股票。执行过程。特别是，我们看到，在两种情况下，ρm=40%和ρm=20%，约束是有约束力的，随着清算过程以直线（与最大参与率对应的直线斜率）开始。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 50000 150000 250000时间位置无约束最大参与率=40%最大参与率=20%图2：最大参与率ρm不同值的清算。风险规避：γ=4.10-7.4.3多资产案例中的示例上述示例适用于单一资产组合。现在我们来看三个不同的案例，涉及多个资产。在第一种情况下，我们清算了两个正相关资产的长期投资组合。

在第二种情况下，我们清算了一个投资组合，该投资组合在FirstAsset中持有多头头寸，在第二种资产中持有空头头寸，这两种资产仍然是正相关的。第三种情况对应于一种资产组合的清算，即允许另一种（相关）资产的往返，以对冲风险。我们认为第一项资产如上所述：o股价S=75，o波动率20%，对应于σ=0.94，o假设市场容量在Vt=2000000的一天内保持不变，o执行成本函数为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|，η=0.045，φ=0.5，ψ=0.0081。对于我们说明的前两种情况，我们考虑的第二种资产具有以下特征：o股票价格S=50，o波动率17%，对应于σ=0.53，o假设市场交易量在Vt=4500000的一天内是恒定的，o执行成本函数为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|，η=0.0255，φ=0.5，ψ=0.005。假设两项资产之间的相关性为0.5。对于第一个例子，我们假设q=300000和q=675000，即每项资产日市场容量的15%。假设最大参与率为ρm=ρm=40%。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 200000 400000 600000 TimePositionAsset 1资产2在没有资产2的情况下进行清算时资产1图3：2资产长期投资组合的清算。风险规避：γ=4.10-7.结果如图3所示。作为基准，我们绘制了仅使用资产1的投资组合清算的最佳策略。我们发现，投资组合中两项资产的存在加速了资产1的清算。由于这两项资产正相关，资产2的存在增加了价格风险。因此，资产2存在时，资产1的清算速度自然会更快。

值得注意的是，当考虑完整投资组合时，清算发生的速度。这些数据来源于法国股票总量。如果没有参与限制，这将更加重要。在两种资产的情况下，资产1的约束在前10%的时间窗口内确实具有约束力。多资产情况下的清算速度比单资产情况下的清算速度慢的相反情况可能对应于具有两个正相关资产的长/短组合的清算，或者对应于具有两个负相关资产的仅长或仅短组合的清算。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 50000 150000 250000时间位置-1000000-600000-20万资产1资产2无资产清算时的资产1图4：2资产长/短组合的清算。风险规避：γ=4.10-7.左轴对应于资产1，右轴对应于资产2。为了说明前者，我们考虑与上述相同的资产，但投资组合为q=300000和q=-675000.假设最大参与率为ρm=ρm=30%。结果如图4所示。正如预期的那样，由于第二种资产的存在降低了价格风险，因此在两种设定情况下，资产1的清算速度比在一种资产情况下慢。然而值得注意的是，在这两种情况下，As set 1的约束从一开始就具有约束力。我们考虑的第三种情况是纯粹的套期保值情况，交易员对资产2没有初始位置，但第二种资产将用于套期保值目的。

我们考虑资产2比资产1更具流动性的情况：o股票价格S=50，o波动率17%，对应于σ=0.53，o假设市场容量在Vt=10000000的一天内保持不变，o执行成本函数为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|，η=0.002，φ=0.5，ψ=0.001.0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 50000 150000时位-300000-200000-10万资产1资产2无资产清算时的资产2理论享乐图5：有对冲和无对冲的单一资产组合的清算。风险规避：γ=1.10-6.左轴对应于资产1，右轴对应于资产2。假设两种资产价格之间的相关性为0.5。就最大参与率而言，我们取ρm=50%，且ρm足够大，以使约束不具有约束力。结果如图5所示。作为基准，我们还在虚线中绘制了理论套期保值曲线q=-ρσSσSq，如果没有执行成本。事实上，为了避免支付太多的往返费用，交易者通过停留在平台上（这是与比例项的联系）来限制往返。我们还发现，正如预期的那样，由于套期保值工具，执行过程减慢了。附录A：提案2.1的证明：在定义XT时按部分积分后，我们得到：XT=q\'S-兹特维斯利维斯ds+ZTσiqisdWis。因此，如果（v，…，vd）∈ Adet，（q，…，qd）是确定性的，Xt是高斯的。因此j（v，…，vd）=E[-经验(-γXT）]可以用封闭形式计算，因为我们知道高斯变量的拉普拉斯变换：J（v。