参与最优清算的凸对偶方法

，vd）=-经验-γq′S-dXi=1ZTVisLi维斯ds-γZTq′s∑qsds！！。定理2.1的证明：可以使用与[16]中定理2.1相同的方法获得存在性。唯一性直接来自于二次型x7→ x′∑x是严格凸函数。现在，我们来讨论哈密顿特性，我们考虑广义函数：Li（ρ）=（Li（ρ）if |ρ|≤ ρim+∞ 如果|ρ|>ρim，因此，问题（P）等价于inf（q，…，qd）∈bCdXi=1ZTVisLi˙齐（s）与ds+γZTq（s）∑q（s）dsbc=nq∈ W1,1（（0，T），Rd），q（0）=q，q（T）=0o。将[27]中的定理6及其推论应用于这个问题，我们得到了定理2.1中所述的哈密顿特征。定理2.2的证明：证明与[16]和[30]完全相同。这是吉尔萨诺夫定理的一个简单推论。命题3.1的证明：使用引理3.1，我们有：pk+1-pk=-θγ商标 Σ-1pk+1-θT~J（pk）。参与约束的存在甚至简化了证明，避免了邓福德-佩蒂斯定理的使用。因此，为了证明pk+1是pk的唯一定义，我们需要证明matrixINd+θγ商标 Σ-1是可逆的。为此，我们写∑=QDQ-1∑的谱分解，D是对角的，具有正系数。请注意+θγ商标 D-1是严格对角占优矩阵，因此是可逆的。

因此，INd+θγ商标 Σ-（1=） Q）印第安纳州+θγ商标 D-1.（在 Q-1） 是可逆的。定理3.1的证明：为了提高可读性，让我们引入a=γM Σ-1和B=INd+θ助教。然后，使用引理3.1，简单的计算得到：pk+1- pk=-θ肺结核-1.~J（pk）。现在，我们分解J（pk+1）-~J（pk）等于~J（pk+1）-~J（pk）+~J（pk+1）-~J（主键）。o对于第一部分，我们有J（pk+1）-~J（pk）=~J（pk）′（pk+1- pk）+（pk+1- pk）′At（pk+1）- pk）=-θT~J（pk）′B-1.~J（pk）+θT~J（pk）′B-1A肺结核-1.~J（主键）。o对于第二部分，我们有J（pk+1）-~J（pk）≤ ~J（pk）′（pk+1- pk）+Ktkpk+1- 库尔德工人党≤ -θT~J（pk）′B-1.~J（pk）+KTθT~J（pk）′B-2.~J（pk）。求和，我们得到：~J（pk+1）-~J（pk）≤ -θT~J（pk）′B-1.~J（pk）+θT~J（pk）′B-1.KtINd+ATB-1.~J（pk）≤ -θT~J（pk）′B-1.B-θTKtINd+AT| {z}=RB-1.~J（pk）。因此，写作θT~J（pk）′B-1RB-1.~J（pk）≤~J（pk）-~J（pk+1）并对k求和，我们得到κ∈ N:θtκXk=0~J（pk）′B-1RB-1.~J（pk）≤~J（p）- 现在，R=B-θTKtINd+AT=1.-Kθ印第安纳州+θTAI是一个正定义矩阵θ<K。因此，正项序列~J（pk）′B-1RB-1.~J（pk）是收敛的。由于R和B是正定义矩阵，我们可以得出以下结论：~J（pk）kis也收敛。现在，自从pk+1- pk=-θ肺结核-1.~J（pk），序列pkpk+1- pkkis收敛，我们可以得出结论，序列（pk）KC向向量p靠拢*以至于~J（p*) = 0–如果我们定义q，那么这对应于最小值J*= q、 q*N=0，且N∈ {1，…，N- 1} ，q*n=q1*N量子点*N′=γ锡 Σ-1.p·，*N- p·，*N-1.,很容易验证（p*, Q*) 是（~SH）的解决方案。附录B：离散模型本附录专用于我们模型的离散对应物。为此，我们认为时间是分为若干段的我们用t=0表示≤ . . . ≤ tn=nT≤ . . . ≤ tN=T离散模型的相关时间序列。因为我∈ {1, . . .

，d}，我们用vin+1表示t交易人在tn和tn+1之间出售的股票数量。因此，投资组合q=（q，…，qd）的状态是给定的i、 秦+1=秦- vin+1t、 0≤ n<n.确定性策略是最优的这一事实，可以在离散框架中使用与连续时间模型中类似的技术来显示。价格过程的模型为：Sin+1=Sin+σi√tin+1，其中（σn，…，σddn）是i.i.d.n（0，∑）随机变量。交易员为vin+1获得的现金金额t他售出的股票i的股份（tn，tn+1）取决于vin+1t本身和库存i的市场容量超过（tn，tn+1），假设为Vin+1t、 现金账户的结果动态为：Xn+1=Xn+dXi=1vin+1英寸- 锂vin+1 vin+1Vin+1T, X=0。我们考虑的最大化标准是：E[-经验(-γXN）。在连续时间模型中，最终财富可以计算为：XN=dXi=1qiSi+σi√tN-1Xn=0千英寸+1英寸+1英寸-N-1Xn=0Livin+1 vin+1Vin+1T因此，XNis是一个均值为dxi=1qiSi的高斯变量-N-1Xn=0Livin+1 vin+1Vin+1T和差异tN-1Xn=0q′n+1∑qn+1。因此，E[-经验(-γXN）]=-经验-γdXi=1qiSi-N-1Xn=0Livin+1 vin+1Vin+1T-γtN-1Xn=0q′n+1∑qn+1！！，问题归结为最小化dxi=1N-1Xn=0锂秦-秦+1Vin+1TVin+1T+γN-1Xn=0q′n+1∑qn+1t、 超过＠C=n（q。

，qd）\'∈RN+1Di、 齐=齐，秦=0，|秦- 秦+1|≤ ρimVin+1t、 0≤ N≤ N- 1o。这个问题可以写成离散时间的布尔扎问题：inf（qin）0≤N≤N、 一,≤我≤d、 q=q，qN=0I（（秦）0≤N≤N、 一,≤我≤d） ，其中（（秦）0≤N≤N、 一,≤我≤d） =N-1Xn=0锂秦- 秦+1Vin+1TVin+1T+γN-1Xn=0q′n+1∑qn+1t、 其中Li（ρ）=（Li（ρ）if |ρ|≤ ρim+∞ 如果|ρ|>ρim。然后，使用与[23]中开发的技术相同的技术，但在离散时间内，可以证明这个问题的对偶公式是问题（~D）：inf（pin）0≤n<n，1≤我≤dJ（（引脚）0≤n<n，1≤我≤d） ，式中J（（pin）0≤n<n，1≤我≤d） =dXi=1N-1Xn=0Vin+1Hi（引脚）t+2γtN-1Xn=1（pn-pn-1)Σ-1（请注意-pn-1） +dXi=1piqi。与这两个问题相关的一阶条件对应于哈密顿方程（SH）：（SH）：（pn+1=pn+tγ∑qn+1，0≤ n<n- 1琴+1=琴+tVin+1Hi′（引脚），0≤ n<n，我∈ {1，…，d}q=q，qN=0。参考文献[1]R.阿尔姆格伦。具有随机流动性和波动性的最优交易。《暹罗金融数学杂志》，3（1），163-181，2012年。[2] 阿尔姆格伦和克里斯。清算中的价值。风险，12（12）：61-631999。[3] 阿尔姆格伦和克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3:5-40。[4] 阿尔姆格伦和洛伦兹。自适应到达价格。交易杂志，（1）：59-662007。由于His函数属于C类，因此对于对偶问题，该系统的推导非常简单。对于原始问题，当函数Lis是类Cand且没有参与约束时，它也很简单。然而，在一般情况下，需要依赖经典的对流优化技术——如[23]中介绍的非常普遍的技术——并在连续时间情况下模拟（相当长但经典的）证明，以获得离散时间情况下原始问题、对偶问题和哈密顿方程之间的等价性。[5] R.阿尔姆格伦、C.图姆、E.豪普特曼和H.李。

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