参与最优清算的凸对偶方法

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英文标题：
《A convex duality method for optimal liquidation with participation
  constraints》
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作者：
Olivier Gu\\\'eant, Jean-Michel Lasry, Jiang Pu
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In spite of the growing consideration for optimal execution in the financial mathematics literature, numerical approximations of optimal trading curves are almost never discussed. In this article, we present a numerical method to approximate the optimal strategy of a trader willing to unwind a large portfolio. The method we propose is very general as it can be applied to multi-asset portfolios with any form of execution costs, including a bid-ask spread component, even when participation constraints are imposed. Our method, based on convex duality, only requires Hamiltonian functions to have $C^{1,1}$ regularity while classical methods require additional regularity and cannot be applied to all cases found in practice.
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中文摘要：
尽管金融数学文献中对最优执行的考虑越来越多，但几乎从未讨论过最优交易曲线的数值近似。在这篇文章中，我们提出了一个数值方法来近似的最佳策略的交易者愿意解除一个大的投资组合。我们提出的方法非常通用，因为它可以应用于具有任何形式执行成本的多资产投资组合，包括买卖价差部分，即使在施加参与约束的情况下也是如此。我们的方法基于凸对偶，只要求哈密顿函数具有$C^{1,1}$正则性，而经典方法需要额外的正则性，不能适用于实践中发现的所有情况。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> A_convex_duality_method_for_optimal_liquidation_with_participation_constraints.pdf (285.53 KB)

2022-5-6 11:19:43 上传

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关键词：Optimization Quantitative mathematics Constraints QUANTITATIV

参与约束下最优清算的凸对偶方法*Olivier Guéant+，Jean-Michel Lasry，Jiang Pu§摘要尽管金融数学文献中对最优执行的考虑越来越多，但几乎从未讨论过最优交易曲线的数值近似。在这篇文章中，我们提出了一个数值方法来近似一个投资者愿意放松一个大的投资组合的最优策略。我们提出的方法非常通用，因为它可以应用于具有任何形式执行成本的多资产投资组合，包括出价和报价组合，即使在施加参与约束的情况下也是如此。我们的方法基于凸对偶，只要求哈密顿函数具有C1,1正则性，而经典方法需要额外的正则性，不能适用于实践中发现的所有情况。1简介当一个交易者愿意平仓一个大型投资组合时，他面临着市场风险与市场影响和执行成本之间的权衡。大量出售rapidlya野兔确实成本高昂，因为它需要从限额订单中获取流动性。然而，由于其他市场参与者的行为，销售缓慢会面临价格风险。如果一个交易者在某个特定的时间决定平仓他的投资组合，他的决定当然是基于当时的市场价格。因此，他需要足够快的销售速度，以使价格在执行过程中不会有太大的波动。15年来，最优执行一直是学术文献中的一个重要话题。阿尔姆格伦和克里斯在1999年和2001年发表的开创性论文[2,3]确实对执行成本和市场影响与价格风险之间的上述权衡进行了建模。

Almgren和Chriss提出了一个s imple框架来解决优化调度执行过程的问题*这项研究是在欧洲金融研究所赞助下的研究倡议“高级金融机构现代化”（前身为“高级流动资金最佳执行与统计”）的支持下进行的。这篇论文在两位匿名推荐人的报告之后得到了改进，他们真的需要感谢。+巴黎狄德罗大学、数学研究院、实验室雅克·路易斯·利昂斯。巴黎法兰西大道75013号巴黎多芬大学。塔西尼海滩广场，75116巴黎。§欧盟金融研究所。巴黎证券交易所广场28号，75002。从那时起，从业者和学者基本上对该模型进行了修改和扩展。Almgren-Chriss模型最初是在一个资产的情况下，在离散时间内，以二次执行成本和价格的Bachelier动力学为基础，然后在连续时间内考虑并推广，以考虑更现实的执行成本和随机执行成本——见[6]。还考虑了价格的Black-Scholes动力学（见[12]），并在One asset案例中尝试在其他方向上推广模型，例如考虑随机波动性和随机流动性，见[1]。关于优化标准及其对最优策略的影响的讨论在文献中也占有重要地位，例如参见[4,10,17,25,31]，以及[29]中获得的关于增加或减少风险规避的非常有趣的结果。例如，Schiedand Sch"oneborn[30]开发了多资产投资组合的重要扩展。

Guéant还在[16]中开发了最佳清算的一般框架，并将其用于大宗交易定价。在这篇关于最优执行的经典文献中，市场微观结构通过永久市场影响和执行成本（或瞬时市场影响）函数建模。这些函数考虑了交易者对股价的影响，以及交易者从市场获取流动性所需的成本。Obizhaeva和Wang的论文[26]自2005年以来一直是预印本，之后又出现了一系列文献。在文献的这一部分中，为了将短暂的市场影响引入最优执行问题，对订单簿的动态进行了建模。然而，在Postifid和post Reg N MS世界中，由于可以使用多个多边贸易设施和各种暗池，这种相关方法需要对所有场馆进行建模。。。这将导致一个相当复杂的模型！Almgren-Chriss模型更简单，可以将不同场地（与不同微结构相关）的影响总结为一个或两个功能。在文献中的大多数论文中，最优策略并不取决于价格的演变（具体参见[30]）。Almgren-Chriss模型的结果是一条最优的交易曲线，在开始之前说明执行过程的最佳时间安排。这条交易曲线构成了mostexecution算法的第一层（战略）。一个执行算法实际上通常由两层组成：Astragic层，它控制与基准相关的风险并降低执行成本；还有一个战术层，通过所有类型的订单，以及所有其他流动性池（亮或暗），在订单簿中寻找流动性。

第二层在最近的文献中已经通过涉及限额指令的新模型（例如参见[7,13,14,21]）或通过使用暗工具清算的研究（参见[18,19]和[22]）进行了研究。在本文中，我们关注多资产组合的第一层执行算法。对于执行算法的一般描述，我们考虑了一个Von N eumann-Morgenstern期望效用框架（见[24]）。另一种观点参见[8]。对于一个资产组合清算来说，多资产组合的情况也很有趣，因为它可以考虑对额外资产进行一次往返对冲。具有持续绝对风险厌恶的投资者。我们考虑执行成本的一般形式，最优策略的特征是[16]和[30]中的哈密顿系统。最优策略的数值近似在[16]中进行了简要讨论，但[16]中提出的方法仅限于一小类哈密顿函数（具有Cregularity的严格凸函数）。本文提出的方法更一般，因为它只要求哈密顿函数具有C1，1正则性。当考虑买卖价差和增加参与率约束（相对于市场交易量，可交易量的上限）时，它能够从数值上解决多资产投资组合的最优策略问题。文献中很少讨论数值方法（一个重要的例外是[20]）。事实上，在单一资产的情况下，问题相当简单，因为买卖价差部分不起作用，而且大多数论文都没有考虑参与约束。在单一资产的情况下，确实可以使用打靶法来获得最佳交易曲线的精确数值近似值。

然而，在多资产的情况下，射击方法不再相关。牛顿的方法无法找到哈密顿方程或与Almgren-Chriss类模型相关的Euler-Lagrange方程的解，除非是光滑函数。。。太过平滑，无法嵌入出价-询问-展区组件或参与约束。考虑与最优控制相关的贝尔曼方程总是可能的，至少在理论上是如此，但它在计算时间和数值精度方面存在严重缺陷。我们提出的方法是基于凸对偶的，并允许考虑所有可能的实际情况，因为它只要求哈密顿函数为C1,1。我们在第二节中给出了连续时间的一般框架，并给出了最优清算策略的经典存在性和唯一性结果。我们还提供了描述这种最优清算策略的哈密顿方程。这些方程及其离散对应的方程在我们的论文中起着重要作用。在第三节中，我们提出了一种基于凸对偶的数值方法来逼近最优变现策略，并证明了一个收敛结果。在第4节中，我们给出了数值例子。附录A中介绍了Pro ofs。附录B专门介绍了第2.2节“最优清算：设置和经典结果”中所述连续时间模型的离散对应部分。1.我们考虑初始数量为q=（q，…，qd）的d种不同股票的投资组合。我们考虑在时间窗口[0，T]（时间范围通常为几分钟到几小时）内展开此投资组合的问题。这里我们考虑[16]或[30]中使用的连续时间经典模型的一个变体。

我们模型的离散对应物见附录B。我们考虑概率空间(Ohm, P） 配备过滤（Ft）t∈[0，T]满足通常条件。我们假设所有随机过程都定义在(Ohm, （Ft）t∈[0，T]，P）。我们还介绍了[0，T]中定义的逐步可测量过程的集合P（0，T）。市场容量过程用（Vt，…，Vdt）t表示∈[0，T]。假设它们是确定性的（F-可测量的），积极的和有界的。对于每种股票，我们考虑最大参与率，并用ρm表示，ρdm∈ R*+. 这允许定义一组可接受的清算策略：A=（（vt，…，vdt）t∈[0，T]∈ P（0，T），i、 | vit |≤ ρimVita。e、 在[0，T]×上Ohm, i、 ZTvitdt=qia。s、 ）。对于清算策略（vt，…，vdt）t∈[0，T]∈ A、 我们用（qt，…，qdt）t表示交易员出售股票的速度∈[0，T]给出文件夹状态的过程。它验证了：i、 气=气-Ztvisds。备注1。换句话说，我们对策略（v，…，vd）的假设只是，相对于市场交易量而言，一个人不能交易得太快，我们确实在T时间之前清算了投资组合。备注2。我们总是认为清算是可行的，因为i、 |气|≤ ρimztvidt。对于每种股票，我们考虑价格的布朗动力学：i、 dSit=σidWitσi>0，我们假设d维布朗运动（σW，…，σdWd）有一个非奇异的协方差矩阵∑。备注3。考虑价格的布朗动力学而不是布莱克-斯科尔斯动力学在建模方面几乎没有影响，因为我们考虑的时间范围最多为几个小时。然而，从数学角度来看，前者比后者更实用。备注4。

我们的模型可以很容易地考虑非常数波动过程的情况，只要这些过程保持确定性和正性。例如，我们可以将波动过程与市场容量过程联系起来。我们不考虑永久性市场影响，因为它在清算策略中不起作用——见[11]和[15]。由于执行成本的原因，交易员在时间t时在STOCK i上的交易获得的价格不是SIT。为了模拟这些执行成本，我们引入d函数L，l验证以下假设：oi、 Li（0）=0，oi、 Li是一个偶数函数i、 Li随着R+的增加而增加i、 它是严格凸的。现在，对于（v，…，vd）∈ A、 我们定义了现金流程（Xt）t∈[0，T]by:Xt=ZtdXi=1内脏- 维斯利维斯ds。备注5。实际上，对于ηi>0，ψi，我们需要覆盖Li（ρ）=ηi |ρ| 1+φi+ψi |ρ|≥ 0和φi∈ （0，1）。函数的比例部分对应于投标报价、印花税和/或金融交易税——我们通常称之为投标报价部分。超线性部分是所有模型的经典执行成本部分。我们的目标函数为（v，…，vd）∈ A isJ（v，…，vd）=E[-经验(-γXT）]，其中γ>0是交易者的绝对风险规避参数。换句话说，我们的问题是发现：（v1）*, . . . , 性病*) ∈ argmax（v，…，vd）∈AJ（v，…，vd）。根据[16]和[30]中得到的结果，我们可以证明存在这样一种最优清算策略。我们还可以证明，随机策略不能比确定性策略做得更好。

这些结果，以及独特决定论最优策略的特征，将在接下来的段落中展示。2.2最优清算策略[16]和[30]中得到的结果可以很容易地适用于此处考虑的情况。首先，可以将清算策略集限制为确定性过程。我们用Adett来表示这个集合，它由A中的清算策略组成，这些策略是可测量的。我们的第一个命题表明，在确定性策略的情况下，目标函数是简单的，因为最终财富是正态分布的。这一假设很容易放宽，例如包括不对称印花税。提议2.1。如果（v，…，vd）∈ 当X为正态分布时，andJ（v，…，vd）=-经验-γq′S-dXi=1ZTVisLi维斯ds-γZTq′s∑qsds！！。这个命题的一个结果是，问题归结为求解以下变分问题：（P）inf（q，…，qd）∈CI（q，…，qd），其中i（q，…，qd）=dXi=1ZTVisLi˙齐（s）与ds+γZTq（s）′∑q（s）ds，其中c=nq∈ W1,1（（0，T），Rd），q（0）=q，q（T）=0，i、 |˙齐（t）|≤ ρimVit，a.e.in（0，T）o.利用变分法和凸优化的经典技术，如[16]所示，得到了I的极小值的存在性和唯一性。此外，最优清算策略的特征是哈密顿系统。定理2.1（最优策略的存在性、唯一性和特征）。存在一个唯一的函数q*∈ 使问题（P）中定义的函数最小化。存在一个W1,1函数p，使得（q*, p） 是哈密顿系统（SH）的解：（˙p（t）=γ∑q（t）˙qi（t）=VitHi′（pi（t）），我∈ 具有边界条件q（0）=q，q（T）=0，w的{1，…，d}这里：Hi（p）=sup |ρ|≤ρimpρ- Li（ρ），此外，如果W1,1函数的一对（q，p）是（SH）的解，那么q=q*.备注6。

虽然最优轨迹q是唯一的*, p可能不存在唯一性。这对于数字来说很重要。备注7。如果市场容量过程是连续的，那么很明显，对于系统（SH）的任何解（p，q），q具有Cregularity，p具有Cregularity。因此，我们将近似p而不是q。哈密顿特征（SH）比大多数论文中使用的欧拉-拉格朗日方程更适合于数值计算，因为执行成本函数Lis不属于Cassoon类，因为存在买卖价差分量。找到哈密顿系统（SH）解的近似值（或者实际上是离散时间模型中该系统的对应解）是本文的目标，我们将在下一节介绍我们的方法。但在讨论我们的数值方法之前，让我们在本节结束时指出，随机策略不能比最佳确定性策略做得更好。定理2.2（确定性策略的最优性）。助理（v，…，vd）∈AE[-经验(-γXT）]=sup（v，…，vd）∈阿黛特[-经验(-γXT）].3数值方法：凸对偶到3。1初步注释我们在上一节中介绍的模型是一个连续时间模型。连续时间模型有助于从微分学中获益，并对数值方法有直觉。然而，正如引言中所解释的，我们解决的问题包括第一层执行算法，必须每5或10分钟做出一次决定。因此，从业者面临的问题自然是离散时间，而不是连续时间。本节的目标是提出一种新的数值方法，用于逼近哈密顿系统（SH）的解（p，q），或者更准确地说，逼近该系统的离散版本。