具有记忆和可变排列的一级极限订单模型

定义n:=inf{t>0:Qa，nt（~xan）-1) ∧ Qb，nt（~xbn）-1） =0}并考虑以下事件：An=nQb，nn（~xbn-1） =0，ζn-1=1或Qb，nn（~xbn）-1） =0，ζn-1> 1，Ln（ζn）-1) ≥ 不，Bn=Ln（ζn）-1） <n，Ln（ζn）-1） =Lan（ζn）-1） ，ζn-1> 1,Cn=nQa，nn（~xan）-1） =0，ζn-1=1或Ln（ζn-1) ≥ n，Qa，nn（xan-1） =0，ζn-1> 1o，Dn=nLn（ζn-1） <n，Ln（ζn）-1） =Lbn（ζn）-1） ，ζn-1> 1o，其中{Lak（ζ）}k，ζ∈Z+，{Lbk（ζ）}k，ζ∈Z+和{Lk（ζ）}k，ζ∈Z+是第2.1节中定义的随机变量。如果询问队列耗尽（事件Anabove）或新队列到达投标方（事件Bn），则在时间TN发生正价格变化。类似地，如果出价队列耗尽（事件Cn）或新队列到达请求端（事件Dn），则价格会发生负变化。因此，联合国：={An}+{Bn}-{Cn}+{Dn}, （20） 代表n-第四次价格变动≥ 1.如前一节所述，分析价格变化的一个重要步骤是用适当的马尔可夫链表示这些变化。设∧：={z=（y，c，u）：y∈ OhmN*, C∈ Z+，u∈ {-1/2,1/2}和vn:=（λxn，ζn，~un），（21）表示n≥ 1.注意V:={Vn}n≥0是∧上的马尔可夫链，因为∧xn，ζ和∧仅与（∧xn）无关-1，ζn-1).此外，我们可以看到，V的状态相互通信，因此，V是不可约的。此外，假设引理2.4和2.5的假设成立，我们可以证明V是循环的，类似于定理2.3的证明，并且由于V的状态空间的可数性，V将是哈里斯循环的。因此，V也是正的。此后，我们分别用ν和Pext（\'y，\'z）表示V的平稳测度和跃迁概率。如上所述，我们的主要目标是建立价格过程的粗粒度行为（19）。为了做到这一点，我们首先分析了过程Wn:=Pnj=1uj的收敛性，并对其进行了适当的重新缩放。

为此，可数状态空间上马尔可夫链的函数中心极限定理（FCLT）将非常有用：定理2.9（Meyn and Tweedie（2009），定理17.4.4）。假设{Vn}n≥0是可数状态空间∧上的正Harris，分别具有跃迁和平稳概率测度PexT和ν。设hbe为∧上的一个函数，其Poisson方程的解为^h- Pext^h=h- v（h）、（22）与v（^h）<∞. 考虑中心函数h（Vk）：=h（Vk）的部分和- ν（h），Sn（\'h）：=nXk=1\'h（Vk），（23），设rn（t）为连续的分段线性函数，在≥0; i、 e.，rn（t）：=Sbntc（`h）+（nt）- bntc）hSbntc+1（\'h）- 那么，如果常数γ（h）：=ν^h- （Pext^h）（25）是肯定的，它认为，rn（t）pnγ（h）T≥0=>{Wt}t≥0，n→ ∞. （26）备注2.10。通过取t=1，可以得出√NnnXk=1h（Vk）- ν（h）=> N（0，γ（h））。下一个结果的证明推迟到附录A定理2.11。设V:={Vn}n≥1={（~xn，ζn，~un）}n≥1根据（21）定义的马尔可夫链，采用平稳概率测度ν。那么，对于h:∧→ R由h（x，c，u）=u给出，poisson方程^h存在一个解，其中ν（^h）<∞. 此外，不变性原理（26）成立，方差γ（h）允许表示γ（h）=Eν\'h（V）+ 2.∞Xk=2Eν\'h（V）\'h（Vk）, （27）式中“h=h”- 和绝对收敛。在下面，我们将编写fnP~ 林格尼夫→∞fn/gn=1，以概率表示。以下结果是（1）的最终成分：引理2.12。使用NtnP第2.2节的符号~π（τ），as n→ ∞, （28）我们记得Nt=max{n |τ+…+τn≤ t} π是链Zn=（~xn）的平稳测度-1，ζn-其存在性由定理2.3保证。证据自始至终，让tn:=tn。由于ntn注意到时间tn之前价格变化的数量，τ+。

+τNtnNtn≤tnNtn<τ+…+τNtn+1Ntnand，因此，由（18）表示→ ∞,tnNtnP→ Eπ（τ），这反过来意味着（28）。最后，我们可以陈述本节的主要结果。定理2.13。让{st}t≥0是等式（19）中定义的价格过程。然后(√nstnn-ν（h）Eπ（τ）t！）T≥0=>{γ（h）Wt}t≥0，作为n→ ∞, （29）式（27）中给出了方差γ（h）。证据让我们回顾一下，对于马尔可夫链{Vn}n，st=s+NtPj=1ujandun=h（Vn）≥0和h:∧→ R由h（y，c，u）=u给出。现在，我们分解过程\'stn:=n1/2stn/n- tν（h）/Eπ（τ）as:`stn=s√n |{z}In+√n[tn/Eπ（τ）]Xj=1~uj- ν（h）|                         {z}IIn+√nNtnXj=1uj-√n[tn/Eπ（τ）]Xj=1uj|                                 {z}iIn+√n[tn/Eπ（τ）]Xj=1ν（h）-√ntν（h）Eπ（τ）|                                    {z}IVn，其中，如定理2.12所示，ν是马尔可夫链{Vn}n的平稳测度≥0.As n→ ∞, 显然，在=> 同样，根据定理2.11，IIn=> γ（h）Wt，其中γ（h）由式（27）给出。现在，自从∈N-o、 无论如何 > 0，PNtnXj=1uj-[τ/Xj]E≥ √N≤ P新界北∨[tn/Eπ（τ）]Xj=Ntn∧[tn/Eπ（τ）]~uj≥ √N≤ P新界北- [tn/Eπ（τ）]≥ √N≤ PNtn[tn/Eπ（τ）]- 1.≥2.√n[tn/Eπ（τ）]！，根据命题2.12，它收敛到0作为n→ ∞. 因此，IIIN的概率趋于0。最后，sinceIVn=ν（h）[tn/Eπ（τ）]√N-√ntν（h）Eπ（τ）等于0≤ -IVn<ν（h）√n、 因此，IVn→ 0，作为n→ ∞, 因此，我们得出结论（29）。3.一些有意义的LOB特征的计算在本节中，我们开发了一些数值工具来评估一些实际相关的LOB模型特征，如价格变化之间的时间跨度分布、价格上涨的可能性以及两个连续价格上涨的可能性。

所提出的方法基于明确描述从第一象限开始的某个二维马尔可夫链撞击坐标轴的时间和位置的联合分布。第4节还将使用开发的工具为订单的中间价格动态提供有效的模拟算法。还记得吗OhmN*:= {0,1,2，…，N*}和OhmN*:= {1,2，…，N*}. 在本节中，我们让{Y（x，Y）}（x，Y）∈OhmN*是一个独立过程的集合，对于每个（x，y）∈ OhmN*,Y（x，Y）：={Yt（x，Y）}t∈N:=N质量保证，0t（x），质量保证，0t（y）ot∈N、 其中Qa，0（x）：={Qa，0t（x）}t≥0和Qb，0（x）：={Qb，0t（x）}t≥0的定义见第2.1节（见等式（3））。我们还发现：={（0，1），（0，2），…，（0，N*)}, AB:={（1,0），（2,0），…，（N）*, 0）}，A:=AA∪ AB，（x，y）：=inf{t>0:Yt（x，y）∈ A}，L:=La∧ Lb，其中La和Lb是具有参数α的独立指数变量。这些变量分别表示一组新订单到达买卖双方的时间。最后，D表示分布中的连续性。3.1价格变化之间持续时间的分布。考虑到最初在时间0时，投标时有x个订单，要求时有y个订单，价差为z，我们开发了一种数值方法来确定第一次价格变化时间τ的分布。为此，我们首先计算向量（（x，y），y（x，y）（x，y））的联合分布。这是通过以下两个引理得到的，其证明可在附录ALemma 3.1中找到。

假设，对于每个固定的a:=（\'a，\'a）∈ A，u\'A:[0，T]×\'OhmN*→ 满足以下微分方程组：-t+Lu\'a（t，x，y）t=t-r=0，代表0≤ r<T，（x，y）∈ OhmN*u\'a（T- r、 x，y）={（x，y）=a}，表示0≤ R≤ T、 （x，y）∈ A，u\'A（0，x，y）={（x，y）=\'A}，表示（x，y）∈OhmN*,（31）其中L u（t，x，y）是由L u（t，x，y）给出的有限差分算子=λ（u++u+）+Γ（u）-+ U-) - 2（λ+Д）u，（x，y）∈ {1,2，…，N*- 1} ，λu++ν（u）-+ U-) - （λ+2Γ）u，x=N*, Y∈ {1,2，…，N*- 1} ，λu++ν（u）-+ U-) - （λ+2Γ）u，x∈ {1,2，…，N*- 1} ，y=N*,ν（u）-+ U-) - 2νu，（x，y）=（N*, N*),0，（x，y）∈ A，（32）和u+=u（t，x+1，y），u+=u（t，x，y+1），u-= u（t，x）- 1，y），u-= u（t，x，y）- 1） ，u=u（t，x，y）。然后，fort>0，（x，y）∈OhmN*, 和a:=（\'a，\'a）∈ A，u\'A（t，x，y）：=Ph（x，y）≤ t、 Y（x，Y）（x，Y）=ai。（33）下一个结果证明了系统（31）解u的存在性，给出了u在某个有限差分算子的特征值和特征向量方面的显式表示。因此，我们也得到了（x，y），y（x，y）（x，y））的联合分布的显式表达式。下面，我们让a+1:=（\'a+（0,1），i f\'a∈ {（1,0），（2,0），…，（N）*, 0）}a+（1,0），i f\'a∈ {（0，1），（0，2），…，（0，N）*)}.提议3.2。允许 是为函数w定义的对称有限差分算子：OhmN*→ R asw（x，y）=w++w++w-+ W-- 4w，（x，y）∈ {1,2，…，N*- 1} w++w-+ W--4.-qλΓw、 x=N*, Y∈ {1,2，…，N*- 1} w++w-+ W--4.-qλΓw、 x∈ {1,2，…，N*- 1} ，y=N*W-+ W--4.- 2qλνw、 （x，y）=（N）*, N*)0，（x，y）∈ A、 其中w+=w（x+1，y），w+=w（x，y+1），w-= w（x）- 1，y），w-= w（x，y）- 1） ，w=w（x，y）。设{ξk}N*k=1b是的特征值 和{fk（x，y）}N*k=1b是它们相应的特征向量，因此它们构成RN的正交基*.

对于\'a:=（\'a，\'a）∈ 让u\'A:[0，T]×\'OhmN*→ R由U\'a（t，x，y）定义=λυ“a+”a-十、-YN*Xk=1√λΓfka+12(λ + υ) -√λΓ（4+ξk）1.- E-t[2（λ+Γ）-（4+ξk）√λυ]fk（x，y）{（x，y）∈OhmN*}+{（x，y）=a}.（35）然后，函数u’asatis fis of differential equations（31）系统，因此，恒等式（33）保持不变。备注3.3。我们可以将等式（35）改写为：u\'a（t，x，y）：=χa+\'a-十、-伊恩*Xk=1fka+1χ1/2- χ-1/2- ξk1- E-2λt(χ-1/2-1)-ξkχ-1/2!fk（x，y）{（x，y）∈OhmN*}+χ\'a+\'a-十、-y{（x，y）=a}，其中χ：=λ/Γ。前面的表达式表明，随着t变大，联合概率分布ph（x，y）≤ t、 Y（x，Y）（x，Y）=主要通过商χ=λ/Γ依赖于参数Γ和λ。让我们也指出 可以被证明是非阳性的，因此，u\'a（T，x，y）∈ [0, 1].我们现在准备计算分布Fτ（t | x，y，z）：=P[τ≤ t | xa=x，xb=y，ζ=z]价格根据书的初始状态变化所需时间τ。为了简单起见，整个τ（x，y，z）表示一个随机时间，使得P（τ（x，y，z）≤ t） =P[τ≤ t | xa=x，xb=y，ζ=z]，对于任何t≥ 0.很明显，τ（x，y，1）D=（x，y），因此，从等式（35）中，对于（x，y）<A，Fτ（t | x，y，z）=λυ-x+yN*Xk=1√λk2（λ+Γ）-√λΓ（4+ξk）1.- E-t（2（λ+Γ）-（4+ξk）√λυ)fk（x，y），（36）式中k:=x\'a∈A.λυ“a+”afka+1. （37）另一方面，对于z≥ 我们有τ（x，y，z）D=（x，y）∧ 五十、 其中，与之前一样，L代表价差内限额订单的到达时间。因此，从（x，y）和L的独立性，对于任何z≥ 2和（x，y）<A，Fτ（t | x，y，z）=P[L≤ t] +P[（x，y）≤ t] P[L>t]=（1）- E-2αt）+Fτ（t | x，y，1）e-2αt.（38）表达式（36）-（38）提供了一种有效的数值方法，用于计算给定初始I级LOB设置的价格变化之间的时间跨度分布。

该方法相对有效，因为其评估的主要任务是计算特征值{ξk}N*k=1和特征向量{fk（x，y）}N*k=1，对于任何t，只需执行一次≥ 0和z∈ {1, 2, . . . }.3.2价格上涨的概率我们现在考虑价格上涨的概率取决于订单簿的当前状态：p（x，y，z）：=p[价格上涨| x投标订单，y询价订单，以及价差z, 对于（x，y）<A。如果最佳询问队列耗尽，或者如果一组新订单到达投标方，价格就会上涨。回想一下引理3.1中的u\'a（t，x，y）：=Ph（x，y）≤ t、 Y（x，Y）（x，Y）=aiq有一个由eq给出的显式形式。(35). SetuB（t，x，y）：=Ph（x，y）≤ t、 Y（x，Y）∈ ABi=X'a∈注意，如果价差为z=1，p（x，y，1）=uB(∞, x、 y）=λυ-x+yN*Xk=1√λk，B2（λ+Γ）-√λ（4+ξk）fk（x，y），（40）式中k，B:=x\'a∈ABλυ“a+”afka+1.为了找到z的p（x，y，z）≥ 2.注意p（x，y，z）=Ph（x，y）≤ 五十、 Y（x，Y）（x，Y）∈ ABi+Ph（x，y）>L，L=Lbi=：p（x，y）+p（x，y）。（41）以L为条件并回顾~ exp（2α），p（x，y）=2αZ∞uB（t，x，y）e-2αtdt=λυ-x+yN*Xk=1√λk，B2（λ+Γ）-√λΓ（4+ξk）1-2α2(λ + υ + α) - （4+ξk）√λυ!fk（x，y）。（42）对于第二项，使用La和Lb之间的对称性，p（x，y）=p（x，y）≥ N因此，p（x，y）=1- 2αZ∞P（x，y）≤ TE-2αtdt=1.-λυ-x+yN*Xk=1√λk2（λ+Γ）-√λΓ（4+ξk）1-2α2(λ + υ + α) - （4+ξk）√λυ!fk（x，y）, （43）其中kis的定义如（37）所示。再一次，一旦 通过（42）-（43）计算出任意（x，y）的p（x，y，z）∈ OhmN*还有z∈ Z+.3.3连续两次价格上涨的概率lt^p（x，y，Z）是指在最初的最佳出价下有Xorder，最佳出价下有y个订单，以及Z的价差的情况下，价格连续两次上涨的概率。

这些概率高度依赖于初始传播。初始价差为1的情况相对来说比任何其他价差都更容易分析，因为在任何级别的iqueue耗尽之前，价差内可能会出现一组新的订单。如下所示，在后一种情况下，我们必须考虑formP的概率L<（x，y），YL（x，y）∈ {（1，j），…，（N）*, j） }, 对于任何j，上述概率将根据命题3.2中某个初值问题的解进行重新计算。回想一下，每次价格发生变化时，LOB端都会有一个新数量的订单，这些订单是由{1，2，…，N上支持的离散分布faor fb生成的*}, 取决于BestTask或出价队列是否耗尽。为了简单起见，下面我们假设f:=fa=fb。用分布f表示H arandom变量。除了随机游动的集合{Y（x，Y）}（x，Y）∈OhmN*在第3.1节的开头，我们还需要考虑另一个独立副本{Y（x，Y）}（x，Y）∈OhmN*和fix（x，y）：=inf{t>0:~Yt（x，y）∈ A}。类似地，除了（La，Lb），我们还考虑了一个独立副本（~La，~Lb）和fix ~L:=~La∧~Lb.我们已经准备好计算^p（x，y，z）。对于z=1，显然，^p（x，y，1）=N*Xi=1N*Xj=1PhY（x，y）（x，y）=（j，0），H=i，（j，i）≤L，Y（j，i）（j，i）∈ ABi+N*Xi=1N*Xj=1PhY（x，y）（x，y）=（j，0），H=i，（j，i）≥~L，~L=~Lbi=N*Xi=1N*Xj=1u（j，0）(∞, x、 y）f（i）p（j，i，2），其中我们记得p（x，y，2）表示如果投标时有x个订单，要求时有约个订单，且价差为2，则价格上涨的概率。概率p（x，y，2）可根据（41）计算，而（j，0）(∞, x、 y）可以通过使t→ ∞.

值得一提的是，z=1的情况在实践中无疑是最重要的，因为正如在几项研究中经验观察到的那样，传播在1级花费了大量时间。接下来，让ABj:={（1，j），（2，j），…，（N*, j） 哦。现在，对于z=2，^p（x，y，2）=N*Xi=1N*Xj=1P[（x，y）≤ 五十、 Y（x，Y）（x，Y）=（j，0），H=i，（j，i）≤L，Y（j，i）（j，i）∈ AB]+N*Xi=1N*Xj=1P[（x，y）≤ 五十、 Y（x，Y）（x，Y）=（j，0），H=i，（j，i）≥~L，~L=~Lb]+N*Xi=1N*Xj=1P[L<（x，y），L=Lb，YL（x，y）∈ ABj，H=i，Y（i，j）（i，j）∈ AB]。因此，使用该PhL≤ （x，y），L=La，Ya（x，y）∈ ABji=PhL≤ （x，y），L=Lb，YL（x，y）∈ ABji，我们可以写出^p（x，y，2）=N*Xi=1N*Xj=1f（i）（2αZ）∞u（j，0）（t，x，y）e-2αtdt！p（j，i，2）+PhL<（x，y），YL（x，y）∈ ABjip（i，j，1））。概率p（x，y，1）可根据（40）计算，而2αR∞u（j，0）（t，x，y）e-2αtdt可从（35）中轻易找到。计算PhL的问题≤ （x，y），YL（x，y）∈ 以下是对阿卜吉德的分析。在此之前，让我们注意到，使用类似的参数，^p（x，y，3）=N*Xi=1N*Xj=1f（i）（2αZ）∞u（j，0）（t，x，y）e-2αtdt！p（j，i，2）+PhL<（x，y），YL（x，y）∈ ABjip（i，j，2））。^p（x，y，z）和z有一个类似的恒等式≥ 4.因此，剩下的唯一一步是计算PHL≤ （x，y），YL（x，y）∈ 阿卜吉。这可以通过第一次计算vj（t，x，y）：=P[t<（x，y），Yt（x，y）∈ ABj]使用与命题3.2类似的论点。更具体地说，vj（t，x，y）解决了初值问题：-t+Lvj（t，x，y）t=t-r=0表示0≤ R≤ T、 （x，y）∈ {1,2，…，N*},vj（T）- r、 x，y）=0代表0≤ R≤ T、 （x，y）∈ A，vj（0，x，y）=n（x，y）∈阿布乔弗（x，y）∈ {0,1,2，…，N*}.（44）4数字示例本节的目的有两个。首先，我们用数值方法分析了中值过程向其微分极限过程的收敛性，如定理2.13所示。

其次，我们计算了第3节中描述的一些感兴趣的数量，并在我们的假设以及康特和拉拉德（2013）的假设下对它们的行为进行了数值研究。对于第一个问题，我们开发了一个有效的价格过程动态模拟方案，它比直接模拟所有订单事件（即限价、市场和取消订单）更有效。回想一下，对于第2节中介绍的模型，输入参数是速率λ、u、θ和α。前三个参数分别指限价订单、市场订单和取消订单的到达率，而α是一组新的限价订单在买卖价差之间到达的速率。此外，我们还需要在最佳买入价和卖出价变化后，分别对最佳买入价和卖出价下的队列大小进行分布fB和fa。为了简单起见，我们设置f:=fa=fB，并且回想一下，我们假设fa，fB在有限集{1，…，N上得到支持*}.对于随后的数值示例，我们将使用以下表1中所述的经验估计强度，这些强度来自Cont和Larrard（2013）（见表3）。这些问题的时间单位是秒。最大队列大小N*假设为10股，每股代表100股。除非另有规定，否则第一级队列的初始配置设置为（x，y）=（5，5），而初始排列为ζ=4。分布f在{1。