具有记忆和可变排列的一级极限订单模型

具体地说，正如引言中所解释的，当书中任何一方的未完成订单耗尽时，或者如果可能的话，当一组新订单到达价差内并成为书中新的一级的一部分时，价格变化通常会发生。具体地说，假设最佳投标价格在SBP，并且在市场指令或取消后，其队列将耗尽。然后，以Sb的价格“生成”一个新的最佳出价队列- δ、 从而导致价差扩大。这个新的限额订单队列的大小假定是由分布fbon Z+生成的，与LOB的任何其他信息无关，而最佳ask级别的限额订单的数量和位置不变。类似地，如果在市场订单或取消后，处于最佳询价的队列耗尽，那么将以价格Sa+δ生成一个新队列，其中sai是订单之前的最佳询价。假设新的最佳询问队列的大小是由faz+上的分布生成的，与任何其他信息无关。在这种情况下，书中的出价部分保持不变。Fa和Fb分布旨在反映耗尽后下一个最佳队列中队列大小的平稳行为。自始至终，我们假设分布fa和fb都在{1，2，…，N上受支持*}, 对于一些固定的*∈ Z+，可以选择任意大。这种简化假设是为了保证驱动价格过程动力学的潜在马尔可夫链的重现性。此外，为了简单起见，勾号设置为δ=1。当价差大于1时，由于价差内的一组新订单到达LOB的询问或出价侧，价格也有可能发生变化。在前一种情况下，最佳卖出价下降δ，而出价方保持不变。

在后一种情况下，最佳出价增加δ，而订单簿的另一侧不变。如前所述，新的限额订单队列的大小是由分布fa或fb生成的，与任何其他变量无关，这取决于新的限额订单是在买卖双方。我们现在开始给出LOB动态的正式数学公式。为此，我们需要一些符号：（i）让ζ为初始排列，ζi为i≥ 1、价格变动后的价差。时间t的最佳询问和出价队列的大小分别用qa和qbt表示。还有，对我来说≥ 1，τi表示（i- 1） 当价格变化时，我们将τ设为0。（ii）自始至终，{^Ya，i}i≥0和{^Yb，i}i≥0是i.i.d.随机变量的独立序列，取值为OhmN*:= {1,2，…，N*}, 并分别分配FAB和fb。这将表明在价格发生变化后，在最好的询价或报价队列中的订单数量。（iii）让{Lai（ζ）}i≥0,ζ∈Z+和{Lbi（ζ）}i≥0,ζ∈Z+be独立随机变量的独立序列，如Lai（ζ）和Lbi（ζ）是指数分布的，参数α{ζ>1}。这些变量也依赖于系统中的任何其他变量。此后，Li（ζ）：=Lai（ζ）∧ Lbi（ζ）。当我们将新订单的价格ζ（Lbi）和价格ζ（Lbi）分别解释为新订单的价格ζ（Lbi）时，我们应将价格ζ（Lbi）解释为新订单的价格ζ。（iv）对于任何起点x∈OhmN*:= {0, 1, . . .

N*}, 设Q（x）：={Qt（x）}t≥0是具有状态空间的连续时间马尔科夫过程“OhmN*这样Q（x）=x及其转移矩阵Q:\'OhmN*×OhmN*→ R是给定的：Qj，j+1=λ，表示0≤ J≤ N*- 1，Qj，j-1=ν，代表1≤ J≤ N*,Qj，j=-（Γ+λ），对于1≤ J≤ N*- 1，QN*,N*= -υ、 （2）Qj，`=0，其他情况下，其中Γ：=u+θ和λ，u，θ∈ (0, ∞) 分别被解释为I级限额订单、市场订单和取消订单的到达强度。（v） 最后，无论如何我≥ 0和x∈OhmN*, 我们让Qa，i（x）：={Qa，it（x）}t≥0和Qb，i（x）：={Qb，it（x）}t≥0be进程如Qa，i（x）D=Qb，i（x）D=Q（x），（3）和进程集合{Qa，i（x），Qb，i（x）}i≥0，x∈OhmN*相互独立，也独立于第（ii）-（ii）点中介绍的过程。如果我们认为这些分布与I级队列耗尽时使用的分布不同，那么我们的结果仍然有效。特别地，Li（1）=Mi（1）=∞, a、 我们已经准备好给出LOB动态的正式构造。固定τ=0，并定义一些任意初始随机队列大小（xa，Xb）的过程xa，0t:=Qa，0t（xa），Xb，0t:=Qb，0t（Xb），（4）∈ OhmN*, 假设独立于上述（i）-（v）点中考虑的任何其他过程。用符号σa表示，1:=infnt≥ 0:Xa，0t=0o∧ La（ζ），σb，1:=infnt≥ 0:Xb，0t=0o∧ Lb（ζ），目前，第一次价格变化的时间可以用t:=τ：=σa，1来定义∧ σb，1，（5）而对于t∈ [0，T），在最佳报价和投标价格下的队列大小分别由qat=Xa，0t，qbt=Xb，0t给出。LOB每侧的订单数量和时间皮重的排列设置为：Xa:=^Ya，1{τ=σa，1}+Xa，0τ{ττ=σb，1}，qbt:=Xb:=^Yb，1{τ=σb，1}+Xb，0ττ=σa，1}ζ{∧Lb（ζ）}-{τ=La（ζ）}-{τ=Lb（ζ）}。这个过程是递归的。

具体地说，因为我≥ 1，我们设置：=Xa，它-Ti，qbt:=Xb，it-Ti代表t∈[Ti，Ti+1），Ti+1:=Ti+τi+1，τi+1:=σa，i+1∧ σb，i+1，ζi+1=ζi+{τi+1<Lai（ζi）∧Lbi（ζi）}-{τi=Lai（ζi）}-{τi=Lbi（ζi）}其中Xa，it=Qa，it（xai），Xb，it=Qb，it（xbi），σa，i+1=infnt>0:Xa，it=0o∧ Lai（ζi），σb，i+1=infnt>0:Xb，it=0o∧ Lbi（ζi），xai+1:=^Ya，i+1{τi+1=σa，i+1}+Xa，iτi+1{τi+1=σb，i+1}，xbi+1:=^Yb，i+1{τi+1=σb，i+1}+Xb，iτi+1{τi+1=σa，i+1}。上述公式证明了以下恒等式：P（~xk，ζk，τk）∈ B×C×D |（| xk）-1，ζk-1） =P（（~x，ζ，τ）∈ B×C×D |（|x，ζ）=（|x，ζ）），（6）P（~xk，ζk，τk）∈ B×C×D |{（▄xi，ζi，τi）}k-1i=0= P（§xk，ζk，τk）∈ B×C×D |（| xk）-1，ζk-1） ），（7）式中，τ：=0和xk:=（xbk，xak）代表KTHPrices变更后最佳出价和询问队列的大小。特别是，可以得出τk⊥{（▄xi）-1，ζi-1） }i≥0（τk）-1.τ） ，k≥ 2，（8）这也意味着{τ，…，τn}的相互独立性，给定{（▄xi-1，ζi-1） }i≥0.此外，很容易看出，过程（Ξt，Υt）：=nXk=0（~xk，ζk）[Tk，Tk+1）（t）在C,inlar（1975）的意义上是半马尔可夫的。备注2.1.如引言中所述，上述模型的关键特征之一是内存的合并。最近的其他工作也考虑了这一特征。值得注意的是，Cont和Larrard（2012）假设每次价格变化后的一级队列大小qTi是一个函数g（qT-i、 εi）价格变化前的水平Iqueue尺寸，qT-i、 和一系列i.i.d.随机创新{εi}i≥1:={（εbi，εai）}i≥1.其中考虑的一个例子是“钉住限制指令”的情况，其中qaTi=βqaT-i+εaiandqbTi=εbi，当最佳出价队列耗尽时（当最佳任务队列耗尽时，类似关系成立）。这里，β是一个恒定的比例，（εbi，εai）在Z+中有分布F。

然而，Cont and Larrard（2012）中的假设3排除了εai=0、a.s.和β=1的情况，这是我们在本研究中考虑的记忆类型。2.2修正的到达间隔时间的大数定律我们（1）的第一个组成部分是使用马尔可夫链的遍历结果，建立第n个价格变化时间的大数定律（LLN），Tn=Pnk=1τk。为此，我们首先介绍一些必要的符号。设Z={Zt}t∈关于概率测度的马尔可夫链(Ohm, F、 P）具有可数状态空间Ξ和转移概率矩阵P:Ξ×Ξ→ [0, 1]. 对于任何概率测度u={u（^y），^y∈ ΞonΞ，^y∈ Ξ和 ΞZ+={（Z，Z，…）|子∈ Ξ}，我们定义了^y（Zq∈ A） ：=P（Zq）∈ A | Z=y），Pu（Zq∈ A） ：=X^y∈Ξu（^y）P^y（Zq）∈ A） 。通常，Eu表示关于概率度量Pu的期望。我们说一个事件发生在P*-a、 s.如果发生P^y-a.s.所有∈ Ξ.让我们回忆一下，可数状态空间Ξ上的不可约马尔可夫链要么是瞬时的，要么是循环的，而集合a被称为哈里斯循环ifPz∞Xn=1{Zn∈A} =∞= 1，z∈ 答：如果一个马尔可夫链是不可约的，且每个集合A都是哈里斯循环的，则称之为哈里斯循环链。此外，马尔科夫链Z如果不可约且允许不变概率测度，则称其为正，而正和哈里斯循环链称为正哈里斯（参见第10章Meyn和Tweedie（2009））。Meyn和Tweedie（2009）的以下结果（其中定理17.0.1）是获得上述LLN的关键。定理2.2。假设{Zt}t∈Nis是一个具有不变概率测度π的正Harris链。然后，对于任何满足π（|g |）的g：=Pxπ（x）|g（x）|<∞,画→∞nnXt=1g（Zt）=π（g），P*-a、 在续集中，我们将使用定理2.2来表示LLN，对于Tn=Pni=1τiby，表示适当马尔可夫链Z:={Zt}t的每个τiin项∈N

具体地说，在本小节的剩余部分中，wetakeZ:={Zt}t≥1:={（~xt）-1，ζt-1，~xt，ζt）}t≥1、（9）我们记得，~xt:=（xbt，xat）和ζt分别代表书的I级（买卖）订单数量和t级之后的价差-价格变化（有关符号的详细信息，请参见第2.1节）。通过（7），我们可以看到Z是一个可数状态空间Ξ：=n（y，c，y，c）|y=（ya，yb）的马尔可夫链∈ OhmN*, y=（ya，yb）∈ OhmN*, c、 c∈ Z+，|c- c |=1o。此外，确定Un:=（~xn，ζn），并注意到U:={Un}n≥0本身是一个马尔可夫链，由（6）-（7）得出，它遵循P（^y，^z）：=P（Zn=^z | Zn-1=^y）=P（（Un）-1，Un）=^z |（Un）-2，联合国-1） =^y=P（Un=（z，d）|Un-1=（z，d）），其中^y:=（y，c，y，c）∈ Ξ和^z:=（z，d，z，d）∈ Ξ与（y，c）=（z，d）。我们的第一个目标是证明我们可以将定理2.2应用于（9）中介绍的链Z。因为，对于一个可数状态马尔可夫链，不可约性降低到所有状态都相互通信，通过上一节给出的Z的动力学描述，Z显然是不可约的。如果Z是正循环的，不变概率测度的存在性将成立（参见（Asmussen，2003，推论I.3.6））。此外，由于对于可数状态马尔可夫链，Harris递推等价于普通递推（参见Meyn and Tweedie（2009）中定理9.0.1的讨论），因此Z将是正Harris链，前提是Z是正递推的。定理2.3。如果α≥ u+θ，那么马尔可夫链Z:={Zt}t≥1:={（~xt）-1，ζt-1，~xt，ζt）}t≥1是阳性复发。众所周知，马尔可夫链在可数状态空间上是正循环的充分条件由以下所谓的福斯特或平均漂移条件给出（参见。

Asmussen（2003）中关于某些函数h:Ξ的定理I.5.3→ R、 恒量 > 0和一个有限集F Ξ：（i）inf^z∈Ξh（^z）>-∞, （ii）X^z∈ΞP（^y，^z）h（^z）<∞, ^y∈ F、 （三）X^z∈ΞP（^y，^z）h（^z）<h（^y）- , ^y<F.（10）为了验证Z满足之前的条件，我们需要两个初步结果。下面的结果构造了一个超调和函数φ，在集合F之外：={^y∈ Ξ：^y=（y，2，y，1）}。回想一下，^在某种程度上被称为超谐函数（参见Meyn and Tweedie（2009）中的第17.1.2节）∈ Ξif（P^）（^y）：=X^z∈ΞP（^y，^z）~n（^z）≤ ^（^y）。（11） 下一个结果的证明推迟到附录A引理2.4。根据第2.1节中的符号，设（x）：=inf{t>0:Qa，0t（x）∧ Qb，0t（x）=0}，对于x:=（x，x），设L:=La（2）∧ Lb（2）（即，L与速率2α呈指数分布）。同样，对于任何^y=（y，j±1，y，j）∈ Ξ，让Ξ（^y）：Ξ→ R由以下公式给出：=φ（y，j±1，y，j）：=1+√1.-4p（1）-pN*)2p！jif p（1）- pN*) <,2pjif p（1）- pN*) =,1.-pN*Pjcos（jθ）如果p（1）- pN*) >,（12） 其中P:=P（L>（（1，1）），pN*:= P（L>（N*, N*))), θ：=arctan（p4p（1- pN*) - 1） ，那么，对于（9）中给出的过程Z，在任意^y处，φ是一个超调和函数∈ Ξ\\F，其中F:={^y∈ Ξ：^y=（y，2，y，1）}。下一个结果对于构造满足条件（10）的函数h至关重要。它的证明也见于附录A引理2.5。使用引理2.4的符号，对于任何α≥ u+θ，它认为limj→∞ν（j）=∞.最后，我们可以证明马尔可夫链Z是正循环的。定理2.3的证明。考虑方程（12）给出的函数φ（^y）=φ（（y，j±1，y，j））=φ（j）。然后，通过引理2.4的证明，我们知道- 1)(1 - pN*) + ~n（j+1）p=~n（j）。（13） 随便吃 ∈ （0,1）和定义h（^y）=^（^y）-/（p- pN*), h（j）=h（y），对于任何^y=（y，j±1，y，j）。

注意p>pN*根据引理2.5，h（j）→ ∞ 作为j→ ∞. 让我来∈ R是这样的，对于j>Θ，我们有那Θ（j）>/（p- pN*), 也让F={^y∈ Ξ：^y=（y，z，y，z），z≤ Θ + 1}. 请注意，F是一个单元集。从h的定义以及P（y，z）>0（仅对许多^z而言）这一事实来看，很明显，h满足（10）中所示的前两个福斯特条件。另一方面，按照类似于Lemma 2.4证明中的步骤，我们得到，对于每一个^y<F，X^z∈ΞP（^y，^z）h（^z）=h（j）- 1） P（N<（y））+h（j+1）P（（y）<N）=（（j）- 1) - /（p- pN*))P（N<（y））+（ν（j+1）-/（p- pN*))P（（y）<N）≤ （j）-1) - /（p- pN*))(1 - pN*) + （j+1）-/（p- pN*))p=а（j）- (1 - pN*+ p） /（p- pN*)= h（j）-  = h（^y）- .这证明了（10）中给出的最后一个福斯特条件，以及Z为正的事实。一旦我们证明Z满足定理2.2的假设，我们现在介绍应用定理的函数。对于任意^x=（x，c，x，c）∈ Ξ，letf（^x）：=E（τ|^x）：=E（τ|（| x，ζ）=（x，c），（|x，ζ）=（x，c）），gt（^x）：=P（τ>t | x）：=P（τ>t |（| x，ζ）=（x，c），（x，ζ）=（x，c））。我们得到以下结果，其证明被推迟到附录A：引理2.6。假设定理2.3的条件成立，并假设π是链Z的不变性概率*-a、 s.，（i）林→∞nnXk=1f（Zk）=Eπ（τ），（ii）limn→∞nnXk=1gt（Zk）=Pπ（τ>t）。（14） 为了获得到达间隔时间{τi}i的LLN≥1，我们将证明随机变量Tn=τ+…+的拉普拉斯变换适当标度的τn收敛于随机变量T的拉普拉斯变换，为此我们需要以下内容：命题2.7。

为了你∈ R+和^x=（x，c，x，c）∈ 定义函数g（u | x）：=EE-uτ（~x，ζ，~x，ζ）=（x，c，x，c）,κ（^x）：=E(-τ|（x，ζ，~x，ζ）=（x，c，x，c））。然后，在命题2.5的假设下，对于任何∈ [0, ∞],画→∞nXk=1ln G联合国~xk-1，ζk-1，~xk，ζk= -uEπ（τ），P*- a、 其中π是马尔可夫链{Zn}n的平稳测度≥0.证明。首先请注意，对于u=0，该语句是微不足道的。通过（47），τ<∞ a、 因此，E（E-uτ| x，ζ，~x，ζ）>0a。s、 假设你∈ (0, ∞), 然后，通过Jensen不等式，uln G（u |x，ζ，|x，ζ）≥uE在e-uτ~x，ζ，~x，ζ= κ（~x，ζ，~x，ζ）。因此，lng联合国~x，ζ，~x，ζ≥因此，nXk=1lng联合国~xk-1，ζk-1，~xk，ζk≥unnXk=1κ-1，ζk-1，~xk，ζk），（16），根据等式（14-i），这意味着→∞nXk=1ln G联合国~xk-1，ζk-1，~xk，ζk≥ 林恩芬→∞unnXk=1κ-1，ζk-1，~xk，ζk）=-uEπ（τ）P*- a、 s。。接下来，注意uln G（u |x，ζ，|x，ζ）≤ Ee-uτ- 1u~x，ζ，~x，ζ=Z∞-E-utPτ> t |x，ζ，|x，ζ对于第一个不等式，我们使用ln（x）≤ 十、- 对于x>0，对于最后一个等式，我们使用恒等式E（g（x））=g（0）+R∞g（t）P[X>t]dt，对任何正随机变量X和单调可微函数g[0]有效，∞) → 因此，我们有：lng联合国~x，ζ，~x，ζ≤unZ∞-E-untPτ> t |x，ζ，|x，ζdt。最后一个不等式，法图引理，和等式（14-i）lim supn→∞nXk=1ln G联合国~xk-1，ζk-1，~xk，ζk≤ 林尚→∞nXk=1-unZ∞E-untP（τ>t |xk）-1，ζk-1，~xk，ζk）dt≤Z∞林尚→∞-ue-untnnXk=1P（τ>t | | xk）-1，ζk-1、~xk、ζk）dt=Z∞-uPπ（τ>t）dt=-uEπ（τ），P*- a、 s。。（17） （16）和（17）加在一起意味着（15）。我们现在准备展示本节的主要结果。定理2.8。在命题2.7的假设下，我们得到nnxk=1τkP→ Eπ（τ），作为n→ ∞, （18） 其中π是马尔可夫链{Zn}n的平稳测度≥0.证明。

设φn（u）：=EπE-联合国-1Pnk=1τk和Fn:=σ（～xk，ζk）：k≤ n） 。根据（8）中的条件独立性，φn（u）=EnYk=1EE-联合国-1τkFn= EnYk=1EE-联合国-1τk~xk-1，ζk-1，~xk，ζk= EePnk=1ln G（un | | xk）-1，ζk-1，~xk，ζk）.因为对于任何正x，ln（x）≤ 十、- 1，lng联合国~x，ζ，~x，ζ≤ G联合国~x，ζ，~x，ζ- 1=EE-unτ- 1.~x，ζ，~x，ζ≤ 0，因此，对于每n，expnXk=1ln G联合国~xk-1，ζk-1，~xk，ζk≤ 通过支配收敛定理和命题2.7，我们得到→∞νn（u）=limn→∞EE-unPnk=1τk= E-uEπ（τ）。最后，由于τkis由正数支撑，通过拉普拉斯变换的连续性定理（见Feller（1971）第XIII.1节中的定理2），我们得到（18）。2.3价格过程的长期动态在本节中，我们获得了第2.1节中定义的模型的中间价格过程动态的不同近似值。自始至终，St表示股票在时间t的中间价∈ [0, ∞), 而τn表示（n）之间经过的时间- 1)-th和n-第2.1节所述的价格变动。让{un}n≥1中等价格变动的顺序。显然，我们对LOB动态的假设如第2节所述。1.暗示∈{-1/2, 1/2}. 也很容易看出，中间价格过程由t:=s+NtXj=1uj（19）给出，其中Nt:=max{n |τ+…+τn≤ t} 表示截至时间t的价格变化数量。在本节中，我们建立了一些常数σ>0和m的关系（1）。从第2.1节中可以回忆到，Un:=（~xn，ζn）=（（xbn，xan），ζn），一级账簿中的订单数量和n之后的价差-价格变化是一个马尔可夫链（参见等式（6）-（7））。还有，请记住，因为我≥ 0，Qa，i（x）和Qb，i（x）是独立的连续时间马尔可夫过程，其公共生成器由（2）定义。