具有记忆和可变排列的一级极限订单模型

N*}.最后，考虑了两种不同的α选择：α=γ+1和α=2γ。股票λΓ：=u+θ花旗集团2204 2331通用电气317 325通用汽车102 104表1：2008年6月26日以每秒批数（每批代表100股）计算的限价订单和市场订单+取消的强度估计，如Cont和Larrard（2013）所述。4.1模拟和收敛评估模拟价格动态的最自然（也是最天真）的方法是生成订单的所有Lobevent，或者等效地生成订单的所有Poisson到达时间（限制、市场和取消），直到买入或卖出队列耗尽，从而出现价格变化。然后，我们将在耗尽的一侧重置队列大小，并继续此过程。不幸的是，这个过程是计算密集型的，不适合研究价格过程的粗粒度行为，特别是在蒙特卡罗分析中，我们需要大量的模拟。相反，我们提出了一种更有效的方法，即直接模拟随机向量（（x，y），y（x，y）（x，y）），而不模拟导致它的事件。反过来，这将允许我们直接获得订单簿第一级耗尽的时间（或相当于价格变化的时间）以及订单簿另一侧的超限订单数量。为了模拟（（x，y），y（x，y）（x，y）），我们利用等式（35）给出的联合概率表示。这种表示法有几个优点，它的计算要求只找到一次本征值{ξk}和本征函数{fk（x，y）}，而不需要考虑t和a。根据命题2.12和定理2.13，我们有sttT→∞→ν（h）Eπ（τ），Var（st）tt→∞→ γ（h），等等！T→∞→ Eπ（τ）。

（45）在续集中，我们将研究上述“大”t的渐近近似值的性能。我们的目标是评估在实践中常用的一些采样时间跨度t（例如，1分钟和5分钟）中，STI的分布与其不同近似值的接近程度。为了计算（45）中出现的期望值和方差，我们使用蒙特卡罗方法对订单簿进行了200次模拟。结果如表2所示。正如预期的那样，速率λ和Γ越大，Eπ（τ）越小，因此预期收益率E（st）/t越大。我们还观察到，在这种情况下，波动性似乎有显著增加√资产价格的Var（st）。这是因为同时增加λ和Γ相当于加速过程的动力学，这必然会导致更高的可变性。情景1：λ=2204，Γ=2331情景2：λ=317，Γ=325情景3：λ=102，n n n t=t t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t=t，归一化方差Var（st）/t，以及价格变化之间的预期时间Eπ（τ）。接下来，我们将注意力转向传播的行为。再次基于200次模拟和4的初始扩展，表3显示了在λ、Γ和α的不同值的时间间隔[0,300秒]内，扩展在每个状态花费的时间百分比。如图所示，速率λ和Γ越大，传播在一个滴答声中花费的时间就越长。

这是因为这些比率越大，价差变化越快，并且通过选择α，它收缩到1的速度越快。更重要的是，这些结果表明，当α/γ足够大时，我们的模型可以紧密地复制利差的程式化经验行为，如Cont和Larrard（2013）所示（见其中的表2）。最后，图2-4将基于200次模拟的st的经验密度与高斯密度进行了比较，其均值和方差集等于st的200个复制品的各自样本均值和方差。t=1min和t=5min时，这两种方法通常用作许多统计模拟方法的采样频率。使用R函数“密度”获得经验密度，该函数计算阿克内尔密度估计。为了节省空间，我们只显示了对应于α=γ+1的图形（当α=2γ时，没有显著变化）。

如图所示，对于这两个t值，STI的分布相对较好地近似于正态分布。表3：在[0,300]期间，不同λ、Γ和α值的扩散所花费的时间分布。1.2.7 7 7.0 0 0.716 0.0 0.0 0.7 7 7 7 7 0.0 0 0.7 7 7 7 7 0.0 0 0.7 7 7 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0.0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.7 7 7 7 7 7 7.0 0.0.0 0 0.0.0 0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0 0.7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7 7 7 7 7 7 7 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1.000148-6.-5.-4.-3.-2.-100.0 0.1 0.2 0.3 0.4λ=2204，Γ=2331，α=2332N=200带宽=0.3490密度理论密度模拟密度的重新调整价格过程的比较密度-10-8.-6.-40.0 0.1 0.2 0.3 0.4当λ=2204，Γ=2331，α=2332N=200带宽=0.3182密度时，重新调整价格过程的比较密度理论密度模拟密度图2：当λ=2204，Γ=2331，α=2332时，价格的经验密度与高斯密度的比较。选择的时间范围为t=60秒（左面板）和t=300秒（右面板）。我们使用R给出的内核和带宽的默认参数设置，分别根据aGaussian内核和Silverman的“经验法则”（Silverman，1986，公式（3.31））给出。-6.-4.-2 00.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35λ=102，Γ=104，α=105N=200带宽=0.3517密度理论密度模拟密度-9-8.-7.-6.-5.-4.-30.0 0.1 0.2 0.3 0.4当λ=317，Γ=325，α=326N=200带宽=0.3437密度理论密度模拟密度图3：当λ=317，Γ=325，α=326时，价格的经验密度与高斯密度的比较。

选择的时间范围为t=60秒（左面板）和t=300秒（右面板）。-6.-4.-2 00.0 0.1 0.2 0.3 0.4λ=102，Γ=104，α=210N=200带宽=0.3268密度理论密度模拟密度的重新调整价格过程的比较密度-7.-6.-5.-4.-3.-2.-10.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5当λ=102，Γ=104，α=210N=200带宽=0.2943密度理论密度模拟密度图4：当λ=102，Γ=104，α=208时，价格的经验密度与高斯密度的比较。选择的时间范围为t=60s（左面板）和t=300s（右面板）。4.2对一些感兴趣量的评估为了理解模型中假设的影响，并与Cont和Larrard（2013）中提出的模型进行进一步比较，在本节中，我们对第3节中介绍的一些感兴趣量进行了数值计算。我们首先考虑价格变化之间的时间跨度分布。该分布是在Cont和Larrard（2013）的命题1中根据其中的假设进行计算的。生存函数P（τ）≥ t） 图4中还绘制了λ=12、u+θ=13、xa=5和xb=4作为输入参数。在下面图5的左面板中，重现了这种存活概率分布，并将其与通过第3.1节中介绍的方法（见等式（36）-（38））获得的分布进行了比较，条件是，对于不同的N值，分布范围为1*. nextprice图5还描述了面板右侧的时间密度变化。从图中可以看出，对于N的值*接近5时，密度更集中在0附近，这是自然的，因为队列大小不能增加超过N*, 导致这一次的发生。

Bu，正如预期的那样，当N*增加。01 2 3 4 50.0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0时间t秒[τ>t]0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 C-LN=5N=6N=7N=8N=9N=10N=15N=20N=400 1 2 3 50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4时间t秒[τ=t]0.0 0 0.2 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4内容=5N=6N=7N=8N=9N=10N=15N=20N=40图5:2013年和2013年提出的模型之间首次价格变动的生存函数和时间密度的比较*当排列设置为1时。参数选择：λ=12，u+θ=13，xa=5，xb=4。当价差为2时，下一个价格出现的时间分布没有绘制出来，因为这与参数为2α的指数随机变量的时间分布非常相似。这是由于重现条件α≥ u+θ意味着，由于价差内出现一组新的限价单而导致价格变化的可能性远远大于一级队列的耗尽。接下来，我们比较xa、xb和N的不同值的价格上涨概率*, 将展开设置为1时。Cont和Larrard（2013）在假设TheRein的情况下提供了一个公式（见命题3），但不幸的是，该公式难以在不对称订单流量情况下实施。相反，第3.2小节中提出的方法更有效，因为其中的所有量都与离散拉普拉斯（34）的谱分解有关，一旦N*是固定的，只是必须完成。图6显示了固定xb=30（左面板）和xb=50（右面板）的价格上涨概率与xa的函数关系。

通过对称性，我们可以用相同的图形来表示xa的固定值。请注意，在第一种情况下，当xb=30时，价格上涨的概率与N没有显著差异*, 对于大多数xa值。只有当xa接近N的值时*这种差异开始显现出来。另一方面，当xb=50时，这是一个更接近N的值*, 概率随N显著变化*不管xa的值是多少。其中的虚线显示，无论n*, 当xa=xb时，价格上涨的概率总是0.5，这是应该的。问价限价订单的初始数量x0aP[在x0b=30个出价限价订单下的价格增量]10203040500.20.30.40.60.70.80.9 1.00.20.30.40.40.40.50.50.6 0.70.8 0.9 1.0N=50N=51N=53N=54N=55N=60N=65N=70问价限价订单的初始数量x0aP[在x0b=50个出价限价订单下的价格增量]110030500.40.50.50.60.6 0.7 0.0.8 0.0.81.0N=50N=51N=53N=54N=55N=60N=65N=70图6：不同N值的价格上涨概率与X的函数比较*.投标订单的数量固定为30（左面板）和50（右面板）。5结论在本文中，提出了一种新的马尔可夫限额订单簿模型，该模型允许合并非恒定差价，并在LOB两侧的I级队列耗尽后保留有关未完成订单的信息。尽管在后一种情况下，管理订单簿的一般规则产生了更复杂的动态，但开发了一种新的有效方法来分析高频交易中相关模型的几个特征。我们的主要结果用带漂移的布朗运动描述了中间价格过程的粗粒度行为。这是通过用合适的马尔科夫链表示价格变化而实现的。

为此，需要两个关键假设：每一时刻队列大小的有界性，以及与市场订单/取消的到达强度相比，差价之间新订单的到达率非常高。后一种情况也是直观的，因为它可以防止传播以正概率不完全增长。这两个条件为LOB提供了一个易于处理的框架，不会失去真实性，并且在研究该模型的价格过程的不同行为时变得相关。众所周知，市场在很短的时间内表现出相对较大的价格变化，因此，将这些“跳跃”纳入订单模型是很有吸引力的。解决这个问题的一个自然方法可能是在订单簿中引入更多级别，由与我们第二个提议的模型中所施加的规则类似的规则来管理。这项工作中提出的方法预计也适用于此类模型。致谢：第一作者的研究部分得到了NSF拨款DMS-1149692的支持。作者感谢两位匿名推荐人以及副主编和总编辑的建设性和深刻的评论，这些评论极大地帮助了论文的改进。引理2.4的另一个证明。在整个过程中，我们设置了Yt（x，y）：=（Yt（x，y），Yt（x，y））：=（Qb，0t（x），Qa，0（y）），La:=La（2），Lb:=Lb（2），L:=La∧ Lb.同样，设^y=（y，j±1，y，j）∈ Ξ\\F，其中y=（y，y）∈ OhmN*, y=（y，y）∈OhmN*j>1。

在这种情况下，（P^）（^y）=Xz=（z，z）∈OhmN*P（（y，j±1，y，j），（y，j，z，j）- 1） （（y，j，z，j）- 1） ）+Xz=（z，z）∈OhmN*P（（y，j±1，y，j），（y，j，z，j+1））~n（（y，j，z，j+1）），使用该（（y，j，z，k））=（k），可以分解并简化如下：（P^）（^y）=N*Xz=1N*Xz=1P（L<（y），L=La，YL（y）=z）fa（z）~n（j- 1） +N*Xz=1N*Xz=1P（L<（y），L=Lb，YL（y）=z）fb（z）（j- 1） +N*Xz=1N*Xz=1P（y<L，y（y）（y）=（z，0））fa（z）~n（j+1）+N*Xz=1N*Xz=1P（（y）<L，y（y）（y）=（0，z））fb（z）~n（j+1）=（j- 1） P（L<（y））+（j+1）P（y）<L）。因为P（（y）>t）≤ P（（z）>t）表示y=（y，y），z=（z，z）∈ OhmN*和z≥ yand z≥ y、 对任何人来说∈ OhmN*,P（N）*, N*)) > （t）≥ P（y）>t）≥ P（（（1，1））>t。因此，X^z∈ΞP（^y，^z）^（^z）=^（j）-1） P（N<（y））+~n（j+1）P（（y）<N）≤ ~n（j）-1)(1 - pN*) + 从上一个表达式中可以看出，作为超谐函数的一个有效条件是，满足线性微分方程p（j+1）+（1）- pN*)~n（j）- 1） =ψ（j），其满足所需边界条件的特解由（12）给出。引理2.5的证明。在整个过程中，我们设置了1=（1，1）和N*= （N）*, N*). 首先，我们将证明条件α>u+θ意味着p的上界。（1）和L的独立性~ exp（2α）表示p（L>（1））=R∞f（1）（t）e-2αtdt，其中f（1）（t）是（1）的概率密度函数。使用分部积分，P（L>（1））=Z∞滴滴涕(-P（（1）≥ t） ）e-2αtdt=1-Z∞2αe-2αtP（（1）≥ t） dt。（46）假设在时间t之前，市场订单未在账簿的另一侧取消或到达。自P（（1）≥ t） P（Et）=e-2（u+θ）t，乘以（46）并假设α>u+θ，P（L>（1））=1-Z∞α2-2αtP（（1）≥ t） dt<1-αα + u + θ≤.因此，不管p（1）的符号是什么- pN*), 自pN以来*< p<，我们有那个limj→∞ν（j）=∞. 引理2.6的证明。

我们应用定理2.2，我们需要证明π（|f |）<∞ 和π（|gt|）∞.如果我们能证明，对于所有的^x=（x，c，x，c），后面的断言都成立∈ Ξ，E（τ|^x）≤ C<∞, （47）对于常数C，因为π（|f |）：=X^X∈Ξπ（^x）E（τ|^x）≤ CX^x∈Ξπ（^x）<∞, π（|gt|）：=X^X∈Ξπ（^x）P（τ>t|^x）≤X^X∈Ξπ（^x）<∞.为了展示（47），我们首先需要一些符号。让（x）定义为引理2.4。注意e（τ|（x，ζ）=（x，c））≤ E（τ|（| x，ζ）=（N）*, N*), 1） ）=E（N）*, N*)))< ∞, （48）如果最后一个不平等性成立，自（（N*, N*)) ≤ min（$，$），其中$i，i=1,2，是出生率λ和死亡率u+θ从N开始的一维生灭过程在0的命中时间*（已知预期值是有限的），美元独立于美元。接下来，让R（x，c）={x∈ OhmN*: P（x，ζ）＝（x，c±1）＝（x，c）＝（x，c）＝（x，c）＞0}和letr±x（x，c）∶＝（x，c，ζ）＝（x，c±1）＝（x，c）＝（x，c）），c>1，rx（（x，1））：=P（x，x，ζ）＝（x，2）＝（x，1）＝（x，ζ）＝（x，1）），rmin（x）：=min＝（r，x，x）＝（x，x）∶）∈ R（x，2）}∧ min{rx（（x，1））：x∈ R（x，1）}。因为，对于任何c，c>1，r±x（（x，c））=r±x（（x，c）），所以0<rmin（x）≤ r±x（（x，c））表示所有c∈ {2, 3, . . .} 还有x∈ R（x，c）。因此，rmin（x）Xx∈R（x，c）E（τ|x，c，x，c±1）≤ E（τ|（|x，ζ）=（x，c））<E（N*, N*))) < ∞.这意味着（47），这反过来意味着如上所述的结果。定理2.11的证明。由于状态空间∧是可数的，因此状态空间的每个有限子集都是可数的（例如，参见（Meyn and Tweedie，2009，第5章，第105页）），因此，我们能够明确构造泊松方程（22）的解。事实上，根据Meyn和Tweedie（2009）中的等式（17.38）以及其中的讨论，对于C:={z=（x，C，u）∈ ∧：x∈ OhmN*, c=1，u∈ {-1/2，1/2}，我们有^h（\'z）=E\'zσCXk=1英寸（Vk）, （49）式中σC=min{n≥ 0 | Vn∈ C} 。