具有记忆和可变排列的一级极限订单模型

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英文标题：
《One-level limit order book models with memory and variable spread》
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作者：
Jonathan A. Ch\\\'avez-Casillas and Jos\\\'e E. Figueroa-L\\\'opez
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We propose a new model for the level I of a Limit Order Book (LOB), which incorporates the information about the standing orders at the opposite side of the book after each price change and the arrivals of new orders within the spread. Our main result gives a diffusion approximation for the mid-price process. To illustrate the applicability of the considered framework, we also propose a feasible method to compute several quantities of interest}, such as the distribution of the time span between price changes and the probability of consecutive price increments conditioned on the current state of the book. The proposed method is used to develop an efficient simulation scheme for the price dynamics, which is then applied to assess numerically the accuracy of the diffusion approximation.
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中文摘要：
我们提出了一个新的限价订单簿（LOB）的一级模型，该模型包含了每次价格变化后，该账簿另一侧的常备订单信息以及价差内新订单的到达。我们的主要结果给出了中间价格过程的扩散近似。为了说明所考虑的框架的适用性，我们还提出了一种可行的方法来计算多个感兴趣的量，例如价格变化之间的时间跨度的分布，以及以书籍当前状态为条件的连续价格增量的概率。所提出的方法用于开发一种有效的价格动态模拟方案，然后应用该方案对扩散近似的精度进行数值评估。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> One-level_limit_order_book_models_with_memory_and_variable_spread.pdf (505.32 KB)

2022-5-6 11:41:03 上传

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关键词：Quantitative distribution Probability Numerically QUANTITATIV

具有记忆和变量分布的单级极限订货模型Jonathan A.Ch\'avez Casillas*Jos\'e e.Figueroa-L\'opez+2016年3月15日摘要我们提出了一个新的限额订单簿（LOB）一级模型，该模型包含了每次价格变化后，以及价差内新订单到达后，账簿另一侧的常备订单信息。我们的主要结果给出了中等价格过程的差异近似值。为了说明所考虑的框架的适用性，我们还提出了一种可行的方法来计算几个感兴趣的量，例如价格变化之间的时间跨度分布，以及以书籍当前状态为条件的连续价格增量的概率。所提出的方法用于开发价格动态的有效模拟方案，然后将其应用于数值评估扩散近似的准确性。关键词和短语：限价订单簿建模、价格过程形成、大量交易/差异近似。1简介在过去的几年里，交易市场的发展有了很大的进步。大多数现代交易所使用完全自动化的平台，称为电子通信网络（ECN），这大大提高了交易速度，仅为几毫秒。ECN基于一种持续的双重拍卖交易机制，在这种机制中，任何交易者都可以提交买卖资产的订单。有两种订单：限价订单和市场订单。买入（卖出）限价指令规定了交易员愿意买入（卖出）相关资产的数量和价格。所谓的限额订单簿（LOB）汇总了任何给定时间内所有未完成的限额订单。相同价格的限价订单按先进先出（FIFO）优先级执行。

更具体地说，LOB可以可视化为一个由（可能是空的）FIFO队列组成的系统（每个可能的勾价对应一个队列）。图1给出了LOB的图形表示。问价端的最低价格（称为问价）和出价端的最高价格（称为出价）之间的间隔被称为LOB的价差，而与这些最佳出价和问价对应的队列被称为本书的第一级。*加拿大卡尔加里卡尔加里大学数学与统计系，AB T2N4C2（乔纳森。chavezcasil@ucalgary.ca)美国密苏里州圣路易斯华盛顿大学数学系，邮编63130(figueroa@math.wustl.edu)图1：书籍的图形表示。投标限价单（左侧）显示为蓝色，而询价限价单（右侧）显示为红色。相比之下，市场订单是以最佳可用价格购买或出售一定数量资产的请求。因此，出售（购买）资产的市场指令与处于最佳出价（请求）队列中的未完成限额指令相匹配。除了限价订单和市场订单，取消限价订单是另一种常见的操作，在订单簿中的操作中占相当大的比例（参见Harris（2003））。显然，市场指令和限价指令之间存在权衡。虽然前者被立即、肯定地处决，但它们提供了可能最坏的代价。相比之下，已执行的限价订单可以提供更好的价格，但有可能根本不会执行。从前面的讨论中可以清楚地看出，当图书的一级队列耗尽（由于限额订单取消或市场订单到达）或在价差内发布新的限额订单时，价格就会发生变化。

因此，当最佳出价（ask）的限制订单队列耗尽时，最佳出价（ask）价格降低（增加），在这种情况下，下一个非空出价（ask）队列成为新的I级队列。同样，当价差大于一个刻度时，当价差内发布新的出价（ask）订单时，最佳出价（ask）价格升高（减少）。需要指出的是，资产中间价的动态是由该书一级的演变决定的。近年来，对LOB动态的建模受到了大量关注。我们参考Gould等人（2013）最近对该主题的评论。罗布·科尔松（1982年）、罗布·科尔松（2003年）、罗布·科尔松（2003年）、罗布·科尔松（2003年）和罗布·科尔松（2003年）的作品很少。最近，Cont et al.（2010）提出了订单簿的连续时间马尔可夫模型，其中限额订单的可能买卖价格假设位于有限集合C中。限额订单在C中不同价格水平的到达由独立的泊松过程驱动，根据幂律关系，其到达率由其相应价格水平与最佳买入/卖出价格之间的距离决定。这种方法在Abergel和Jedidi（2011年）的《有限框架LOB模型》中得到了进一步发展。更具体地说，考虑了固定数量的“潜在”出价和要价水平。潜在买入（卖出）价格水平是指可以提交买入（卖出）限价单的价格水平。特别是，每次最佳出价（ask）价格队列耗尽时，潜在出价（ask）价格水平的框架都会向左（右）移动，从而忘记了书的另一边最右（左）层的信息。

类似地，每次在价差内提交一份买卖（ask）限价单时，可能的买卖（ask）价格水平的框架都会向右（左）移动，对于这种情况，假设在最右（左）价格水平的队列是恒定的。根据刚刚描述的“执行移动框架”假设，中间价过程的不同限制在此确定。请参阅下文，以进一步讨论并与我们的结果进行比较。我们对目前工作的主要灵感来自康特和拉拉德（2013）的开创性工作，其中马尔可夫模型被认为是一级动力学。只考虑一级而不是整本书的主要动机是双重的。首先，如上所述，资产的价格由I级决定，其次，I级中包含的信息是许多高频交易策略和问题的关键。Cont和Larrard（2013）通过保持泊松顺序流并对订单簿的形状施加一些对称条件，证明了在时间和空间上适当缩放的中间价格过程收敛于布朗运动。极限过程的波动性可以使用模型的输入参数显式计算。不幸的是，其中的结果需要几个强有力的假设，其中最重要的是：（i）所有类型的订单的数量不变：市场、限额和取消；（ii）在任何时候，最好的买入价和卖出价之间的持续价差为一个刻度；（iii）在一级队列每次耗尽后，一个滴答的恒定平行价格变动；（iv）记忆丧失，即在每次I级队列耗尽后，未耗尽一侧的剩余限制指令信息被重置。对于“大”的tick资产，利差不变的假设通常是合理的，其中tick的大小与“典型”的价格增量相当。

事实上，如Cont和Larrard（2013）所示，对于美国市场的一些股票，在一个典型的一天内，超过98%的观察值的价差可能等于一个滴答声。除了小额资产（如欧元/美元外汇），还有其他无法验证恒定价差假设的情况。例如，Bouchaud et al.（2009）认为，相对较大的利差可能是由做市商的垄断行为、高订单处理成本和大订单造成的。Pomponio和Abergel（2010年）（另见Muni Toke和Pomponio（2012年））认为，交易员以LOB中的最佳报价跟踪订单数量，通常将其市场订单规模限制在低于这些数量的范围内。但是，有时执行速度比大订单的市场影响风险更重要。在这种情况下，可以提交大于第一个限额（称为交易至）的订单。Pomponio和Abergel（2010）认为，尽管交易量可能很少发生（发生概率小于5%），但它们弥补了日交易量中不可忽略的一部分（DAX指数期货高达20%）。由于每一笔交易都会扩大价差，因此允许可变价差的模型是可取的。在这项工作中，我们提出了一种新的模型，以解释上一段所述的可变价差的可能性，并缓解Incot和Larrard（2013）提出的框架的一些缺点。更具体地说，虽然保留了其中的一些假设，例如马尔可夫订单流、书的每一面都有一个级别以及订单流的恒定量，但提议的模型通过在每一个级别I队列耗尽后保留书的另一面的未结清订单的信息，在LOB的动态中允许一些“记忆”。

例如，如果最佳出价队列耗尽，最佳出价将减少一个滴答声，但最佳askprice的价格和未完成订单都将保留。为了避免差价的持续扩大，我们还允许差价的订单按照泊松过程到达。正如Cont和Larrard（2013）所述，我们为价格过程建立了一个不同的近似值，尽管使用了本质上不同的分析。具体地说，我们在这个方向上的结果建立在可数正递归Harris链的数学理论基础上（参见Meynand Tweedie（2009））。Cont and Larrard（2013）中模型的一个主要吸引人的特点是它的可处理性，尤其是可以对几个LOB特征进行分析计算，其中一些与高频交易和日内风险管理有关。为了说明这项工作中提出的框架的适用性，我们提出了一种可行的方法来计算多个利息量，条件是书籍的初始状态，例如价格变化之间的持续时间分布、价格上涨的概率以及价格上两个连续增量的概率。导出公式的主要工具是，基于某个有限差分算子的特征值和特征向量，明确描述I级消耗时间和剩余队列在该时间的订单量的联合分布。所开发的方法还用于设计LOB动力学的有效模拟算法，随后用于数值研究中间价格过程向其不同极限过程的收敛。这篇手稿中的结果一方面与理论相关，因为它们放松了早期作品中的一些强有力的假设。

另一方面，这些结果使我们能够自下而上地构造一些在低频率下常用的“有效”模型（例如，从属布朗运动模型）。最后，让我们简要讨论一下我们的工作与一些早期作品之间的联系。如前所述，Abergel和Jedidi（2011）还获得了一个关于中间价格过程的不同近似值；然而，我们的模型不能用其中的方法来构建。要实现这一点，需要注意的是，参考文件的范围仍然是有界的，而在我们的模型中，它可能会取z+的值，这会使分析变得相当复杂。我们还需要注意的是，我们的模型仍然可以解释Cont和Larrard（2013）的经验观察结果，即差价在1的值上花费了大量时间，因为差价中的限价订单到达强度取了一个较大的值。然而，这一特征不可能纳入Abergel和Jedidi（2011）的模型中，因为第一个潜在出价和要价水平的到达强度是恒定的，无论该水平是否已被限价订单占据。另一项相关工作是Cont和Larrard（2012年），它放松了恒定容量的假设，没有对Cont和Larrard（2013年）的记忆（如上所述的假设（i）和（iv）），但没有建立价格过程的不同近似值。相反，其中的主要结果是对LOB级别I的队列大小进行了大量转换，作为FirstQuadrant中的马尔可夫跳跃扩散过程。在第一象限的内部，该过程遵循一个具有给定漂移和协方差矩阵的平面布朗运动。每次进程击中其中一个轴时，该轴就会移动到象限内部（根据一些规则）。

因此，如康特拉德（2013）中命题1所述，价格过程近似为随机游走，根据刚才描述的跳跃扩散过程是击中x轴还是y轴，向左或向右移动一个勾号。请注意，这与本研究中考虑的价格过程的连续差异近似不同。让我们也注意到，尽管Cont和Larrard（2012）在原则上放宽了命名的假设（iv），但它也提出了其他技术假设，显然排除了本研究中考虑的内存类型（更多细节请参见下面的备注2.1）。本文的其余部分组织如下。第二节分析了具有可变分布的模型，得到了结果价格过程的函数中心极限定理。第3节介绍了上述方法，以有效地计算与LOB相关的几个利益量。在第4节中，我们通过模拟分析了极限过程的收敛速度、扩散行为以及与不同模型参数相关的渐进波动性。为此，我们根据第3节的结果，开发了一种“高效”的方法来模拟LOB I级的动态。在第4节中，我们还对第3节中考虑的一些感兴趣的量进行了数值计算，并在我们的假设以及Cont和Larrard（2013）的假设下研究了它们的行为。

最后，附录中给出了一些技术建议。2一个具有内存和可变分布的一级LOB模型在本节中，我们介绍了一个新的LOB I级动态框架，它比Cont和Larrard（2013）中介绍的模型更现实，因为每当队列耗尽时，剩余队列的位置和大小都会保留，当一个新的队列被生成时，根据被耗尽的队列是在书的出价侧还是要价侧，在该队列的左边或右边打一个勾。该模型还考虑了在可能的情况下，限价订单到达价差的可能性。本节的主要结果是为中等价格流程建立一个不同的近似值。更具体地说，如果{st}t≥0表示股票的中间价格过程，那么，对于某些适当的常数σ>0和m，以下不变性原理成立：snt- nmt√N=> σWt，n→ ∞, （1） 其中{Wt}t≥0是一个维纳过程，此后，=> 表示分布收敛。试探性地说，如果我们将1/n视为观察过程的时间尺度，（1）表示价格过程可以通过“小”尺度（通常为10秒或更长时间，取决于以毫秒为单位发生的书本事件的速度）漂移的布朗运动来近似。本节的组织如下。我们首先在第2小节中介绍模型和必要的符号。1.第2.2小节证明了价格变化之间到达时间的大数定律，这反过来需要确定价格过程的适当时间比例。最后，我们在第2.3.2.1小节LOB动态中获得了价格过程本身的函数中心极限定理（FCLT）。如前所述，我们只考虑订单簿的I级，这有助于确定资产价格过程的演化。