中国结构性合约的效用无差异定价与套期保值

商品价格的短期变化和长期动态。管理科学46（7）（2000），893-911。[45]M.汤普森、M.戴维森、H.拉斯穆森。天然气储量评估与优化：实物期权应用。海军研究后勤部（NRL）56（3）（2009），226-238。[46]X.沃林。天然气储存对冲。金融学中的数值方法。施普林格柏林海德堡（2012），421-445。命题3.4的证明最大化问题（2.8）符合论文[10]第5节关于弱动态编程原理的设置。特别是，他们的推论5.6适用。更准确地说，推论5.6证明中的基本要素是[10]中的先验估计（5.2）、值函数的局部有界性以及（t，x，y，z）中所有容许控制的目标函数的下半连续性。首先，由于（2.11），先验估计成立。关于值函数的局部有界性，可以很容易地检查，在我们的设置中，值函数是有界的，因为它是平凡的非正函数，并且（u，π）=（0，0）是一个可容许的策略，wehaveV（t，x，y，z；q）≥ -γexp-γy+q infp∈R（（T）- t） L（p，0，0）+Φ（p，0））> -∞因为函数L和Φ是有界的（参见假设2.1）。设（u，π）为可容许给定控制。由于控制现在是固定的，我们将其从状态变量的表示法中删除，并用a=（x，y，z）表示为At，At:=（Xt，Xt，Yt，At，Zt，At），以强调对初始数据的依赖性。现在考虑目标函数[0，T]×Rm×R×[0，\'uT]3（T，x，y，z）=（T，a）7→ E[G（At，At）]，其中G在（2.9）中定义。从函数G和状态变量At，At对初始数据（t，a）的连续性，我们得到G（At，At）在（t，a）中也是连续的。此外，请注意，由于L和Φ是有界的（参考。

假设2.1）我们有| G（At，At）|≤ C经验-γy+ZTtπs，dFsFs,对于某些常数C>0。因此，为了证明目标函数的下半连续性，必须证明随机变量族经验-γZTtπs，dFsFs: T∈ [0，T]是一致可积的。我们证明了对于所有容许控制，它们在LF中是有界的，即supt∈[0，T]E经验-2γZTtπs，dFsFs< ∞,这意味着一致可积性。设Ft，t为t后布朗增量产生的最小过滤，且满足通常条件。考虑Ft，T:dQtdP:=exp上测量值的以下变化-2γZTtπ*sσ*F（s，Xt，xs）dWs- 2γZTt |π*sσ*F（s，Xt，xs）|ds, （A.1）由于σ的有界性，它满足[30]第220-221页中的标准，因此得到了很好的定义*FσF（参见假设3.2（iii））和可采性属性（2.5）。此外，衡量标准（A.1）的变化也令人满意∈[0，T]E[（dQt/dP）]<∞. 这是π的容许性的结果，如（2.5）所示。事实上，dQtdP≤ 经验-2γZTtπ*sσ*F（s，Xt，xs）dWs,“给那个”dQtdP#≤ E经验-4γZTtπ*sσ*F（s，Xt，xs）dWs≤ E经验-8γZTtπ*sσ*F（s，Xt，xs）dWs- 2δZTt |π*sσ*F（s，Xt，xs）|ds1/2×Ehe2δRTt |π*sσ*F（s，Xt，xs）| dsi1/2=Ehe2δRT |π*sσ*F（s，Xt，xs）|dsi1/2，δ等于2δ=（8γ）/2，因为上面第二个不等式中的第一个指数是一个随机鞅。此外，由于π是可容许的，我们有Ehe2δRT |π*sσ*F（s，Xt，xs）|dsi<∞. 作为序列，我们得到了dQt/dP是平方可积的。所以我们有经验-2γZTtπs，dFsFs= EQt经验-2γZTtπ*suF（s，Xt，xs）ds+2γZTt |π*sσ*F（s，Xt，xs）|ds≤ E“dQtdP#E经验-4γZTtπ*suF（s，Xt，xs）ds+4γZTt |π*sσ*F（s，Xt，xs）|ds.利用μf的线性增长条件和σ的有界性*FσF（参考假设3.2（ii）和（iii）），我们有-4γZTtπ*suF（s，Xt，xs）ds+4γZTt |π*sσ*F（s，Xt，xs）|ds≤ 经验ZTc |πs |+c |πs |+c |Xs|ds,对于一些正常数c，c，c。

最后，我们需要证明上述RHS对于P是可积分的。这是根据π的可容许性得出的，如（2.5）中所示，以及X的指数统一边界（2.12）。最后，即使我们的设置中可容许控制的空间小于[10]中的空间，值函数是相同的，因为它们的空间中的任何控件都可以在一个通过截断的过程中被允许的控件清楚地逼近。结果如下。B.对数值函数的正则性性质为了证明下一个引理，我们严格遵循Pham[38]中的方法，该方法也在[33]中用于一个稍有不同的模型，该模型具有跳跃随机波动性和指数效用。由于证据与[38]中的论点非常相似，我们只对它们进行了注释，指出了主要的差异。引理B.1。让q≥ 0.假设2.1和2.5成立。在假设3.2下，在（3.1）中定义的对数函数J（t，x，z；q）在（x，z）中具有均匀的二次增长。由于索赔在控制u（参见假设2.1）中一致地在（x，z）中有界，因此必须证明纯投资问题的对数函数J（t，x）在t中均匀地在x中有二次增长。首先，重复与[38]中定理3.1的证明完全相同的论点，我们得到，如果终端条件为J（T，x）=logγγγ的PDE（3.10）允许一个属于C1,2（[0，T）×Rm）的唯一解∩ C（[0，T]×Rm），其x-导数呈线性增长，则该解与J（T，x）重合。为了总结证明，我们需要证明，PDE（3.10）有一个唯一的光滑解，其x-导数具有线性增长。我们在[38，Th.4.1]的前提下，根据他的假设（H3a）调整我们的设置。

事实上，请注意，我们的假设3.2（i）以及假设2.5（ii）中假设的b的Lipschitz连续性对应于[38]中的（H3a）（i）。此外，假设3.2（ii）意味着（H3a）（ii），而假设3.2（iii）保证（H2）（b）（见[38]中的备注2.3]）。在q=0的情况下考虑PDE（3.17），其中F（w）被fk（w）替换：=infα∈Bkn-~F（α）- hα，wio，w∈ Rm，（B.1），其中Bk是半径为k的Rm中的中心球≥ 1.回想一下，~F是F的凸共轭，由~F（α）=-hα，B-1αi，α∈ Im（B），当它等于-∞ 否则按照[38，Th.4.1]的证明进行，我们可以应用定理6。在[24]中，给出了唯一解J0，k的存在性∈ C1,2（[0，T）×Rm）∩C（[0，T]×Rm）在x上多项式增长，对于抛物型PDEJ0，kt+2γh（σ*FσF）-1uF，uFi+γFk（J0，kx）+trΣ*∑J0，kxx= 0，（B.2）终端条件为J0，k（T，x）=对数γγ。请注意，在（B.1）中定义Fk（w）时出现的F的凸共轭F可以取这个值-∞, 这在这里不是问题，因为该值不影响α的最小值。下一步包括，如[38]中所述，使用解J0的随机控制表示，kto导出导数的一致界，与近似无关。事实上，从标准的验证参数中，我们可以得到j0，k（t，x）=infα∈BkEQZTt∧（s，Xs，αs）ds | Xt=x,式中∧（s，x，α）=2γh（σ*FσF）-1uF，uFi（s，x）- γ~F（α），其中bk是以k为界的Rm值适应过程α的集合，Q下X的受控动力由dxs=（\'b（s，Xs）给出- γαs）ds+∑*（s，Xs）dWQs，其中wqi是Q和‘b下的d维布朗运动，已在（3.7）中定义。注意，因为∧取这个值-∞ 在B的映像之外，则沿最优路径^α（s，^Xs）评估的最优马尔可夫控制将位于Im（B）a.s.上∈ [t，t]。

我们可以使用[25]中的引理11.4和[38，引理4.1]中相同的估计来获得| J0，kx（t，x）|≤ C（1+| x |），n，（t，x）∈ [0，T]×Rm，对于一些不依赖于k的正常数C。现在我们在[38，Th.4.1]的证明中，在（H3a）的情况下，推导出|αk（T，x）|≤ C代表所有t∈ [0，T]和| x |≤ 对于某个正常数C（独立于k）和任意大的M>0。因此，我们得到了，对于k≤ C、 Fk（J0，kx）=F（J0，kx）表示所有（t，x）∈ [0，T]×BM。让M倾向于+∞, 我们最终得出J0，kis是一个光滑的解，在偏微分方程（3.17）（Q=0）的导数上线性增长。综上所述，我们得到了J=J0，k足够大，特别是，给出了x在t中均匀的二次增长。因此证明是完整的。