中国结构性合约的效用无差异定价与套期保值

在这种情况下，很容易看出^u（t，x，z；q）=u1[vz（t，x，z；q）>q`（p，z）]。尽管使用粘度解决方案无法严格证明此类控制的最佳性，但我们观察到，它们与过去文献中针对更具体模型得出的最佳策略一致（参见[3,11]）。备注3.5。注意，我们研究的是对数值函数的PDE（3.6），而不是价格v的PDE（参见等式（3.11））。这样做的原因是，后者更容易处理，因为它包含对数值函数的第一个导数JxO，没有声明。将Da Lio和Ley的结果直接应用于方程（3.11）将需要t中Jxuniformly的aLipschitz连续性，这在一般情况下很难实现。尽管如此，当满足Cartea Villaplana（见第4.2小节）和例4.6中的线性动力学模型中的条件时，使用的假设比定理3.3中的假设少。事实上，支付L和Φ的有界性意味着UIP v是有界的，因此它具有二次增长。因此，不再需要引理B.1，也不再需要假设3.2中的所有C-正则性和uFas的有界性。在剩下的假设下，当Φfh在t中均匀地在x中线性增长（代替其有界性）时，我们可以证明v是唯一的连续粘性解，具有等式（3.11）的二次增长和终端条件（3.12）。该证明类似于第3.3条，因此省略。备注3.6（完整的市场案例）。当市场完全时，即d=n和σFhas fullrank，我们有B=0，因此假设3.2（iv）基本满足，并且jxd不再出现在v的PDE中。在这种情况下，我们可以沿着前面的备注3.5中所述的同一条线直接使用v的PDE。

因此，在假设2.1、2.5和3.2（i）-（ii）-（iii）下，可以证明v是唯一的连续粘性解，具有HJB方程vt+hb的二次增长- Σ*(σ*F）-1uF，vxi+tr（∑）*∑vxx）+supu∈[0，\'u]huvz+qLi=0，（3.22），终端条件v（T，x，z；q）=qΦ（p（T，x，z）。（3.23）此外，我们可以削弱μF的有界性，只需要在x uniformlyin t中线性增长。这一结果扩展到我们在[3,11,16,22,45]中的设置，这些设置是针对特定类型的结构化合约获得的，例如，波动和虚拟存储，并且没有远期合约交易。4例。1一类具有两种资产且具有恒定相关性的模型在本节中，我们重点关注以下不完全市场模型：dFtFt=uF（t，Xt）dt+’σF（t，Xt）dWt，dXt=b（t，Xt）dt+σ（t，Xt）ρdWt+p1- ρdWt,（4.1）其中W=（W，W）是二维布朗运动，ρ∈ (-1, 1). 这显然是前一节中带有σ的一般模型的一个特例*F（t，x）=（\'）σF（t，x），0，∑*（t，x）=σ（t，x）（ρ，p1）- ρ） 对于某些连续函数p（t，x），Pt=p（t，Xt）。该模型是具有基差风险的Black-Scholes模型（参见[18,28,34]等）的推广，其附加特征是非交易资产或因子X可以出现在交易资产F的系数中。我们假设假设2.1和2.5是有效的。关于假设3.2，我们将把它专门化为目前的设置，如下所示。首先观察数量h∑*σF（σ*FσF）-1，假设3.2（i）中出现的uFi读数为灰分∑*σF（σ*FσF）-1，uFi（t，x）=ρuF（t，x）σ（t，x）－σF（t，x），而标量积h（σ*FσF）-假设3.2（ii）ish（σ）中的1uF，uFi*FσF）-1uF，uFi（t，x）=uF（t，x）－σF（t，x）。和（σ）*假设3.2（iii）中的FσF（t，x）对应于（σ*FσF（t，x）=σF（t，x）。最后，我们有B（t，x）=（1）- ρ） σ（t，x）。

因此，假设3.2由下面列出的条件保证，定理3.3中的一般结果可以安全地应用。假设4.1。让下列属性保持不变：（i）b∈ C、 σ∈ C（ii）以uFis为界；（iii）σ和‘∑有界且远离零；（iv）uF′σF∈ c在x中是Lipschitz，在t中是一致的。在这个更具体的设置中，我们可以获得关于结构性产品q单位买家价值函数结构的更多信息，前提是我们有以下假设4.2。让对数函数Jxbe-Lipschitz在x中均匀地在t中。在这个假设下，我们不需要假设uFis有界，如上面4.1（ii）所示。事实上，注释3.5中的注意事项适用，因此，特别是ufca可以是x的线性函数，如下面的示例4.6所示。假设Cut是（2.1）中给定结构化合同的报酬。受inOberman和Zariphopoulou[41]结果的启发，这反过来又将El Karoui和Rouge[19]扩展到了Americanoptions，我们得到了结构化产品切割的UIP表示为仅与控制u有关的辅助优化问题的值函数，在包含无索赔问题的对数值函数的导数jxo的可测等价鞅测度下，其中γ替换为修正的风险规避eγ=γ（1- ρ).让我们考虑一下被定义为asdQdP的量度Ft:=Dt:=exp-Ztθ*乌德乌-Zt |θu | du, T∈ [0，T]，（4.2），其中W=（W，W）*θ由θt=（θt，θt）给出*=uF′σF，γp1- ρσJx*（t，Xt）。（4.3）请注意，由于X具有连续路径，且uF/？∑Fis连续，因此，对于每个t，随机积分θudwu都得到了很好的定义。此外，由于σ（t，Xt）的连续性和Jx的线性增长，第二个积分θudwu也得到了很好的定义（参见。

引理B.1）。最后，为了让方程（4.2）定义一个概率测度，我们需要强制E[DT]=1。例如，当Jxis有界时，这种等式成立，因此特别适用于阿尔诺维科夫的标准。更一般地说，可以使用[32]中提出的确定性标准（例如其中的定理2.1）。备注4.3。在F的系数不依赖于状态变量X的情况下，例如，当两者都遵循具有常数相关性的几何布朗运动时，我们得到了JX≡ 0，Qcoincides与最小熵鞅测度。因此，可以将测度qc视为最小熵鞅测度的扰动（参见[？]）其中修正涉及最优纯投资问题的对数值函数。在接下来的内容中，我们将需要以下初步引理，说明鞅测度Q下的现货价格动态。它的证明是基于标准应用的吉尔萨诺夫定理，因此省略。引理4.4。假设E[DT]=1。然后，由dxt=~b（t，Xt）dt+σ（t，Xt）dWt（4.4）给出的q下X的动力学，其中~~b（t，Xt）：=B- ρ∑uF′σF- ~γσJx（t，Xt）和dWt:=ρdWt+p1- ρdWt+ρuF′σF＋γσJx（t，Xt）dt定义了一个Q-布朗运动，并且∧γ=γ（1）- ρ).以下命题延伸到我们在奥伯曼和扎里波普卢[41，第10号提案]中的人物塑造。提案4.5。让现有假设2.1、2.5、4.1（i）-（iii）-（iv）和4.2成立。然后UIP v=v（t，x，z；q）满足性v（t，x，z；q）=supu∈美国犹他州-γln Et，x，zhe-γqCut，Ti, （4.5）其中Et，x，zdenotes是Q证明下的条件期望。我们证明了这个结果，证明了候补函数v=v（t，x，z；q）：=supu∈美国犹他州-γln Et，x，zhe-γqCut，Ti将方程（3.11）与终端条件（3.12）相匹配，我们使用Da Lio和Ley[17，Th.2.1]中的比较得出结论。

为此，将v写成v（t，x，z；q）=-γln(-w（t，x，z；q）），（4.6）带w（t，x，z；q）：=supu∈乌特，x，zh-E-γqCut，Ti。上面的值函数w在粘性意义上（wt（t，x，z；q）+supu）解决了下面的柯西问题∈[0，\'u][Luw（t，x，z；q）- γqL（p（t，x），z，u）w（t，x，z；q）]=0w（t，x，z；q）=-经验(-γqΦ（p（T，x，z）），其中luw=~bwx+uwz+σwxx。立即得到了相应的柯西问题v：~vt（t，x，z；q）+supu∈[0，\'u]h＠Lu＠v（t，x，z；q）+qL（p（t，x，z，u）i=0＠v（t，x，z；q）=qΦ（p（t，x），z），（4.7）带＠Lu v=＠b＠vx+u＠vz+σ■vxx- -γ-vx,这是等式（3.11）在这种情况下的特殊情况。为了用UIP v来识别v并得出结论，我们需要一个Cauchyproblem（4.7）的唯一性结果。由于Jxis在t中一致地假设为x中的Lipschitz，我们可以使用Remark3。5.证明了Cauchy问题（4.7）具有二次增长的唯一连续粘性解的存在性。最后，付息T的有界性（参见假设2.1）明确地表明，价值函数v（T，x，z）具有二次增长。因此，证据是完整的。前面的命题建议采用以下方法来计算UIP以及在这种情况下给定结构性产品的相应（部分）对冲策略：o首先，在没有索赔的情况下解决纯最优投资问题V（t，x，y；0）其次，利用新的概率测度Qas以及相应的x动力学，计算对数值函数j的x导数最后，解决（4.5）中的最大化问题，该问题现在仅针对控制u进行计算；其价值函数给出UIP，而其相对于X的衍生工具通过（3.5）给出对冲策略。例4.6（线性动力学模型）。

这个例子是[12，第2.2节]：dFt=Ft中研究的模型的一个轻微推广（a）- kXt）dt+/σFdWt, （4.8）dXt=δ（θ）- Xt）dt+σρdWt+p1- ρdWt, （4.9）如果a，k，“∑F，δ，θ，σ是实常数，则相关性ρ属于(-1，1）和（W，W）和以前一样是二维布朗运动。这里F代表期货合约的价格，到期日为T，期货合约的现货价格为Pt:=eXt，即p（T，x）=exin。当k=1时，我们正好得到[12，第2.2节]中的模型。请注意，如果σF>0、σ>0和k=0，则假设4.1成立，而在一般情况下，当k 6=0时，假设4.1（ii）不满足。然而，正如我们将要看到的，在本例中，Jxis Lipschitz，因此备注3.5适用。因此，我们可以如上所述，取x。要知道Jxis-Lipschitz，考虑方程（3.10），在这个设置中，它变成了jt+2γ（a）- kx）’σF-ρσ′σF（a）- kx）Jx+δ（θ）-x） Jx-γσ(1 - ρ)Jx+σJxx=0。然后，与[9]类似，我们猜测解J为一般形式J（t，x）=α（t）+β（t）x+Γ（t）x，因此J（t，x）≡对数γ。

这个安萨茨给出了一阶颂歌系统α+a2γ′σF+δθ - ρσ′σFaβ -γσ(1 - ρ)β+ σΓ = 0,β+ρkσ′σF- δ - 2γσ(1 - ρ)Γβ -akγ′σF+2δθ - ρaσ′σFΓ=0，Γ+k2γ′σF+2ρkσ′σF- δΓ - 2γσ(1 - ρ） Γ=0，最终条件α（T）=logγγγ，β（T）=0，Γ（T）=0。上述系统是封闭形式可解的，因为第三个方程是Γ中的Riccati方程，第二个方程是β中的线性方程，已知Γ后可以求解，最后，第一个方程可以通过积分在α中求解。请注意，如果出现在正向漂移中的参数k为零，那么远期合约的动力学不依赖于X，因此Jdoes不依赖于X，从而导致β≡ Γ ≡ 0.最后，在这种情况下，方程式（3.11）由Vt给出+δ(θ - 十）- ρσ′σF（a）- （kx）- γσ(1 - ρ） （β+2Γx）vx+σvxx-γσ(1 - ρ） vx+supu∈[0，\'u]huvz+qLi=0，终端条件v（T，x，z；q）=qΦ（ex，z）。（4.10）4.2具有相关性的Cartea-Villaplana模型在这里，我们考虑Cartea和Villaplana在[15]中引入的电力现货价格双因素模型的一个轻微推广。虽然这两个因素在原始文献[15]中是独立假设的，但这里我们考虑到它们之间可能存在非零（常数）相关性。我们简要回顾了该模型的主要特点。电力现货价格ptatime t分解为两个随机因素xc和XD之和，即Pt=expη（t）+αCXCt+αDXDt,αC<0且αD>0，其中η表示季节性连续确定性分量。系数Xit，i=C，D分别是驱动发电厂容量和电力需求的Ornstein-Uhlenbeck过程。

它们的动力学由dxit=-kiXitdt+σi（t）dWit，其中kiare常数系数σi（t）是时间的确定可测函数，每个Wi，对于i=C，D，是一维布朗运动，使得dhWC，WDit=ρdt，具有常数相关ρ∈ (-1, 1). 注意，当αC=αD=1，kC=0（或kD=0）时，Cartea Villaplana模型简化为Schwarz-Smith模型[44]。在本例中，我们在以下长期假设下工作：假设4.7。设σC（t）和σD（t）是连续的，有界的，并且有界远离零[0，t]。由于利率为零，到期日为t的远期合约在t时的价格可以通过通常的公式Ft=EQ[PT | Ft]，t来计算∈ [0，T]，选择适当的风险中性度量Q，保持模型的高斯结构，如[15，第5节]。按照[15]中的方法，我们可以得到风险中性测度Q asdFtFt=αCe下的远期价格动态-kC（T）-t） σC（t）dWQ，Ct+αDe-kD（T-t） σD（t）dWQ，Dt，其中WQ，Cand，WQ，与ρ相关的两个Q-布朗运动。在[15]中选择适当的市场风险价格，并使用假设4.7，我们可以在目标概率P下获得以下正向动力学：dFtFt=uF（t）dt+αCe-kC（T）-t） σC（t）dWCt+αDe-kD（T-t） σD（t）dWDt，其中漂移uF（t）是时间的有界函数。我们分别处理两种不同的情况：单远期合约的不完全市场情况（回想一下，我们有两个随机因素）和双远期合约的完全市场情况。4.2.1在一个远期合约的情况下，在这种情况下，代理行可以通过只在一个远期合约中进行交易来对冲结构性产品。

Cartea Villaplana模型符合第2.2小节的一般设置，X=（XC，XD）*, 谁的同事是B（t，xC，xD）=-kCxC-kDxD, Σ*（t，xC，xD）=σC（t）00σD（t）·10ρp1- ρ.注意，∑具有满秩，除非ρ=±1，如∑*Σ =σCρσCσDρσCσDσD.让我们考虑一个到期日为T的远期合约F。这里σF（t，Xt）只依赖于t，因此为了简单起见，我们设置σF（t）：=σF（t，Xt），我们有σ*F（t）=αCe-kC（T）-t） σC（t）αDe-kD（T-t） σD（t）·10ρp1- ρ=αCe-kC（T）-t） σC（t）+ραDe-kD（T-t） σD（t），p1- ραDe-kD（T-t） σD（t）.我们注意到，由于现货和远期原木价格之间的相关性不是恒定的，因此该模型不符合第4.1节中的设置。在这个模型中，矩阵B的秩等于1。事实上，通过定义（参见等式（3.8）），我们得到了b=∑*（一）- σF（σ*FσF）-1σ*F） ∑，带（σ）*FσF（t）=αDσD（t）e-2kD（T）-t） +αCσC（t）e-2kC（T）-t） +2ραCαDσC（t）σD（t）e-（kC+kD）（T-t） 。（4.11）考虑x=∑-1σF，然后x6=0，我们有hx，Bxi=σ*F（I）- σF（σ*FσF）-1σ*F） σF=σ*FσF- σ*FσF（σ*FσF）-1σ*FσF=0。因此，在等式（3.16）中处理B的图像在这里是完全正确的，因为秩（B）=1。现在，我们证明假设3.2（iv）在这种情况下是满足的。事实上，直接计算表明b=κ（t）·αDe-2kD（T）-（t）-αCαDe-（kC+kD）（T-（t）-αCαDe-（kC+kD）（T-t） αCe-2kC（T）-t） !！式中κ（t）：=（1）- ρ） σC（t）σD（t）αDσD（t）e-2kD（T）-t） +αCσC（t）e-2kC（T）-t） +2ραCαDσC（t）σD（t）e-（kC+kD）（T-t） 。因此，B的两个特征值是λ（t）≡ 0和λ（t）=κ（t）αDe-kD（T-t） +αCe-kC（T）-（t）> 通过假设4.7，我们得到σC（t）和σD（t）有界且有界远离零[0，t]，产生δ≤ λ（t）≤ 对于一些δ>0的δ，与t无关∈ [0，T]。这意味着假设3.2（iv）。因为在这个例子中，两个因子xC和xD并没有进入正向契约动力学的系数，所以我们预计对数值函数的导数jxO为零。事实上，这可以从J。

由于uFandσFdo不依赖于X，这样的偏微分方程简化为jt+2γ|uF | | |σF |=0，这就给出了sj（t）=logγγ+ZTt2γ|uF（s）|σF（s）|ds。因此Jx≡ 0，UIP的方程式（3.11）变为+B*- h（σ）*FσF）-1σ*F∑，uFivx+tr∑*∑vxx）-γv*xBvx+supu∈[0，\'u]huvz+qLi=0。因此，在假设4.7下，注释3.5中的考虑适用，并给出了UIP与上述PDE二次增长的唯一粘度溶液的关系。最后，在这种情况下，候选最优套期保值策略由^hq=^πq给出- ^π=-(σ*FσF）-1σ*F∑vxas在（3.21）中，其中σ*FσFis如（4.11）和（σ*F∑）*（t） =αCe-（T）-t） kCσC（t）+ραDe-（T）-t） kDσC（t）σD（t）αDe-（T）-t） kDσD（t）+ραCe-（T）-t） kCσC（t）σD（t）！。4.2.2两个远期合同的情况我们现在来看一个更简单的情况，即代理人可以通过交易两个远期合同来对冲结构性产品，两个远期合同的到期日分别为T和T≤ 然后我们有σ*F（t）=αCe-kC（T）-t） σC（t）αDe-kD（T-t） σD（t）αCe-kC（T）-t） σC（t）αDe-kD（T-t） σD（t）·10ρp1- ρ.当然，在这种情况下，B=0，因为σFis是可逆的。因此，市场模型是完整的，我们处于备注3.22中描述的情况。与前一种情况类似，可以找到J的显式表达式，现在由J（t）=logγγ+ZTt2γhuF（s），（σ）给出*FσF）-1（s），uF（s）i ds。这里又是Jx≡ 0，因此备注3.5适用，UIP的方程式（3.11）变为+B*- h（σ）*FσF）-1σ*F∑，uFivx+tr∑*∑vxx）+supu∈[0，\'u]huvz+qLi=0。最后，候选最优套期保值策略由^hq=-(σ*FσF）-1σ*F∑vx和前面一样，其中这个时间（σ*FσF）-1(σ*F∑（t）=E-（T）-t） kCαC1.- e（T）-T） （kC）-（kD）E-（T）-t） kDαD1.- e（T）-T） （kD）-（kC）E-（T）-t） kCαC1.- e（T）-T） （kD）-（kC）E-（T）-t） kDαD1.- e（T）-T） （kC）-（kD）.5数值结果在本节中，我们将展示我们的结果在swing选项中的一些数值应用（参见示例2.2）。