中国结构性合约的效用无差异定价与套期保值

（i） 函数p:[0，T]×Rm→ R是连续的。（ii）系数b:[0，T]×Rm→ Rmand∑[0，T]×Rm→ Rd×mof因子过程x是连续函数，x中的Lipschitz在t中是一致的，在t中是线性增长的。（iii）漂移uF:[0，t]×Rm→ r和波动率σF：[0，T]×Rm→ Rd×nare连续函数，x中的Lipschitz在t中一致，x中的线性增长在t中一致。在这样的假设下，众所周知，SDE（2.3）和（2.4）承认一个唯一的强解（X，F），使得X=X和F=F（例如，参见[43，第五章]中的定理13.1）。2.3可接受策略和效用差异价格我们考虑一个代理人，其偏好由指数效用函数U（X）建模=-γe-γx，x∈ R、 风险规避参数γ>0。我们假设他在q中有一个很长的位置≥ 给定结构性产品的0个单位，支付效果=（切割）u∈Uwith CuTas in（2.1）。此外，为了规避此类合同的风险，他在前一节所述的远期合同金融市场进行交易。在任何时候∈ [0，T]，代理人在i=1的远期合约中投资财富πIs，n、 因此，代理人投资组合的演变是πs，dFsFs=nXi=1πisdFisFis=hπs，uF（s，Xs）ds+σ*F（s，Xs）dWsi，我们记得h·，·i表示RN中的欧几里德标量积，我们使用符号DFSF：=dFisFisi=1，。。。，n=uF（s，Xs）ds+σ*F（s，Xs）dWs，s∈ [0，T]。此时，我们需要指定一组可接受的策略。定义2.6。设u>0为给定阈值。容许控制集A是所有耦合（u，π）的集合，其中u是任何适应的过程，使得ut∈ [0，\'u]表示所有t∈ [0，T]，π是任何渐进可测的Rn值过程，因此∈[0，T]E经验ε|πt|< ∞, （2.5）对于某些ε>0。我们将用U表示所有可容许控制的集合。

此外，At（resp.Ut）将是从t开始的容许控制（u，π）（resp.容许控制u）集合。现在，我们准备介绍结构化产品CT的q单位的效用差异（购买）价格。我们将使用符号Cut，t表示从时间t开始的结构化合同Cut的支付，即Cut，t=ZTtL（Ps，Zus，us）ds+Φ（PT，ZuT），t∈ [0，T]。此外，我们将CuT=Cu0，T定义设为2.7。位置q在时间t的效用差异（购买）价格≥ 从初始投资组合价值yt开始，结构化产品中的0被定义为唯一可测量的随机变量vtsolution（无论何时存在）到V（yt- vt，q）=V（yt，0），（2.6），其中V（yt，q）：=sup（u，π）∈阿泰特-γexp-γyt+ZTtπs，dFsFs+ qCut，T, （2.7）和Et代表给定Ft的条件期望。显然，V（y，q）给出了终端财富的最大预期效用，计算时间为0，具有指数效用的代理可以从初始财富开始，通过位置q获得≥ 结构化产品中的0。因此，上述（购买）UIP代表买方愿意为结构化合同的q单元支付的最高价格。通过如下适当地重新定义状态变量集，最大化问题（2.7）可以很容易地转化为标准的马尔可夫控制问题。让我们∈ [0，T]。

首先，使用等式（2.1），我们可以将终端财富改写为以下YT+ZTtπs，dFsFs+ qCut，T=yt+ZTtπs，dFsFs+ qZTtL（Ps，Zus，us）ds+qΦ（PT，ZuT）。利用Pt=p（t，Xt）是因子过程X的函数这一事实，我们得到（2.7）中的值函数v（t，X，y，z；q）：=sup（u，π）∈AtEt，x，y，zGXT，Yu，πT，ZuT, （2.8）其中奖励函数G由G（x，y，z）给出：-γe-γ（y+qΦ（p（T，x），z）），（2.9）和状态变量（x，Yu，π，Zu）随时间演化dXs=b（s，Xs）ds+*（s，Xs）dWs，dYu，πs=（hπs，uF（s，Xs）i+qL（p（s，Xs），Zus，us））ds+hπs，σ*F（s，Xs）dWsi，dZus=usds，（2.10），初始条件（Xt，Yu，πt，Zut）=（x，y，z）。请注意，假设2.5中设置的线性增长特性与假设2.1中L的有界性结合，给出了受控状态过程（X，Yu，π，Zu）的以下估计：Et，X，y，z“supt≤τ≤T |（Xτ，Yu，πτ，Zuτ）|p#≤ Cu，π（1+|（x，y，z）| p），t∈ [0，T），p≥ 1，（2.11）对于某些常数Cu，π>0，这可能取决于控制（π，u），在t中是一致的。备注2.8。通过应用Gronwall引理，观察到b和∑（参见假设2.5（ii））上的线性增长条件意味着∈[0，T]Eheη| Xt | i<∞, （2.12）对于某些η>0。在这个公式中，q的UIP≥ 结构产品的0个单位是唯一的解决方案vt=v（t，x，y，z；q）（无论何时存在）到v（t，x，y）- vt，z；q） =V（t，x，y，z；0）。备注2.9。原则上，示例2.3中描述的与虚拟存储合同相关的控制不满足定义2.6，其中控制属于[0，\'u]，且具有\'u常数。然而，通过简单地重新参数化控件，这个例子可以简化为我们的设置。

事实上，我们可以定义一个新的控制c，其值为[-1，1]这样，对于给定的适当函数f（c，z），旧控制u满足f（ct，Zt）：=（cKqz+Zb+K，0≤ C≤ 1，cK√Z-1.≤ C≤ 0，Z=f（ct，Zt）dt，Z=Z。备注2.10。在这里，我们简要地讨论了两篇论文[31]和[40]，它们（严格地说）不符合结构化产品的文献，但在某种程度上是相关的。事实上，他们都使用UIP方法和投资组件来应对实物/工业资产的定价。然而，尽管[31,40]中的优化问题在数学上与本文所考虑的问题相似，但影响资产的控制是在切换控制，控制的状态有很多。因此，他们基于最佳切换和BSDE的方法不同于我们的方法。最后，我们的模型比他们的模型更具体，因为它是为能源结构性合同的定价和对冲量身定制的。3粘度解的UIP特征在本节中，我们在下面给出的一些进一步的技术假设下，对适当柯西问题的粘度解的UIPin项进行了特征化。更准确地说，我们证明了初始财富为零的问题（2.8）的对数函数定义为asJ（t，x，z；q）：=-γ测井(-V（t，x，0，z；q）），q≥ 0，（3.1）可以刻画为可测Cauchy问题的唯一二次增长连续粘性解。

UIP作为两个对数值函数之间的差异，对应于有无结构化产品的问题。这是通过使用Pham[38]中开发的一些技术，以及Da Lio和Ley[17]中建立的一类二阶Bellman-Isaacs方程的最新结果来实现的。3.1关于值函数Pd的启发式在本节中，我们以启发式的方式推导出UIP定义中出现的值函数预期满足的PDE。在存在指数效用函数的情况下，这是一个经典性质（例如，见文献[4,5,6,29，，]）我们可以计算出初始财富y，所以v（t，x，y，z；q）=e-γyV（t，x，0，z；q），y∈ R.因此，通过定义UIP，我们推断-γ（y）-v） v（t，x，0，z；q）=v（t，x，y-v、 z；q） =V（t，x，y，z；0）=e-γyV（t，x，0，z；0），因此UIP v由v=-γlogV（t，x，0，z；q）V（t，x，0，z；0）=J（t，x，z；q）- J（t，x，z；0），（3.2），其中J表示（3.1）中定义的对数值函数。根据马尔可夫状态变量随机最优控制的一般理论，很明显，值函数V应满足以下HJB方程vt（t，x，y，z；q）+sup（u，π）∈[0，\'u]×RnLu，πV（t，x，y，z；q）=0，（3.3），终端条件V（t，x，y，z；q）=G（x，y，z），其中lu，πV=（hπ，uFi+qL）Vy+hb，Vxi+uVz+|π*σ*F | Vyy+tr∑∑*Vxx）+π*σ*F∑*vxy是状态变量（X，Y，Z）的生成器。回顾V（t，x，y，z；q）=-E-γy-γJ（t，x，z；q），我们可以很容易地从（3.3）推导出对数函数J的以下偏微分方程：=J（t，x，y，z；q）：Jt+sup（u，π）∈[0，\'u]×Rnhπ，uFi+qL+hb，Jxi+uJz-γ|π*σ*F|-γ∑Jx |+tr∑*∑Jxx）- γπ*σ*F∑Jx= 0.（3.4）其中的哈密顿量通过控制^π最大化，由^πq=（σ）给出*FσF）-1.uFγ- σ*F∑Jx.

（3.5）将^πqin代入方程（3.4）中，得到jt+2γh（σ）*FσF）-1uF、uFi+HB、Jxi+supu∈[0，\'u]huJz+qLi-γJ*xBJx+tr（σ）*∑Jxx）=0，（3.6），其中`b:=b- Σ*σF（σ*FσF）-1uF（3.7）和B是由B:=给出的m×m对称矩阵*Σ - (σ*F∑）*(σ*FσF）-1(σ*F∑）=∑*（Id）- σF（σ*FσF）-1σ*F） ∑。（3.8）V的终端条件转化为j（T，x，z；q）=对数γγ+qΦ（p（T，x，z），（x，z）∈ Rm×[0，\'uT]。（3.9）备注3.1。为了计算方程（2.6）中的UIP，我们首先计算J（t，x，z；0），这使方程（3.6）满足终端条件J（t，x，z；0）=对数γγγ。这是一个经典且直观的结果，在这种情况下，J（t，x，z；0）不依赖于z。为了简单起见，用J（t，x）表示J（t，x，z；0），我们有一个完整的fillsjt+2γh（σ）*FσF）-1uF，uFi+HB，Jxi-γJ0，*xBJx+trΣ*∑Jxx= 因此，从方程（3.6）中减去方程（3.10），并使用以下事实：-γJ*xBJx+γJ0，*xBJx=-γv*xBvx- γJ0，*xBvX我们为UIP v获得以下PDE:vt+h\'b、vxi+supu∈[0，\'u]huvz+qLi+tr（∑）*∑vxx）-γv*xBvx- γJ0，*xBvx=0，（3.11），终端条件v（T，x，z；q）=qΦ（p（T，x），z）。（3.12）请注意，求解上述UIP v（t，x，z；q）的HJB方程需要了解j，这是无索赔的最优投资问题的对数值函数。这种现象是由于不可交易因素X在正向合约F的动力学中的存在，在[5]中的一个稍有不同的模型中观察到了这种现象，其中不可交易因素遵循纯跳跃动力学。3.2存在性和唯一性结果在本节中，我们证明了对数函数J是唯一的连续粘性解，具有等式（3.6）的二次增长和终端条件（3.9）。从这里，可以通过等式（3.2）轻松找到UIPv。

我们将在以下假设下工作。回想一下，矩阵B已在（3.8）中定义。假设3.2。下列性质成立：（i）b是C，b和h∑*σF（σ*FσF）-1，uFi在t.（ii）uFis有界和h（σ）中均匀地分布在x中*FσF）-1uF，uFi在t.（iii）σ中均匀地表示x中的C和Lipschitz*FσFis有界且一致椭圆，即对于某些 > 0,(σ*FσF）（t，x）≥ In，for all（t，x）∈ [0，T]×Rm。（3.13）（iv）矩阵B是正半无限的，存在一个常数δ>0（在t，x中均匀），因此δ|ξ|≤ hξ，Bξi≤ δ|ξ|（3.14）对于所有向量ξ∈ Im（B），B的图像。对这些假设的一些评论是有序的。为了应用[17]中建立的方法和结果，除了C-正则性和uF的有界性（线性增长实际上是有效的）外，必须施加上述所有假设。特别是，B上的条件（iv）与[17]中假设A1中的矫顽力假设有关，这在证明它们的比较定理中起着至关重要的作用。此类财产必须根据具体情况进行验证。第4节提供了一些验证该假设的例子。[38]中的附加C-正则性假设以及uFallow us的有界性，得到了无索赔投资问题的对数值函数的二次增长条件。此外，由于结构化合同的假设2.1，后一个属性将由带有索赔的对数值函数J继承。我们现在准备陈述论文的主要结果。定理3.3。假设2.1和2.5成立。

在假设3.2下，（3.1）中定义的对数值函数J是唯一的连续粘度解，具有终端条件（3.9）下Cauchy问题（3.6）的二次增长。在证明该定理之前，我们给出了一个初步结果，表明该值函数在其域的内部是一个哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程（可能不连续）粘性解。其证明被推迟到附录中。提议3.4。假设2.1和2.5成立。在假设3.2下，（2.8）中的值函数V是HJB方程vt（t，x，y，z；q）+sup（u，π）的一个（可能是不连续的）粘度解∈[0，\'u]×RnLu，πV（t，x，y，z；q）=0，（t，x，y，z）∈ [0，T）×Rm×R×R（3.15），终端条件V（T，x，y，z；q）=G（x，y，z），其中lu，πV=（hπ，uFi+qL）Vy+hb，Vxi+uVz+|π*σ*F | Vyy+tr∑∑*Vxx）+π*σ*F∑*Vxy。现在我们可以证明定理3.3了。定理3.3的证明。我们首先考虑存在。这是上述命题3.4的一个简单推论，它给出了值函数V是方程（3.15）的粘度解。然后，可以使用粘度溶液的定义来检查（3.1）中定义的对数值函数JD是否是PDE（3.6）的粘度溶液（可能是不连续的）。为了完成证明，还需要证明，对于柯西问题（3.6）和（3.9），J在所有具有二次增长的连续粘性解类中是唯一的。唯一性的主要思想是使用[17，Th.2.1]中的比较定理。为了方便读者，我们把其余的证据分为两个步骤。（i） 还原为Da Lio和Ley[17]设置。首先，我们使用芬切尔-勒让德变换将定价PDE（3.6）中的二次项表示为Bof图像上的一个适当函数。更准确地说，我们在凸分析中应用了一个经典结果（例如[42，第三章，第。

12] ）到getF（w）：=-hw，Bwi=infα∈Im（B）{-~F（α）- hα，wi}=infα∈Rm{-~F（α）- hα，wi}，（3.16）对于所有向量w∈ Rm，式中F是F的共轭，也可由F（α）=-hα，B-1αi，当α∈ Im（B）和-∞ 否则请注意，由于矩阵B在我们的框架中不一定是可逆的，因此第一个in fim in（3.16）是在B的图像上计算的。利用（3.16），我们可以重写方程（3.6）asJt+2γh（σ*FσF）-1uF、uFi+HB、Jxi+supu∈[0，\'u]huJz+qLi+γF（Jx）+tr（σ）*∑Jxx）=0，（3.17），b如（3.7）所示，终端条件J（T，x，z；q）=logγγ+qΦ（p（T，x，z）。为了将这个偏微分方程简化为[17，等式（1.1）]，我们采用时间反转变换bj（t，x，z；q）：=J（t- t、 x，z；q） ，将PDE（3.17）转换为以下内容-bJt+2γh（σ）*FσF）-1uF、uFi+HB、bJxi+supu∈[0，\'u]hubJz+qLi+γF（bJx）+trΣ*∑bJxx= 初始条件为bj（0，x，z；q）=对数γγ+qΦ（p（T，x），z）。（3.19）请注意，这个柯西问题是[17]中研究的一个特殊情况，因为我们的假设2.1、2.5和3.2暗示了[17]中的假设（A1）、（A2）、（A3）。特别是假设。2（iv）表示B具有相同的属性-1，在【17】中给出（A1）（iii）。实际上，在B的图像上，B1/2A是它的逆B-1/2定义良好。自从B-1/2:Im（B）→ Im（B），我们有，例如，（3.14）中的LHS意味着δ-1 | B-1/2年|≤ 血红蛋白-1/2岁，BB-1/2易如反掌∈ Im（B），领导hy，B-1yi≤ δ| y |对于所有y∈ Im（B）。另一个不等式也是以类似的方式得到的。（二）独特性。我们自相矛盾地前进。假设在终端条件（3.19）下，柯西问题（3.18）存在另一个二次增长的连续粘性解。然后，打电话给J*和J*他们的u.s.c.信封和J*和J*根据粘度溶液的定义，他们的l.s.c.封套*,~J*是u.s.c.粘度亚溶液和J*,~J*你是l.s.c。

方程（3.18）的粘度上解，显然是J*≤~J*. 我们也有*（T，x，z；q）≤对数γ+qΦ（p（T，x），z）≤ J*（T，x，z；q），通过定义上下信封。我们现在想证明这一点*（T，x，z；q）≤对数γ+qΦ（p（T，x），z）≤ J*（T，x，z；q），（3.20）表示所有的q≥ 0，x∈ Rm，z∈ [0，\'uT]。为了证明不等式（3.20），必须应用定理4。[39]中的3.2和后续备注4.3.5。此外，还证明了J（t，x，z；q）在（x，z）中有二次增长，在t中一致，对于所有q≥ 0（参考附录中的引理B.1）。然后，通过比较定理[17，定理2.1]，我们得到了j*≤ J*≤~J*≤~J*≤ J*在[0，T]×Rm×R上，这意味着J*= J*= J=~J，并且J是连续的。因此，证明是完整的。作为定理3.3中结果的一个结果，我们有一个很好的最优套期保值策略的候选者，由^hq:=^πq给出- ^π= -(σ*FσF）-1σ*F∑vx，（3.21），其中vx是关于UIP的因子变量的梯度（如果存在）。事实上，给出了组合中有或没有结构化产品的候选最优策略，即在我们的例子中，[39]中定理4.3.2中出现的函数G可以选择为任意正数。通过方程（3.5），其中J=J（t，x，z；q），在这两种情况下q>0或q=0。因此，最优套期保值策略^hqis由^πq给出- π=π（t，x，z；q）- π（t，x，z；0）=-(σ*FσF）-1σ*F∑（Jx（t，x，z；q）- Jx（t，x，z；0））=-((σ*FσF）-1σ*F∑vx）（t，x，z；q），与[4，5]类似。关于结构化合同的最优执行策略^u，通过求解最大化问题maxu给出了反馈形式的条件∈[0，\'u][uvz（t，x，z；q）+qL（p，z，u）]。对于一个显式公式，考虑L（p，z，u）=u`（p，z）和`有界的情况。