中国结构性合约的效用无差异定价与套期保值

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英文标题：
《Utility indifference pricing and hedging for structured contracts in
  energy markets》
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作者：
Giorgia Callegaro, Luciano Campi, Valeria Giusto, Tiziano Vargiolu
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper we study the pricing and hedging of structured products in energy markets, such as swing and virtual gas storage, using the exponential utility indifference pricing approach in a general incomplete multivariate market model driven by finitely many stochastic factors. The buyer of such contracts is allowed to trade in the forward market in order to hedge the risk of his position. We fully characterize the buyer\'s utility indifference price of a given product in terms of continuous viscosity solutions of suitable nonlinear PDEs. This gives a way to identify reasonable candidates for the optimal exercise strategy for the structured product as well as for the corresponding hedging strategy. Moreover, in a model with two correlated assets, one traded and one nontraded, we obtain a representation of the price as the value function of an auxiliary simpler optimization problem under a risk neutral probability, that can be viewed as a perturbation of the minimal entropy martingale measure. Finally, numerical results are provided.
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中文摘要：
本文在一个由有限多个随机因素驱动的一般不完全多元市场模型中，利用指数效用无差异定价方法，研究了能源市场中结构性产品的定价和套期保值问题，如摆动和虚拟储气。此类合同的买方可以在远期市场进行交易，以对冲其头寸的风险。我们用合适的非线性偏微分方程的连续粘性解充分刻画了给定产品的买方效用无差异价格。这为结构化产品的最佳行使策略以及相应的套期保值策略提供了一种确定合理候选人的方法。此外，在一个包含两个相关资产（一个交易资产和一个未交易资产）的模型中，我们得到了一个价格表示，作为风险中性概率下辅助的简单优化问题的值函数，可以将其视为最小熵鞅测度的扰动。最后给出了数值结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Utility_indifference_pricing_and_hedging_for_structured_contracts_in_energy_markets.pdf (1.88 MB)

2022-5-6 12:31:24 上传

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关键词：套期保值 差异定价 结构性 中国结 Indifference

能源市场结构性合同的效用差异定价和套期保值*Giorgia Callegaro+Luciano CampiValeria Giusto§Tiziano Vargiolu+2016年2月20日摘要本文在一个由众多随机因素驱动的一般不完全多元市场模型中，使用指数效用差异定价方法，研究了能源市场中结构性产品的定价和对冲，如摆动和虚拟天然气存储。此类合同的买方被允许在远期市场进行交易，以对冲其头寸的风险。我们根据合适的非线性偏微分方程的连续粘度解，充分描述了给定产品的买方效用差异价格。这提供了一种方法，为结构化产品的最佳行使策略以及相应的套期保值策略确定合理的候选者。此外，在一个包含两个相关资产（一个交易资产和一个未交易资产）的模型中，我们得到了一个价格表示，作为风险中性概率下辅助的简单优化问题的值函数，可以将其视为最小熵鞅测度的扰动。最后给出了数值结果。关键词：摇摆契约，虚拟存储契约，效用差异定价，HJB方程，粘性解，最小熵鞅测度。1简介在过去的五年里，自欧洲和美国开始能源市场放松管制和私有化以来，能源市场的研究从实践和理论角度都成为一个具有挑战性的课题。尤其重要的是能源合同的定价和对冲问题。

由于模型的特殊性，而且由于这些合同通常具有非常复杂的结构、合并可选性特征，买方可以多次行使这些特征，因此这一点远非微不足道。能源市场中用于初级供应的两个主要产品是摇摆合同和远期合同。虽然远期合约的结构相当简单，但摇摆合约是*这项工作得到了帕多瓦大学CPDA138873-2013“具有空间结构的随机模型和数学金融新挑战的应用，重点关注2008年后的金融危机环境和能源市场”基金的部分支持。这项工作的一部分是在第四作者于2013年11月访问伦敦政治学院时完成的，第二作者于2014年6月和2015年7月访问帕多瓦大学的科学家时完成的：感谢这两个机构的财务贡献。此外，作者希望感谢Ren\'e Aid、Enrico Edoli、Paola Mannucci和2014年巴黎ISEFI会议的与会者提出的宝贵意见。+帕多瓦大学数学系，经的里雅斯特6335121帕多瓦，意大利通讯作者。地址：英国伦敦大学霍厄特街10号，伦敦经济学院。电邮：L。Campi@lse.ac.uk§Phinergy S.r.l.S.，途经意大利帕多瓦的德拉·克罗斯·罗萨11235129号。更重要的是，它们给了买方一定程度的自由，可以在每个子周期内购买能源的数量，通常是每日或每月规模，在合同期内受到累积约束。

这种灵活性深受合同买家的欢迎，因为能源市场受到许多意外事件的影响，例如与突然的天气变化、发电厂故障、金融动荡等相关的消费峰值。许多其他类型的合同都是在能源市场上交易的，它们通常是通过谈判达成的，其中一些合同，例如虚拟存储合同，也包括与swing合同类似的期权成分。这些产品的定价在离散时间模型中有一个统一的传统（参见[20]或[27]以及其中的参考文献），它主要基于动态规划。这两篇论文[36]和[37]提出了一种基于最优量化理论的不同方法。在连续时间模型中，第一种方法基于最佳切换技术（如[13]）或多次停止（如[14]）。在所有这些条款中，结构化产品的可选性特征可以在一组离散的停止时间内执行，买方可以选择这些时间。一种不同的方法是将合同支付与其连续时间对应物近似。[11]和[16,22,45]分别针对swingcontracts和虚拟存储合同提出了这一想法（并在[3]中进一步加以利用）。结构化合同的其他例子也可以用同样的方法处理，参见Benth和Eriksson[8]中的灵活装载合同和收费协议。这种方法的主要优点是，它使定价问题更容易处理，因为它允许在基于PDE方法的连续时间内使用随机控制理论。在这些论文中，与美式期权类似，结构性合同的价格被定义为买方所有可用策略的预期收益的最高值，即在给定的风险中性度量下进行预期。

当结构性合同的基础模型是马尔可夫模型时，正如在实践中使用的大多数模型中所出现的那样，定价问题归结为求解相应的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。请注意，风险中性指标的选择并不明显，因为能源市场模型通常是不完整的，因为存在承担非交易风险的资产。此外，除了[46]专注于天然气储存合同并使用增量套期保值方法外，这些文件并未考虑这些结构性产品多头仓位带来的风险增加问题。在能源市场上，对冲此类合同可能是一项相当棘手的任务，因为合同的标的物通常不可交易，因此买方必须交易与标的物具有良好相关性的其他资产。对于现有文献的广泛回顾，以及交易量最大的合同的描述，以及主要文章之间的详细比较，我们参考最近的一本书[1]。我们对文献的贡献在于建立在[3,11]中不断逼近收益的思想上，以便提供一个总体框架，在这个框架中，结构化合同的定价和套期保值问题都可以以一致的方式解决。本文的主要创新之处在于，允许给定结构化合同的买方（至少部分地）通过交易远期合同来对冲其头寸，远期合同写在结构化合同本身的基础上，或写在与基础相关的某些资产上。我们将远期市场建模为一个一般的不完全多元市场模型，其中包含大量远期合约（到期日不同），随着时间的推移，其系数取决于一定数量的马尔可夫动态外生随机因素。

结构化合同的基础定义为这些因素的函数。这种设置包括许多以前在文献中提出和研究过的模型，例如[2,12,15,44]和一些。由于市场不完全，我们采用效用差异价格（UIP）方法，这是不完全市场中最具吸引力的定价方式之一，因为它自然将买方偏好纳入合同价格中。我们假设买方的报价可以被编码成一个风险规避参数γ>0的指数效用函数。UIP方法已广泛用于在各种金融市场模型中为欧洲和美国期权定价。我们参考[29]了解关于这种方法的卓越观察。这种方法已经在菲奥伦扎尼[23]中用于能源衍生品，但据我们所知，从未用于结构化产品的评估。我们用这种方法来计算一个相当普遍的结构化导数。其buyingUIP将被描述为试剂的两个对数值函数（有和没有合同）之间的差异，可以作为可测量HJB方程的唯一粘度解获得。在完整市场模型的情况下，我们的结果与[3,11,16,22,45]中的结果一致。此外，HJB方程的形状为结构性产品的最优退出策略以及相关对冲策略提供了合理的候选方案。最后，我们在两个具体例子中进一步推广了我们的一般结果。其中一个是一组模型，其中有两种风险资产，一种是交易资产，一种是非交易资产，并且具有恒定的相关性。这包括具有非交易资产和基差风险的模型，许多作者已经对其进行了研究（例如，仅引用文献[18,28,34]）。

对于这些模型，我们得到了在风险中性概率下，价格作为一个辅助的简单优化问题的值函数的表示，它可以被视为最小熵鞅测度的扰动。这种扰动是由于交易资产的漂移和波动性依赖于非交易资产，并且依赖于没有合约的价值函数。对于不完整的市场文献来说，这种衡量标准的变化似乎是新的。第二个例子基于[15]中针对能源市场开发的双因素模型的一个轻微推广，其中的因素可以相互关联。论文的结构如下。在第2节中，我们通过介绍结构化合同的一般支付、市场模型和（指数）效用差异价格来阐述定价问题。在第3节中，我们用合适的HJB方程的粘性解来描述UIP。在第4节中，我们考虑了上述两个例子，而第5节给出了我们结果的一些数值应用。最后，第6节得出结论。符号在下文中，除非明确说明，否则向量将是列向量，符号“*”将表示转置，方矩阵a的轨迹将由tr（a）表示。此外，ha，bi:=a*b代表欧几里德标量积。我们选择作为矩阵范数| A |=ptr（AA）*). 在所有n阶对称平方矩阵的集合sno上，我们定义了A阶≤ B当且仅当B- A.∈ S+n，非负有限矩阵inSn的子空间。我们将在n.2维的单位矩阵中表示问题的形式，T>0是有限时间范围。下面介绍的所有过程将在标准概率空间中定义(Ohm, F、 P）在哪里Ohm := C（[0，T]；Rd）是从[0，T]到Rd的所有连续函数的空间。

对于ω∈ Ohm, 我们设置Wt（ω）=ω（t）和定义（Ft）t∈[0，T]作为最小的右侧连续过滤，因此W是可选的。此外，F:=FT。我们让P bethe Wiener测量(Ohm, （英国《金融时报》）。我们可以在不丧失普遍性的情况下假设这样的过滤是完整的。2.1结构化产品在本节中，我们简要介绍了在能源市场上交易的主要结构化产品。典型的支付由一系列随机变量SCUT给出：=ZTL（Ps，Zus，us）ds+Φ（PT，ZuT），（2.1）由一个控制u索引，它通常代表购买商品的边际数量，它属于一组合适的可接受控制u，我们将在后面指定。特别是，对于给定的reshold\'u>0，可容许控件在某个有界区间[0，\'u]内取值。上述等式（2.1）中的变量P表示商品（如天然气）的现货价格，Zut:=z+RTUSD，适用于所有t∈ [0，T]，对于某些初始值z≥ 0.出于技术原因，我们需要对结构化产品进行以下假设，这将在我们的结果证明中变得清晰。假设2.1。函数L:R×[0，\'uT]×[0，\'u]→ R和Φ：R×[0，\'uT]→ （2.1）中的R是连续且有界的。能源市场中最常见的结构化产品是swing和virtual storagecontracts。更多细节见下文。另请参见随后的备注2.4，说明如何安全地修改这些合同，以满足假设2.1。例2.2（摇摆合同）。对于摇摆合同，一个有（例如，参见[3,11]）L（p，z，u）=u（p- K） ，其中K是购买价格或履约价格，u是任何可接受的控制。这些产品通常包括一些附加功能，如u或累积控制的跨时间约束，或支付中出现的一些惩罚函数。

更准确地说，对u和ZuT的约束通常是ZuT的形式∈ [m，m]，带0≤ m<m，在Zuti上可能有更多的中间约束，ti<T，i=1，k、 在没有此类额外约束的情况下，通常会出现罚金，罚金可以表示为终端现货价格pT和累计消费ZuT的函数Φ。Φ的典型形式是Φ（p，z）=-C（m）- z） ++（z）-M）+（2.2）对于常数C>0和0≤ m<m（见[3,11]及其参考文献）。我们将重点讨论后一种情况，即一个非零惩罚函数Φ（PT，ZuT），在允许的控制上没有任何其他限制。示例2.3（虚拟存储合同）。这些产品复制了实际的天然气储存位置，同时作为纯交易合同处理。在这种情况下，一个hasL（p，z，u）=p（u- a（z，u）），Φ（p，z）=-C（M）- z） ，C，M>0合适的常数，a（z，u）：=\'a1u<0，其中控制u为UT∈ [uin（Zut），uout（Zut）]，t∈ [0，T]，其中uin，u是流体物理给出的合适的确定性函数：它们的典型形状是uin（z）：=-Krz+Zb+K，uout（z）：=K√Zb，Ki>0，i=1,2,3，给定常数[16,22,45]。备注2.4。假设2.1中L的有界性在两个示例2中未得到验证。2和2.3，其中L在p中是线性的，原则上可以取任何实数。在实践中，我们可以通过引入L（p，z，u）：=max来对L进行艺术约束(-κ、 min（L（p，z，u），κ），所以|L（p，z，u）|≤ κ表示所有（p，z，u），适用于适当选择且足够大的阈值κ>0，以使瞬时概率不应大于绝对值κ。

同样的截断参数也可以应用于惩罚函数Φ（p，z）。或者，我们可以截断支付L和Φ中出现的无界变量p。2.2市场模型作为结构性产品基础的商品现货价格p被建模为Pt:=p（t，Xt），其中p:[0，t]×Rm→ R是一个可测量的函数，X代表驱动市场的因素。我们假设过程X具有马尔可夫动力学Xt=b（t，Xt）dt+dt∑*（t，Xt）dWt，X=X∈ Rm，（2.3）带漂移b:[0，T]×Rm→ Rmand波动率矩阵∑：[0，T]×Rm→ 我们还假设n≤ d商品P的远期合约在市场上交易，到期日为T<…<Tn，带T≥ T让Fito表示到期日为Ti，i=1，n、 我们假设F:=（F，…，Fn）的动力学由dft=diag（Ft）（uF（t，Xt）dt+σ给出*F（t，Xt）dWt，F=F∈ Rn，（2.4）对于某些函数uF:[0，T]×Rm→ RnandσF:[0，T]×Rm→ Rd×n.关于X和F系数的假设如下。在整篇论文中，我们总是假设利率为零。请注意，远期合约不一定写在spotprice为P的商品上，因为它们也可以写在一些相关商品上。例如，P可以是汽油的现货价格，而F写在石油上，如[12,23]所示。这也可能是由于流动性不足或与商品相关的远期合约不存在：有关这一现象的详细讨论，请参见[12，第2.3节]。我们将始终在以下关于模型系数的长期假设下工作：假设2.5。