意见动态与价格形成：一个非线性网络模型

定价方程基于基于特定规则形成的意见（第2节），因此在这类模型中引入了非线性网络意见动力学方法。在我们的模型中，代理人沿着三个相互交织的维度进行互动：i）基于代理人相互信任程度的网络，ii）通过价格进行更经典的互动，以及iii）比较他们的观点。应该明确一个重要的警告。在我们提出的模型中，我们对系统是否以及如何达成一致意见并不十分感兴趣，因为我们模型中的意见在时间上可能会发生重大变化，尽管这肯定是一个有趣的案例，并将在回归基本金融价值的情况下进行探讨。我们感兴趣的是，根据代理人在非线性意见/价格/网络过程中的角色，以及他们在网络中的拓扑角色，找到一种描述代理人的方法。该模型还捕捉了拓扑结构的变化与观点的重大转变相结合的情况。这一点在越来越多地采用高频交易的情况下尤为重要。在下面的激励示例中，我们将进一步探讨这一方面，我们将与前面提到的托马斯定理进行比较。一个令人振奋的例子2013年4月23日下午1点07分，美国股市在几分钟内暴跌了约1%，之后很快又在几乎相同的时间内恢复。图1显示了在这几分钟内DJ 30工业指数一分钟日内时间序列的快照（见时间序列快照末尾时指数可视性的突然和急剧下降）。在那几分钟里发生了什么？下午1:07，美联社在推特上发布消息称，据报道，美国总统在白宫的一次爆炸中受伤（见图2）。

这条推文是假的，可能是因为一名黑客临时访问了美联社的账户。这条推文立即被转发了多次（不到一分钟内转发了4000条，接下来几分钟甚至更多）。这场两分钟的风暴，或“火山灰崩塌”——导致了~ 股价下跌1%，损失1300亿美元——这不能用一条推文来解释：必须考虑间接（网络）影响，这可能也是由于——正如一些观察人士所指出的那样——高频自动交易策略的应用增加。图1:4月23日DJ 30工业崩盘——盘中1分钟。图2：美联社推特报道白宫发生爆炸。我们认为，除此之外，美联社作为一个独立可靠的机构的权威（加上认证一个经过验证的Twitter账户的“复选标记”），导致投资者（独立于他们的策略）立即信任此类推文的后果，而不必验证其真实性。推特是否有意破坏股市稳定是一个公开的问题。毫无疑问，这表明金融体系在本质上是脆弱的，无论潜在事实的真实性如何。金融市场对此类威胁的脆弱性对监管机构来说也是一个开放的领域，因为它让观察者“更多地猜测他们在社交媒体时代对突发新闻的脆弱性”。我们现在已经走了一个完整的循环。再次提到托马斯定理，结果是真实的，尽管实际的“情况”并非如此。2观点和价格：一个网络模型考虑一组i=1，n个代理人，一项风险资产和一项无风险资产（含利率r）。价格动态用（p（t））t表示∈N.假设zi（t）是代理人i在t时购买的风险资产的数量（股份数量）。

最后，让（y（t））t∈Nbe分割数据t（在本章中假设为i.i.d.）。每个主体的财富动态过程可以用以下等式（以向量形式表示）：w（t+1）=（1+r）w（t）+（p（t+1）+y（t+1）- （1+r）p（t））z（t）（1）为了捕捉意见动态，我们将用以下期望值来表示代理i对价格和股息创新的意见：xi（t）=Ei（p（t））+Ei（y（t））=Ei（p（t）+y（t））时间t的意见取决于时间t可用的信息集- 1.对于分配的第一时刻，意见是异质的。这个假设可以扩展到更高的分布矩，但这里将不探讨这种情况。根据Hommesand Wagner（2005年，综述论文）和Chiarella等人的观点，所有代理人对财富变化的看法都是恒定且平等的。。(2007). 代理人i对其财富的看法（或在原文中的信念）可以描述为：Ei（wi（t+1））=（1+r）wi（t）+xi（t+1）zi（t）- （1+r）p（t）zi（t）Vi（wi（t+1））=σ我∈ 五、T∈ NAgents通过以下效用函数优化其财富均值/方差：美联社推特黑客攻击导致华尔街恐慌，并导致道琼斯指数暴跌，《卫报》，2013年4月23日。在线版本可从以下网址获得：http://www.theguardian.com/business/2013/apr/23/ap-tweet-hack-wall-street-freefallMany学者们指出，自我充实的预言，即使自己真实的陈述或预测，代表着社会系统理论中的一个难题。R.默顿的《社会理论与社会结构》（1968）对这一迷人的概念进行了广泛的哲学和历史描述。ui（w（t））=-E-aiW（t），其中Ai是恒定绝对风险规避（CARA）系数。

这种方法与我们参考的文献（Hommes&Wagner，Chiarella等人）一致。t的财富最大化问题可以表示为：maxzi（t）Ei（w（t+1），t）-aσ因此导致Zi（t）=aσ（xi（t+1）- （1+r）p（t））（2）作为时间t时代理人i对风险资产的最佳需求。因此，代理人i在时间t时的最佳需求（股票数量）与对风险资产价格和股息的看法之间的差异成正比，与时间t时的资本化价格成反比，与绝对风险规避系数a和方差成反比。我们假设每个代理的外部供应有限，用zs表示（NZS显然是总体外部供应）。我们有一个方便的方法通过以下均衡获得风险资产的均衡价格：nNXi=1aσ（xi（t+1）- （1+r）p（t））=zs（3），最终得出以下定价方程：（1+r）p（t）=nNXi=1xi（t+1）|{z}平均意见- aσzs |{z}风险溢价（4）如前所述，我们将假设红利序列（y（t））t=1,2。。。是i.i.d.，方差σ，将是模型中唯一的随机性来源。如果σ=0，则价格是确定的，仅由贴现平均意见给出。2.1引入网络互动我们现在描述风险资产的意见动态x（t）和价格动态p（t）。Hommes和Wagner（2005年）以及Gaunersdorfer和Hommes（2007年）更详细地假设了基于能力函数的交易策略的成功。我们在这项工作中的贡献在于采用了一种明确的互动策略，即代理根据特定规则向他人学习。代理之间的交互，由信任网络捕获，其拓扑结构在我们的模型中至关重要。代理被建模为网络中的顶点。

该网络具有时间依赖性，并根据特定的更新规则演化，这些规则捕捉金融系统中的不同情况。更新规则修改代理之间的底层交互网络拓扑。代理是有界理性的，DeGroot的方法特别适合我们的情况，因为“以有界理性的方式整合间接信息”（cit.Golub和Jackson[33]）。因此，我们将假设一种两两相互作用，其动力学与DeGroot（1974）的一致性问题中描述的动力学相同。例如，伯杰（Berger，1981）后来解决了这个问题，海格斯曼·克劳斯（Hegselmannand Krause，2005）和洛伦兹（Lorenz，2007）最近开发了一个更为普遍的观点动力学框架。本文的方法部分对这些模型进行了详细而严格的讨论，以及数学背景，这些背景将有助于在本部分的其余部分开发我们的模型。在以下段落中，我们将简要介绍主要方面和结论。正如导言中提到的，DeGroot的基本问题是开发一个模型，在一组代理人中找到共识（即共同的意见），他们通过平均（或“汇集”）其他代理人的意见来修改自己的意见。特别是，对于每对代理人（i，j），代理人i分配权重aij∈ [0,1]根据代理人j的意见，“以适应集团其他成员的信息和专业知识、意见和判断”。在这个问题的原始陈述中，假设线性组合是凸的（即Pj=1aij=1，且不随时间变化。因此，该模型借鉴了马尔可夫链理论的一些分析结果，以找到收敛到共识的条件。

后来，更普遍的方法是Hegselmann和Krause（2005）的方法，他们引入了有界信任意见动力学方案：权重结构与时间有关。我们模型的一个关键方面是将代理拓扑分类为基本类和非基本类。直观地说，代理集可以被划分为强连接组件（SCC）的子集。同一个SCC中的代理进行通信，因为始终可以找到任何一对代理之间的路径。换句话说，在SCC中，代理人在同一SCC中的任何其他代理人中具有直接或间接的正置信权重。当没有属于特定SCC的代理对属于另一个SCC的代理给予正信任权重时，则第一个SCC对应于一个基本类别。反之亦然，当属于特定SCC的一个或多个代理对属于另一个SCC的代理施加正权重时，则该类被认为是不重要的。方法一节提供了这个概念的严格表述。正如Berger（1981）所指出的，基本类和非基本类之间的关系将决定是否达成共同或分散的意见，以及如何达成。其他非本质代理人会考虑本质类代理人的意见，但反之亦然。然后，主导意见和价格将由主要代理人意见的线性组合决定。笼统地说，本质代理人是意见领袖，而非本质代理人是意见追随者。然而，根据更新规则，我们的设置允许必要和非必要的代理类可以随时间变化。换句话说，一个代理可以随时改变她的角色。

由于我们是通过模拟来研究模型的，因此我们需要一种算法来对重要和非重要的代理进行分类，并在每个t处找到它们所属的类别。意见修正过程由以下等式捕获：x（t）=A（t）x（t- 1） （5）再加上等式4，将给出每个t的价格。我们在该模型中假设的过程涉及到每个t的信任网络的变化，即之前的信任矩阵和更新矩阵的凸线性组合xc（t）：aij（t）=αicij（t）+（1）- αi）aij（t- 1） （6）α在哪里∈ [0，1]是一个更新倾向参数。这个参数在我们的模型中很关键，因为正如模拟中所示，系统的行为在很大程度上取决于它。C（t）的元素cij（t）代表i对j的密度权重的更新（修订），并根据以下规则确定：cij（t）：=（#i（i，x（t）-1） ，p（t）-1） ）如果j∈ I（I，x（t）- 1） ，p（t）- 1） ）0否则，根据这条规则，证明C（t）是行随机的是很容易的因此，A（t）也是行随机的t、 由于观点、价格和信任网络之间的相互作用，该模型是非线性的。在共识/意见动态的背景下，Hegselmann和Krause（2005）也将这种模型称为非线性模型，并指出“如果权重取决于意见本身，则最困难的模型类型会出现，因为这样模型就会从线性变为非线性”。与标准方法不同，我们不关注特定的交易者类型。相反，代理是根据它们在拓扑结构中所扮演的角色进行分类的，因此允许沿着一系列可能的策略以及不断演化的交互拓扑捕获它们的beahviour。

集合I（I，x（t）的选择- 1） ，p（t）- 1） ）对于每个代理，我将介绍不同类型的模型，现在将详细介绍。2.1.1有界置信模型在第一种情况下，我们将采用与Hegselmann和Krause（2005）中的方法类似的方法，并在方法部分的等式13中报告。作者将其称为有界信心，因为在确定代理人对谁施加信心权重时，存在一个阈值。我们还将该模型称为有界信心（BC）。自适应更新矩阵C（t）为：I（I，x（t- 1） ，p（t）- 1） ）={j s.t.|xi（t）- 1) - xj（t）- 1)| ≤ i} （7）在这种情况下，为了理解价格动态，不需要看基本面。价格将仅由意见驱动，意见将根据有界信心非线性模型汇集。模型中的非线性将导致观点极化和分裂，因此等式4中的平均值可以根据这种极化水平显著增加或减少。重要的是要注意{i}包含在setI（i，x（t）中- 1） ，p（t）- 1） ）通过建设。2.1.2价格适应性策略此设置的理念是，在下一个时间步，其他代理将遵循其意见最接近t（价格适应性，PA）时的实际价格的代理。从“适应性”的角度来看，这些代理人因此能够理解对价格和股息创新影响的观点的重要影响。在这种自适应设置中，代理修改了等式6中的置信矩阵，但setI（i，x（t- 1） ，p（t）- 1） ）现在由I（I，x（t）给出- 1） ，p（t）- 1） ）={i}∪j s.t。p（t）- 1) - xi（t）- 1） p（t）- 1)≤ 我（8） 换句话说，在这种情况下，cij（t）代表了一种适应性策略，其中代理倾向于跟随更多对实际实现价格有密切意见的代理。

如果它是一个非零常数我∈ V，那么C（t）是每个t的秩一矩阵。由于价格是由动力和外生分割创新共同驱动的，因此该模型反映了一种情况，即代理商希望追随过去被证明成功的其他代理商。我们在集合8的集合i中插入集合{i}的原因是，我们希望有一个非空集合，并且允许矩阵A（t）有一个正对角线（同样在α=1的情况下）。2.1.3基本基准资产价格回归基本价值在金融文献中是一个长期争论的问题。当所有代理对价格有相同的长期预期（意见），即xi（t）=c，我∈ V，我们可以假设x（t）类似于共识极限向量，其中所有元素都属于相同的基本类。定价方程4可以改写为：（1+r）p（t）=c- aσz我们还可以通过所有预期未来股息的贴现总和确定基本价格：p*（t）=∞Xk=1E（yt+k，t）- aσz（1+r）k（9），它可以用一种类似于永久性的方式与利息r进行设置。一个有趣的方面是，在特定的时间t，如果信心矩阵是固定的，人们可以假设有g个不同的渐近观点，每个观点都可以与一个基本的参考类别相关联，包括Lo和Mackinlay（1988），他们开发了一种规格测试，声称“价格不会跟随随机游走”；法玛和法兰西（1988）；以及Poterba和Summers（1988年），他们明确关注资产价格的均值回归，Stefani等人（2010年）在商品交易中解决了这一问题。方法部分描述的类型。

当（y（t））t=1,2，。。。，然后E[yt]=y，基本价格在t:p上是常数*=∞Xk=1英寸- aσzs（1+r）k=\'y- σzsrWe将通过模拟表明，在基于基本面（FB）的模型中，基本类的意见转移将导致价格的显著变化。在这种情况下，我们假设集合I的确定如下：I（I，x（t- 1） ，p（t）- 1） ）={i}∪j s.t。P*- xi（t）- 1） p*≤ 我这意味着所有代理人都会将偏离基本面视为暂时性的，并且倾向于信任其意见没有明显偏离基本面的代理人。在行为学术语中，代理人希望从其他代理人那里“确认”原教旨主义者是正确的长期基准。然而，小的和暂时的偏差被认为是合理的，代理人仍然会试图通过利用它们来最大化他们的短期财富（短视的最大化）。当基本价格在时间t达到“总”时，有一种一般情况，即价格的平均意见等于基本价格（nPni=1xi（t）=p）*（t） ）。作为一种特殊情况，显然，在t时，所有代理人的意见都等于基本时间t。第一种更一般的情况可能发生在许多情况下。例如，即使在意见存在高度可变性的情况下，如果平均意见与之一致，系统仍然可以达到基本价格。2.2策略的组合我们提出的模型的灵活性允许每个阶段有不同的策略（BC、PA、FB）；不同的交易者类型（如原教旨主义者、图表主义者、反对者等）可以在此框架内建模。