可存储商品的最优动态采购策略

c（·）与c（0）=0的凸性意味着c（y）≤ yc′（y）表示任何y≥ 0，因此∞E-rtc（ye）-εt）dt≤ yZ∞E-（r+ε）tc′（ye-εt）dt<∞, （2.8）其中（2.8）中最后一项的完整性是由于（2.7）。满足假设2.4的成本函数的自然例子是c（x）=βx或c（x）=βx，对于β，β>0.4。在适当的进一步条件下，One还可以允许现货市场的比例交易成本，即每购买一单位商品的成本K>0。该公司的目标是选择采购政策，以最大限度地提高预期总折扣回报率（2.6）。对于问题的适定性，需要一些可积条件。事实上，我们定义了可接受的采购策略集：=nν∈ A:嗯∞E-βtPtνtdti<∞o（2.9），β：=r+ε+λ。（2.10）现在根据ν（参见（2.4）和（2.3）），我们可以重写（2.6）asJ（y，ν）=eJ（y，ν）=EE-rΘPΘG（e）-εΘ（y+νΘ），D）-Z[0，Θ）e-（r+ε）tPtdνt-ZΘe-rtc（e）-εt（dt+νy）, （2.11）通过计算D，Θ和P的独立性（参见假设2.3），我们得到了ej（y，ν）=EZ∞λe-（r+λ）tPtZ∞G（e）-εt（y+νt），z）fD（z）dzdt-Z[0，∞)E-（r+λ+ε）tPtdνt-Z∞E-（r+λ）tc（e）-εt（y+νt））dt. （2.12）因此，企业的优化问题是v（y）=supν∈SeJ（y，ν），y≥ 0.（2.13）从数学角度来看，问题（2.13）属于mon-otone-follower类型的奇异随机控制问题（参见一些经典参考文献的介绍），这允许控制可能是奇异的（作为时间的函数），特别是勒贝格测度。如果性能标准是凹（或凸）的，则众所周知，最优控制策略包括将状态过程保持在或高于某个阈值。在mathematicalterms中，最优控制是移动边界上斯科罗霍德反射问题的解决方案（见El Karoui&Karatzas，1991；Karatzas，1981；Karatzas，1983；Karatzas&Shreve，1984）。

问题（2.13）可以用一个新的函数来描述，这个函数很容易检查凹度。这是在下一节中完成的（见下文第3.9条）。3一个等效的集中优化问题由于“收入乘数”G有一个奇点（即一个不可微分的点），我们倾向于切换到一个更规则的函数。事实上，我们借用了郭等人（2011）的一些观点和论点，重写了（2.12）中的函数。定义随机字段Γ：Ohm ×R+×R+→ RΓ（ω，t，y）：=e-（r+λ）thλPt（ω）H（e）-εty）- c（e）-εty）i，（3.1）与函数H:R+→ 由h（y）给出的R:=αsy- （αp- αs）Z∞yzfD（z）dz+（α+αp- αs）y（1）- FD（y））+αZyzfD（z）dz，（3.2）或等效的yh（y）=αsy+αE[D]- （α+αp）- αs）Z∞y（z）- y） fD（z）dz。（3.3）以下引理表明，在y.引理3.1中，Γ是连续可微且凹的。以下性质保持不变：（i）H是连续可微分的，严格递增的，并且在R+中与H（y）呈凹形≤ αsy+αE[D]，H（y）≥ -（αp- αs）E[D]；（3.4）（ii）y 7→ Γ（ω，t，y）对于任何（ω，t）都是连续可微且凹的∈ Ohm ×R+；（iii）（ω，t）7→ Γ（ω，t，y）对于任何y都是{Ft}可逐步测量的≥ 0.证明。从（3.2）中可以看出h′（y）=αs+（α+αp）- αs）（1- FD（y）），（3.5），这表明y7→ H（y）随着α+αp的增加而不断变化和增加-αs≥0.MoreoverH′（y）=-（α+αp）- αs）fD（y），（3.6），这意味着H（·）的凹度。（3.4）中的第一项来自（3.3）回顾α+αp-αs≥ 0;而第二个原因是H（·）在增加，H（0）=-（αp-αs）E[D]。至于ii）显然是y 7→ Γ（ω，t，y）对于任何（ω，t）都是连续可微且凹的∈ Ohm因为H（·）和-c（·）（参见假设2.4）。

最后，为了说明iii）必须注意（ω，t）7的渐进可测性→ Γ（ω，t，y），对于任何y≥ 0，由P是{Ft}的f行为所影响——逐渐可测量的是{Ft}——与正确的连续路径相适应（参见定义2.1）。正如郭等人（2011）定理4所述，我们根据一个新的优化问题的值函数和需求E的期望值[D]，得到了最优总预期贴现收益V（y）的分解。为了得到这样的分解，我们需要以下假设3.2。r+λ- δ > 0.请注意，假设3.2相当于要求E[E-rΘPΘ∞, i、 e.单位商品在需求时的预期价格是确定的。提议3.3。在假设3.2下，最优总预期收益i sV（y）=W（y）-λαsr+λ- δE[D]，（3.7），其中w（y）：=supν∈S^J（y，ν）（3.8）和^J（y，ν）：=EZ∞Γ（t，y+νt）dt-Z[0，∞)E-βtPtdνt. （3.9）证据。从那时起Z∞λe-（r+λ）tPtZ∞G（e）-εt（y+νt），z）fD（z）dzdt= EZ∞E-（r+λ）tλPtH（e）-εt（dt+νy）-λαsr+λ- δE[D]根据假设3.2，然后根据（3.1）进行证明。为了证明（3.8）的新值函数W是凹的和适当的，我们需要进一步的假设和一些初步的引理。假设3.4。β - δ - λαs>0。这种假设可能会被改写-rΘe-εαsPΘi=λαsr+ε- δ+λ=λαsβ- δ<1及其经济解释如下。在时间Θ时，在时间0购买的存货的一个超额单位等于e-εΘ（由于变质），且该金额以净价αsPΘ出售（由于处罚），因此其在时间0时的预期贴现价值为-rΘe-εΘαsPΘi我们要求该值小于1，即小于时间0时的单位价格。回想一下β=r+ε+λ（参见（2.10））并注意到β>δ。引理3.5。

在假设3.2下，折扣价格过程e-βt是一个正的{Ft}上鞅，具有右连续样本路径，如limt→∞E-βtPt=0 Q- a、 美国证据。马尔可夫过程X的性质（参见定义2.1）与β>δ一起，意味着e的右连续超鞅性质-βtptTsincee[e]-βtPt | Fs]=e-(β-δ） （t）-s） e-β-sPs，t≥ s≥ 0.（3.10）然后是法头引理，（3.10）和β>δ≤ 限制→∞E-β-tPt]≤ lim inft→∞E[E]-βtPt]=极限→∞E[E]-βtPt]=0。这个加上limt→∞E-β-tPt≥ 0 Q-a.s.（参见Karatzas&Shreve，1988年，第1章，问题3.16）给出限制→∞E-βtPt=0 Q-a.s.从现在起，我们将用τ表示任何{Ft}停止时间，其值为[0，∞] 根据引理3.5，我们将采用以下定义3.6。E-βτPτ：=limt→∞E-在{τ=∞}.引理3.7。假设3.2一个阶段Z∞E-βtPtdt=β - δ（3.11）和，对于任何停止时间τ∈ [0, ∞],EZ∞τe-βtPtdtFτ= E-βτPτβ- δ. （3.12）证据。应用Tonelli定理，并使用P的定义（参见定义（2.1））暗示（3.11）。至于（3.12），请注意，对于任何停止时间τ∈ [0, ∞]EZ∞τe-β-sPsdsFτ= E-βτZ∞E-βtE[Pt+τ| Fτ]dt=e-βτPτZ∞E-βtEhPt+τPτFτidt=e-βτPτZ∞E-βtE[Pt]dt=e-βτPτβ- δ、 其中，第三个等式后面是价格过程的指数形式和马尔可夫过程X的性质（参见定义2.1），而最后一个等式后面是（3.11）。引理3.8。根据假设3.2，对于任何可接受的采购政策∈ 是霍尔兹Z∞E-βtPtνtdt=β - δEZ[0，∞)E-βtPtdνt. （3.13）证据。修正ν∈ S、 然后根据Tonelli定理1 hasZ∞E-βtPtνtdt=Z∞E-β-tPtZ[0，t）dνsdt=Z[0，∞)Z∞东南方-tdtptβdνs.接受一个人获得的期望Z∞E-βtPtνtdt= EZ[0，∞)EZ∞东南方-βtPtdt财政司司长dνs=β - δEZ[0，∞)E-βtPtdνt,其中，第一个等式来自Dellacherie和Meyer（1982），第六章，定理57，而最后一个等式来自（3.12），τ=s。命题3.9。

在假设3.2和3.4下，新的值函数W（·）是凹的且正确的。莫雷沃夫（y）≤λαsyβ- δ+λαr+λ- δE[D]。（3.14）证据。回想一下，通过引理3.1，Γ是凹的。然后，使用控制变量（参见（2.3））中Yy，ν的一个有效性质，对于任何λ∈ （0,1），y，y∈ R+和ν，ν∈ 我们有w（λy+（1- λ） y）≥^J（λy+（1）- λ） y，λν+（1）- λ)ν) ≥ λ^J（y，ν）+（1）- λ） ^J（y，ν）和W（·）的凹度如下。我们现在证明了W是正确的，即| W（y）|<∞ 对任何人来说≥ 0.事实（y）≥^J（y，0）=EZ∞λe-（r+λ）tPtH（ye）-εt）dt-Z∞E-（r+λ）tc（ye）-εt）dt(3.15)≥ -Eλ（αp）- αs）E[D]Z∞E-（r+λ）tPtdt+Z∞E-（r+λ）tc（ye）-εt）dt> -∞,我们首先使用（3.4）中的第二个不等式，然后应用（2.8），假设2。3和假设3.2得到最后一个不等式。另一方面，表示W（y）<∞ 为了你≥ 0，我们定义了一个任意的ν∈ 我们使用（3.4）中的第一个不等式和c为正的事实来获得^J（y，ν）≤ EZ∞λe-（r+λ）tPthαse-εt（y+νt）+αE[D]idt-Z[0，∞)E-βtPtdνt= EZ∞λαse-βtPt（y+νt）dt-Z[0，∞)E-βtPtdνt+λαr+λ- δE[D]（3.16）=λαsyβ- δ- (β - δ - λαs）EZ∞E-βtPtνtdt+λαr+λ- δE[D]，其中最后一步来自引理3.8。然后通过ν传递给上确界∈ （3.16）中的S表示（3.14）自β- δ - λαs>0，假设3.4.4最优采购策略的存在性解的存在性*凹（凸）奇异随机控制问题的解可以通过Koml’os定理的适当版本获得（例如，见Karatzas&Wang，2005；Riedel&Su，2011）。Koml\'os定理（参见Koml\'os，1967）在其经典公式中指出，如果随机变量序列{Zn，n∈ N} 如果期望值从上有界，则存在子序列{Znk，k∈ N} 它在Ces\'aro意义上把a.e.收敛到某个随机变量Z。

因此，如果容许控制的最大化（最小化）序列是Koml’os紧的，那么由于凹性（凸性），Koml’os定理提供的极限证明是一个最优控制策略。由于我们的假设，这些论点也适用于我们的环境。此外，如果c是严格凸的，那么（3.9）中的^J（y，·）对于y是严格凹的≥ 0固定，因此如果存在（3.8）的解决方案，那么它也是唯一的。定理4.1。假设3.2和3.4成立。然后，对于每个固定的y≥ 0，存在最优采购策略ν*对于问题（3.8），即^J（y，ν）*) = W（y）。此外，如果c（·）是严格凸的，那么最优策略是唯一的（直到不可区分）。证据取一个最大化序列{ν（n）}n∈N si、 e.使limn→∞^J（y，ν（n））=W（y）。在不丧失一般性的情况下，我们可以取^J（y，ν（n））≥ W（y）-n、 回忆β- δ：=r+λ+ε- δ>0，并使用类似于（3.16）中的参数来获得，对于任何n∈ N、 W（y）-N≤^J（y，ν（n））≤λαsyβ- δ+λαr+λ- δE[D]- (β - δ - λαs）EZ∞E-βtPtν（n）tdt,因此也是（β- δ - λαs）EZ∞E-βtPtν（n）tdt≤λαsyβ- δ+λαr+λ- δE[D]- W（y）+nandsupn∈氖Z∞E-βtPtν（n）tdt≤β - δ - λαsλαsyβ- δ+λαr+λ- δE[D]- W（y）+1（4.1）由于W的适当性，右手侧是有限的（参见命题3.9）。然后是外稃3。我们得到了∈氖Z[0，∞)E-βtPtdν（n）t≤β - δβ - δ - λαsλαsyβ- δ+λαr+λ- δE[D]- W（y）+1. （4.2）现在我们改变概率。事实上，我们通过设置DEQDQ来定义等效的概率测量值Ft=e-δtPt，t≥ 0，（4.3），我们用byeE[·]表示eq下的期望。然后，根据新的概率测度，（4.2）变得正确∈原姓的Z[0，∞)E-(β-δ） tdν（n）t≤β - δβ - δ - λαsλαsyβ- δ+λαr+λ- δE[D]- W（y）+1. （4.4）然后是非减量、左连续、自适应过程的顺序Z（n）t:=R[0，t）e-(β-δ） sdν（n）ssatis fiessupn∈尼兹（北）∞我∞.

（4.5）映射ν（n）7→ Z（n）是一对一和on，其逆式给出了ν（n）t:=R[0，t）e（β）-δ） sdZ（n）s.通过对可选随机测度的Koml′os定理的修正（见Kabanov，1999年的引理3.5），存在一个子序列{Z（nk）}k∈N {Z（n）}n∈Nand是可选的随机测量值Z*使得Z（nk）在Ces`aro意义上弱收敛于Z*a、 s。；就是limj→∞jjXk=1Z[0，∞)fsdZ（nk）s=Z[0，∞)fsdZ*s、 情商- a、 s.（4.6）对于任意边界函数f:R+7→ R+是连续的dZ*-a、 e.在R+中。然后我们可以设定*t:=R[0，t）e（β）-δ） sdZ*s=R[0，∞)[0，t）（s）e（β）-δ） sdZ*沙重写（4.6）aslimj→∞ξ（j）t=ν*t、 情商- a、 s.（4.7）让vt表示[0，T]上正有限测度的空间∈ (0, ∞], 具有弱收敛的拓扑结构。回想一下，一个可选的随机度量只是一个VT值的随机变量Z，这样过程Zt（ω）：=Z（ω；[0，t]）就可以通过ξ（j）t:=jPjk=1ν（nk）t进行调整。因为每个ξ（j）都是{ν（n）}n子序列的第一个j元素的凸组合∈N、 我们有infj→∞eEZ∞E-(β-δ） tξ（j）tdt< ∞ （4.8）通过（4.1）。此外，t 7→ν*这是不减损的，因此它的不连续点集是零勒贝格测度；因此，Girsanov定理（参见（4.3））、Fatou引理和（4.7）以及（4.8）yieldEZ∞E-βtPtν*tdt=eEZ∞E-(β-δ） tν*tdt< ∞.有可能表明*允许左连续修改，我们仍然用ν表示*.我们得出结论，ν是可容许的，即∈ 为了证明这一点*是最优的，必须证明^J（y，ν）*) ≥ W（y）。（4.9）我们从^J（y，ξ（J））=E开始Z∞Γ（t，y+ξ（j）t）- (β - δ） e-βtPtξ（j）tdt（4.10）我们使用引理3.8。在新的概率测度eq（cf.（4.3））下，我们有^J（y，ξ（J））=eEhZ∞Φ（ξ（j）t）dti（4.11），其中Φ（ξ（j）t）：=eδtPtΓ（t，y+ξ（j）t）- (β - δ） e-(β-δ） tξ（j）t.同样，对于每个j∈ N、 Φ（ξ（j）t）≤ λαsye-(β-δ） t+λαe-（r+λ）-δ） tE[D]eQ- a、 根据（3.1），第一个不平等性出现在（3.4），c（·）≥ 0（参见。

假设（2.4）和假设3.4。因此，通过应用反法图引理（4.6）、^J（y，·）的凹性和Ces`aro平均定理，我们得到了^J（y，ν）*) ≥ 林苏普→∞^J（y，ξ（J））≥ lim supj公司→∞jjXk=1^J（y，ν（nk））=W（y），（4.12）因此ν*这是最优的。作为子管道，我们还有{ξ（j）}j∈Nis本身就是一系列政策。如果c（·）是严格凸的，则最优策略是唯一的（直到不可区分）。让我们*,1和ν*,2.两个最优策略，并确定可接受的过程策略*,1+ν*,2.然后我们就有了0≥^J（y，^ν）- W（y）=^J（y，^ν）-^J（y，ν）*,1) -^J（y，ν）*,2） =EZ∞Γ（t，y+^νt）-Γ（t，y+ν）*,1t）-Γ（t，y+ν）*,2t）dt≥ 0，其中最后一个不等式在s之后是Γ（t，·）的凹性（参见引理（3.1））。因此，上面的不等式必须是等式，并且再次由Γ（t，·）的凹性决定，它必须是b eΓ（t，y+^νt）=Γ（t，y+ν）*,1t）+Γ（t，y+ν）*,2t），Q- a、 a.e.t.的s≥ 0.因此ν*,1t=ν*,2t，a.e.t.的Q-a.s≥ 注意到c（·）的严格凸性假设意味着Γ（t，·）的严格凹性。在此之前，由ν的左连续性*,i、 i=1，2，我们得出如下结论：*,1和ν*,2难以区分。备注4.2。请注意，只要风险率Ht满足条件Ht<r+ε，就可以获得随机需求时间Θ的最优采购策略，其连续密度比指数密度更一般- Δαs，需要证明值函数W（y）的正确性。这种情况对危险率ht有很强的要求，它通常是无界的，尽管对于合适的参数，对数正态分布或对数逻辑分布等一些众所周知的分布可以满足这一要求。5最优采购政策的特征Theorem 4.1提供了最优策略的存在性*∈ 在没有提供任何有关采购问题性质的信息的情况下，对采购问题进行了调查。

在本节中，我们通过广义随机一阶条件对最优采购政策进行了完整描述。这种方法不需要价值函数的先验光滑性，也不需要投资区域和非投资区域之间的边界来确定最优策略。因此，它可以克服HJB准变量不等式方法中处理的规律性问题，该方法产生于我们的二维状态过程设置（Yt，Pt）。通过Bertola（1998）在Cobb-Douglas运营利润函数和几何布朗运动给出的不确定性下实现利润最大化的一阶条件来描述最优控制。然后，在Bank&Riedel（2001）中，在静态预算约束的情况下，在Bank（2005）中，在随机动态有限燃料约束的情况下，在Steg（2012）中，在顺序不可逆投资的资本积累博弈中，以及在Chiarola等人（2013）中，在涉及N家企业的优化问题中，发展了这种概念。在Riedel和Su（2011）中，采用随机顺序条件方法，通过求解向后s-tochastic方程获得最优策略。对于任何可容许的超梯度过程^J（y，ν）被定义为唯一的可选过程^J（y，ν）（τ）：=EZ∞τΓy（t，y+νt）dtFτ- E-βτPτ，（5.1）对于任何{Ft}-停止时间τ∈ [0, ∞], β：=r+λ+ε（参见（2.10））和Γy:=Γ/y、 超梯度（5.1）可解释为在时间τ购买额外单位商品产生的边际预期净利润。定理5.1。让假设3.2和3.4保持不变，并确定y≥ 0.那么，对于一个可容许的策略*, 以下是一阶条件^J（y，ν）*)(τ) ≤ 0 a.s。

对于所有停止时间τ∈ [0, ∞],Z∞^J（y，ν）*)（t） dν*t=0 a.s.（5.2）是必要的，并且对于ν的最优性是有效的*问题（3.8）。证据集合kt:=e-βtPtand apply Steg（2012年），主张3.2，其中要求假设3.1的三个条件。我们的引理3.1和命题3.9保证了前两个；至于第三个，它要求y 7→ Γy（ω，t，y）严格递减，但很容易通过Γ（ω，t，·）的凹性来检验，以证明一阶条件的最优性。一阶条件的直觉是，当某个停止时间的梯度为正时，可以进行少量额外投资。备注5.2。一阶条件（5.2）可以被认为是经典库恩-塔克条件的随机有限维代数化。在实际分析中，如果一个人处理一个形式为maxx的优化问题≥0f（x），对于一些光滑凹实函数f，众所周知，Kuhn-Tucker条件是x的最优性*aref′（x）*) ≤ 0，x*f′（x）*) = 0.（5.3）粗略地说，在我们设置非负性约束x时≥ 0被不可逆性约束dνt替换≥ 0代表所有t≥ 0，Q-a、 一阶导数f′（·）的作用是通过超梯度过程来实现的^J（y，ν）。然后（5.2）是（5.3）的推广。下面的命题借助定理5.1证明了，如果β- δ非常大。提议5.3。在假设3.2和3.4下，如果β- δ ≥ 对于任意α（p）λ≥ 0，投资商品永远不是最佳选择，即ν*≡ 任何t都是0≥ 0 Q-a、 s.HenceW（y）=EZ∞Γ（t，y）dt=Z∞E-（r+λ）δtλH（e）-εty）- c（e）-εty）idt。一个随机过程是可选的，如果它相对于可选的西格玛代数O是可测量的Ohm ×[0，T]。