可存储商品的最优动态采购策略

可选的西格玛代数O由正确的连续和适应过程生成（参见Dellacherie&Meyer，1982）。证据对于任何可接受的采购政策ν和任何停止时间τ≥ 我们有^J（y，ν）=EZ∞τΓy（t，y+νt）dtFτ- E-βτPτ=λ（αP+α）EZ∞τe-βtPtdtFτ- λ（α+αp）- αs）EZ∞τe-βtPtFD（e-εt（dt+νy）Fτ-EZ∞τe-βtc′（e）-εt（dt+νy）Fτ- E-βτPτ（5.4）<λ（αP+α）EZ∞τe-βtPtdtFτ- E-βτPτ=e-βτPτλ（αp+α）- (β - δ)β - δ,β：=r+ε+λ，其中第三步中的不等式来自于α+αp的非负性- FD（·）和c′（·）的αs（参见假设2.4），而最后一个等式来自（3.12）。因此，如果λ（αp+α）≤ β - δ、 那么，对于任何可容许的采购策略ν和任何停止时间τ，超梯度都是严格负的≥ 0，因此购买商品从来都不是最优的（参见定理5.1）。定理4.1保证了对任意y的最优投资策略的存在性≥ 0，一阶条件（5.2）完全表征了它。然而，这些条件不一定具有约束力，因此它们并不总是明确地决定最优策略。为此，我们遵循Riedel和Su（2011）的第3节或Steg（2012）的第3.3条，并在流程方面获得了最佳采购政策*, 我们称之为基本库存流程，代表企业每次都要达到的理想库存价值。回想一下β：=r+λ+ε。定理5.4。假设假设3.2和3.4成立。然后存在一个可选的过程l*取[0]中的值，∞) 对t来说，这是令人满意的≥ 0,l*t=supnz∈ R+ess infτ≥tEhZτtΓy（s，ze-s）ds+e-βτPτFti=e-βtPto∨ 0，Q-a.s.（5.5），这样，对于任何y≥ 0，采购政策ν*t:=su p0≤u<teεul*U- Y∨ 0，t≥ 如果允许，0，（5.6）对于（3.8）是最佳的。证据

因为定理4.1提供了最优采购策略的存在性*对任何人来说≥ 0，有必要应用Steg（2012）提案3.3（该提案可能很容易适用于我们的折旧率ε情况）≥ 0).基本库存流程l*指最大库存水平，在该水平下，商品的边际购买不能延迟到未来的任何停止时间。此外，对于任何t≥ 0, l*这是唯一定义的，如果y 7→ Γy（t，y）是严格递减的，即如果持有成本函数c（·）是三次凸的（参见（3.1））。（5.6）提供的最佳采购政策包括：请注意，在Riedel and Su（2011）第3节或Steg（2012）第3.2节中，此类过程称为基本能力过程。库存水平Yy，ν*总是在或以上l*t、 如果时间t的库存水平为yy，ν*t>l*t、 然后，该公司面临库存过剩，应该等待购买更多商品。如果投资级别低于l*t、 那么企业应该投资*t=l*T- Yy，ν*为了达到这个水平l*t、 最优策略的这种性质在库存理论中是很自然的（例如，见Porteus，1990）。信号处理l*t可以被描述为与（5.2）相关的反向随机方程的唯一可选正解（参见Bank El Karoui的表示，lemin Bank&El Karoui，2004，定理1和定理3）。在随机不可逆容量展开问题的背景下，Riedel和Su（2011）、Chiarolla和Ferrari（2014）、Ferrari（2015）（这里的反向方程实际上是一个积分方程）在对应的Γ（参见Inada，1963）的INDA条件下得到了这样的反向方程，即limy↓0Γy（t，y）=∞ 还有limy↑∞Γy（t，y）=0表示t≥ 0.在目前的情况下，尽管我们的Γ（参见。

（3.1））不满足Inada条件，我们采用他们的一些论点来描述l*t通过一个倒向随机方程，我们实际上能够在线性持有成本和指数分布需求的情况下求解该方程（参见下文第6.1节）。提议5.5。如果存在一个逐步可测量的过程l*求解倒向随机方程Z∞τΓy（t，supτ）≤u<t（eεu）l*u） ）dtFτ= E-βτPτ，a.s.对于任何停止时间τ∈ [0, ∞], （5.7）然后是采购政策*t:=su p0≤u<t（eεu）l*U- y）∨ 0, ν*= 对于问题（3.8），如果允许的话，0，（5.8）是最优的。证据我们借用了Bank和Riedel（2001）的观点（或Riedel&Su，2011）。它必须表明过程*t:=Yy，ν*t=e-εt[y+ν*t] =耶-εt∨ sup0≤u<t（e）-ε（t）-u）l*u） （5.9）满足最优性的一阶条件（5.2）。对于任何停止时间τ，（5.1）连同Γ（t，·）的凹度^J（y，ν）*)（τ） =EZ∞τΓy（t，y）∨ sup0≤u<t（eεu）l*u） ）dtFτ- E-βτPτ（5.10）≤ EZ∞τΓy（t，supτ）≤u<t（eεu）l*u） )Fτ- E-βτPτ=0，因为l*解决（5.7）。为了证明（5.2）中的第二个条件，注意f或任何τ≥ 0，商品的采购发生的时间（即dν*τ:=ν*τ +ε-ν*τ> 0，每ε>0）我们就有*t=e-εtsupτ≤u<t（eεu）l*u） 对于t>τ，乘以（5.9）。因此y+ν*t=supτ≤u<t（eεu）l*u） 对于t>τ，因此有时τ带有随机Borel测度dν*我们有^J（y，ν）*)（τ） =0乘以（5.7）。备注5.6。很明显*of（5.8）是非减量且左连续的；因为它是可进行的*是这样的，参见Dellacherie&Meyer，1982，定理IV.33），因此也适用于{Ft}。因此ν*当且仅当可积条件ER∞E-βtPtν*tdt<∞ 持有。

这种情况必须逐个检查，但如果β足够大，则通常可以满足。请注意，如Riedel和Su（2011）第3节所述，（5.7）与一阶条件（5.2）有明显的相似性。事实上，通过考虑在时间τ开始投资的公司的一阶条件，我们可以从时间τ开始在库存中取上确界，然后再减去基本库存l*（参见（5.6）），然后将其插入超梯度（5.1）。然后，一阶条件对企业具有约束力，因此我们得到（5.7）中的等式。在应用中，命题5.5非常有用，因为它提供了一种建设性的查找方法l*从而解决了问题（3.8）。事实上，（5.7）至少可以通过对p问题（5.7）的离散化版本的反向归纳在数值上找到（见Bank&F¨ollmer，2002年，第4节）。在下一节中，我们将在需求呈指数分布的情况下（参见Lariviere&Porteus，1990年；Zhang，Nagarajan，&Soˇsi\'c，2009年）和线性持有成本（参见郭等人，2011年；Tarima&Kingsman，2004年；Zhang，2010年等）显式求解倒向随机方程（5.7）。6显式结果：本节中的线性持有成本假设2.3、2.4、3.2和3.4仍然成立。我们还假设asin Guo等人（2011年）的线性持有成本，即c（x）=cx（对于某些c>0）和零劣化率，即ε=0。此外，我们假设D是指数分布的，参数γ>0；也就是说，fD（z）=γe-γz。在该设置中，β=r+λ和（cf.（3.2））H（y）=αsy+αγ-（αp+α）- αs）γe-γy，（6.1）和（cf（3.1））Γ（t，y）=e-βtλPthαsy+αγ-（αp+α）- αs）γe-伽玛伊- E-βtcy。（6.2）那么，Γy（t，y）=e-βthλPtαs+（α+αp- αs）e-γy- ci。

（6.3）6.1最优采购政策我们现在发现，在我们的一般指数L’evy设置中，最优采购政策的显式形式是有界的。据我们所知，这种明确的结果第一次出现在这里。提议6.1。当β=r+λ时，设τβ为指数分布的随机时间，与P无关，参数为β，且设置κ：=Ehinf0≤U≤τβPτβPui、 （6.4）a:=（β- δ - λαs）λ（α+αp）- αs），b:=cλκ（α+αp- αs），（6.5）l*t=-γlna+bPt. （6.6）那么l*t解随机倒向方程Z∞τΓy（t，supτ）≤U≤Tl*u） dtFτ= E-βτPτ，任意τ的a.s≥ 0，（6.7），因此问题（3.8）的最佳采购策略为*t:=sup0≤s<t(l*s- y）∨ 0, ν*= 0.（6.8）证据。在（6.7）中替换（6.3），在积分中改变变量，并使用（3.12）toobtainEZ∞τΓy（t，supτ）≤U≤Tl*u） dtFτ= E-βτEZ∞E-βsλαsPs+τ- CdsFτ（6.9）+λ（αp+α- αs）e-βτEZ∞E-βsPs+τe-γsup0≤U≤s(l*u+τ）dsFτ= E-βτλαsβ- δPτ-cβ+ λ（α+αp）- αs）e-βτEZ∞E-βsPs+τeinf0≤U≤s(-γl*u+τ）dsFτ.因此，我们可以改写（6.7）的等效形式Z∞E-βsPs+τeinf0≤U≤s(-γl*u+τ）dsFτ=λ（α+αp）- αs）hPτ1.-λαsβ- δ+cβi.（6.10）现在我们猜测答案，并尝试使用l*t=-γlna+bPt, （6.11）（6.6）中的对数定义得很好，因为a:=（β-δ-λαs）λ（α+αp）-根据假设3.4和α+αp的非负性，αs）>0- αs和b>0，因为κ∈ [0, 1].对于某些正的a和b，事实上（6.10）的左边变成了Z∞E-βsPs+τeinf0≤U≤sln公司a+bPu+τdsFτ= EZ∞E-βsPs+τelninf0≤U≤s（a+bPu+τ）dsFτ= EZ∞E-βsPs+τinf0≤U≤sa+bPu+τdsFτ（6.12）=a EZ∞E-βsPs+τdsFτ+ b EZ∞E-βsinf0≤U≤sPs+τPu+τdsFτ=aPτβ- δ+bβEZ∞βe-βsinf0≤U≤sPsPuds=aPτβ- δ+bβκ，因此（6.10）成立（参见（6.5））。现在（6.8）的最优性来自命题5.5，如果我们证明*是可以接受的。很明显*是{Ft}自适应且左连续的。

也ν*T≤ (-γln（a）- y）∨ ln的单调性为0，b>0。因此ER∞E-βtPtν*tdt≤(-γln（a）-y）∨0β-δ< ∞ 由（3.11），因此*∈ 6.1号提案本身的结果是显著的。事实上，就我们所知，这是（5.7）类倒向随机方程显式解的罕见例子之一，涉及函数Γy（t，·）（cf.（6.3））不满足经典INDA条件。备注6.2。注意，如果β- δ ≥ λ（αp+α），然后a≥ 1（参见（6.5））因此l*对于任何t，t<0≥ 0（参见（6.6））。因此，从（6.8）可以得出*t=0表示所有t≥ 这与命题5.3是一致的。为了明确地获得（6.4）的常数κ，我们现在将价格P动态限制为一类无正跳的L’evy过程。提议6.3。假设X是一个L′evy过程，如果ζ>0，则没有正跳，如果ζ<0，则没有负跳。塞特苏：=-δu+π(-ζ） u+ζXu，（6.13），因此Pt=e-~Xt（参见（2.1）），并用eπ（·）表示x的拉普拉斯指数。那么（6.4）的常数κ是κ=ξ1+ξ，（6.14），其中ξ由方程eπ（ξ）=β唯一确定。证据从（6.4）开始，我们有κ=Eheinf0≤U≤τβ（eXu）-eXτβ）i=Ehe-eXτβ-sup0≤U≤τβ(-eXu）i=Eheinf0≤U≤τβ(-eXu）i=Ehe- sup0≤U≤τβ（eXu）i=ξ1+ξ，因为-eXτβ- sup0≤U≤τβ(-eXu）~ inf0≤U≤τβ(-根据L'evy过程的对偶定理，以及su p0≤U≤τβ（eXu）与参数ξ呈指数分布，其中ξ如上所述（参见Bertoin，1996年，第七章），这是由于没有正跳跃外汇的假设。备注6.4。利用Kou和Wang（2003）关于双指数j-ump扩散过程的结果，可以获得正跳跃和负跳跃情况下的类似结果。6.2值函数的概率表示在第6节的特殊设置中，我们能够提供值函数的概率表示（3.8）。提案6.5。

让我们来看看β-δ和τβ是两个独立的指数分布随机时间，参数为β- δ和β。然后，值函数（3.8）允许表示w（y）=y+λαγ（β- δ)-λ（αp+α）- αs）γ（β- δ） 咦-γ（y+ν）*τβ-δ） 我+λαsβ- δ- 1.eEhy+ν*τβ-δi-cβEhy+ν*τβi，（6.15）关于最优控制*在（6.8）和（4.3）的等效比例下的经验E[·]、andeE[·]。证据回想一下（6.1），（6.2）和β=r+λ。然后w（y）=^J（y，ν）*) = EZ∞E-βtλPthαs（y+ν）*t） +αγ-（αp+α）- αs）γe-γ（y+ν）*t） idt-cZ∞E-βt（y+ν）*t） dt-Z∞E-βtPtdν*T. （6.16）通过Lemm a 3.8和引入τβ和τβ-δ、 两个独立的指数分布随机时间，参数为β和β- δ、 分别地，与命题6.1的证明中使用的论点类似的论点允许我们将（6.16）右侧的术语改写如下，λαsEZ∞E-βtPt（y+ν）*t） dt=λαsβ- δeEhy+ν*τβ-δi；λαγEZ∞E-βtPtdt=λαγ(β - δ);λ（αp+α）- αs）γEZ∞E-β-tPte-γ（y+ν）*t） dt=λ（αp+α）- αs）γ（β- δ） 咦-γ（y+ν）*τβ-δ） 我；c EZ∞E-βt（y+ν）*t） dt=cβEhy+ν*τβi；EZ∞E-βtPtdν*T= (β - δ） EZ∞E-βtPtν*tdt=eEhν*τβ-δi.因此（6.15）遵循一些简单的代数。备注6.6。请注意，如果（6.13）中的processeX没有负跳跃，则可以评估（6.15）中的预期（至少是数字）。事实上，回顾（6.8）、（6.6）和Pt=e-~Xt（cf.（2.1）），假设τρ是一个独立的指数分布随机时间，具有任意（正）参数ρ，我们有y+ν*τρ=y∨ sup0≤U≤τρ-γlna+bPu= Y∨H-γlninf0≤U≤τρa+bPui（6.17）=y∨H-γlna+b einf0≤U≤τρeXui=y∨H-γlna+b e- sup0≤U≤τρ(-eXu）i=：y∨-γlna+b e-调频-τρ, （6.18）其中：-t:=sup0≤U≤t(-eXu）。现在，自从-eX没有积极的跳跃，然后是Fm-τρ呈指数分布（cf。

Bertoin，1996）的第七章），其中参数ξ由方程eπ唯一确定-（ξ） =ρ，其中eπ-（ξ） 是的拉普拉斯指数-6.3数值搜索。我们提供了由年龄计量布朗运动或指数跳跃微分过程驱动的现货价格的最佳库存水平的计算机图。为了做到这一点，我们找到了获得基本库存所需的κ（参见（6.14））的显式形式l*（参见第（6.5）、（6.6）节），从而得出最佳采购策略（6.8）。然后，我们将我们模型的最佳预期回报与经典报童模型的修正版本进行比较。在下面的计算机绘图中，我们假设以下参数：公司的管理层成本系数r=0.05，初始库存水平y=0（与报童模型的初始条件一致），指数分布的需求时间参数λ=5，单一持有成本c=1，收入乘数G中的溢价系数（见（2.5））α=1.2，αp=0.8，αs=0.7，指数分布需求的参数γ=0.05.6.3.1几何布朗运动价格：郭等人（2011）的最优策略，我们采用dPt=Pt（udt+σdBt）P=1，（6.19），其中u∈ R和σ>0是常数和{Bt，t≥ 0}是一种外生的一维标准布朗运动。ThenPt=expn（u-σ） t+σBto，为（2.1）型，X:=-B、 δ：=u，ζ：=σ和π(-ζ) =σ. 在这种情况下，exu=（σ- u）u- σBu，因此（参见命题6.3，（6.14））κ=Ehe- sup0≤U≤τβeXui=θ+1+θ+，（6.20）0 1 2 3 4 5242628303234363840t l*tY*t图1：几何布朗运动价格下的最优采购，u=0.7，σ=0.2。式中，θ+是σx+（σ）的正根- u）x- β=0（这是一个众所周知的关于带漂移的aBrow nian运动的结果）。

如图1所示，在当前库存低于基本库存时购买商品l*（6.6）。6.3.2几何跳跃差异价格：最佳策略由于大多数现货价格表现出显著的偏度和峰度，因此它们不能用纯粹的差异过程很好地描述。在这里，我们假设现货价格根据跳跃-扩散过程演变dPt=Pt-（udt+σdBt+dMt）P-= 1，（6.21）带u和σ实常数，{Bt，t≥ 0}一个外生的一维标准布朗运动，dmt:=NtXj=1Uj，其中{Nt，t≥ 0}是一个具有恒定强度ψ的泊松过程≥ 0，{Uj}j≥0是i.i.d.和om跳跃的序列，其值在[0，∞) 这样U=1a.s.此外，B，N，U是独立的。显然，该模型包括确定性增长模型（对于σ=0）和纯跳跃模型（对于σ=0和dψ>0）。（6.21）isPt=expn（u）的显式解-σ） t+σb ontyj=1（Uj+1）=expnu -σt+σBt+NtXj=1zjo，其中Zj:=ln（Uj+1）是i.i.d.因此Pt=exp{-eXt}其中eXt:=-(u-σT-σBt-PNtj=1Zjis a L′evy过程，无正跳，Lap-lace指数π（u）=σu+σ- uu+ψE（E）-（uZ）- 1.,对于任何u，E（eueXt）<∞. 如果我们取Zj的指数分布，参数l>1，那么我们得到∧π（u）=σu+uσ- u -ψl+u,通过求解方程eπ（ξ）=β，我们可以得到κ（cf.（6.14）），从而得到ν*（参见（6.6））.01 2 3 4 5253035404550吨lt*Yt*图2：几何跳跃差异价格下的最优库存，u=0.7，σ=0.2，ψ=2，l=9。如图2所示，最优库存保持等于或高于基本库存（6.6），只有当当前库存低于基本库存时，才会进行采购。6.3.3与报童模型的价值函数比较报童模型是库存管理文献中的经典模型（见Porteus，1990）。

它研究了当新供应商订单过多或过少时，在存在超龄成本和未成年成本的情况下，在单一时期内，对单个商品的库存进行控制的问题。新闻供应商的目标是选择单个订单的大小，以最大化预期利润。正如郭等人（2011）观察到的，新闻供应商模型为企业经理提供了一个解决方案，他们不想在现货市场上重复购买，但只在零时间购买一次商品（所谓的“新闻供应商采购策略”）。这种策略属于我们的一套可接受策略（2.9）。图3：V（0）和L（y）之间的差异*) 当σ在0.05到50之间变化时。在本节的设置（参见第6节开头）中，公司在时间零点购买y单位商品的总预期折扣回报率为（参见（2.6））byL（y）：=EE-rΘPΘG（y，D）-1+cr（1- E-rΘ）Y, （6.22）和报童价值函数ismaxy≥0升（y）。回顾FD（z）=1- E-γz，γ>0，简单计算得出最优的NewsVendor采购策略为Y*= maxn0，F-1D（η）o，其中η=（α+αp）EE-rΘPΘ-1+cr（1- EE-rΘ)（α+αp）- αs）EE-rΘPΘ.假设现货价格的几何布朗伊恩运动为（6.19）且u=0.7，我们使用概率表示法（6.15）绘制价值函数V（0）（参见（3.7）且y=0）和报童价值函数L（y）之间的差异*) 由于波动率σ在0.05到50之间变化（见图3）。注意，wh enσ→ 我们的值函数V（0）趋向于报童的一个L（y）*). 另一方面，当波动性增加时，最优收入开始迅速大于报童收入。