一个晶格框架，用于根据

同样，如果中奖支付CPM向下移动，期权支付Φ{d}：=（M{d}/（1000H）- FC）+。我们遵循一般的经济环境，并认为广告商是风险中性的，因此只有在期权收益最大化的情况下，他才会行使广告期权（Wilmott，2006）。我们在期权定价中使用了所谓的风险中性概率测度（Bj¨ork，2009）。在财务方面，资产的预期风险收益等于风险减去银行利息的收益。在网络广告环境中，风险中性概率测度Q=（Q，1-q） 满足以下等式：≡ quM+（1）- q） dM，（1）其中er=（1+br）是从时间0到时间1期间的无风险回报，u=M{u}/Mand d=M{d}/Mare是CPM的移动标度。因此，我们可以得到风险中性转移概率q=（er-d） /（u）-d） 。请注意，这里q等于表1，表1描述了CPM在时间1中向上移动的概率。由于期权价值可以被视为时间和标的价格的二元函数，所以时间0的期权价值可以通过在Q=（Q，1）下贴现时间1的预期期权价值来获得- q） （比约克，2009，见鞅）。时间1的期权价值实际上是期权支付；因此，时间0的期权价格可以通过贴现预期收益而获得，即π=er-1EQ[Φ]=er-1.qΦ{u}+（1）- q） Φ{d}. （2） 这个期权价格π是公平的，因为它排除了套利（瓦里安，1987；比约克，2009）。套利意味着广告商可以获得大于或小于无风险银行利率的利润。考虑期权价格是否被高估，即π>er-1（qΦ{u}+（1）-q） Φ{d}），广告商可以在时间0时卖空一个广告选项，并将钱存入银行，以降低风险-（qΦ{u}+（1）-q） Φ{d}）。如果期权价格被低估，可以使用逆向策略进行套利。

到目前为止，我们已经讨论了期权定价框架，即Sharpe（1978）最初提出的一步二项式方法。如图1（a）所示，对于多步二项式晶格，通过研究每一步模型的各种组合，可以直接估计CPM的可能值和相应的风险中性转移概率，因此期权价格π可以得到如下π=er-nnXj=0nj！qj（1）- q） n-Jujdn-jM1000H- 常设费用+. （3） 如果有j≥ J*, ujdn-jM/（1000小时）≥ FC，那么π=M1000HnXj=j*新泽西州！eqj（1）-eq）n-J- FCer-nnXj=j*nj！qj（1）- q） n-j=M1000Hψ（j）*, n、 情商）- FCer-nψ（j）*, n、 q），（4）式中eq=q×（u/er）。如果每一步t=t/n是有效的，π的连续时间闭式公式可以得到如下π=M1000HN（）- FCe-rTN（），（5）=σ√T自然对数M1000HFC+ （r+σ）T, (6)= - σ√T，（7）非常类似于BSM模型（Black and Scholes，1973；Merton，1973）。图1（b）展示了一个三项式晶格。共有6个参数：u、m、d为状态运动标度；q、 q，qare是相应的风险中性转移概率。这些参数直接决定CPM的移动，然后决定写在CPM上的ad选项的唯一值。它们必须受到限制，使得构造的三项式格在连续时间内收敛于CPM的对数正态分布（即GBM假设）。我们使用力矩匹配技术（Cox等人，1979年）定义了如下基本限制条件：q+q+q=1，（8）qu+qm+qd=γ=ert、 （9）qu+qm+qd=γζ=e2rteσt（10）其中0≤ q、 q，q≤ 1.由于有6个参数，因此需要另外3个方程来确定唯一的解决方案。

在这里，我们研究了先前研究（Boyle，1988；Kamrad and Ritchken，1991；Tian，1993）讨论的附加条件，并使用相同的设置为显示广告选项定价。图2比较了所讨论的期权定价的二项式和三项式格方法的收敛性能。公式（7）被用作黄金线，以检查格点法计算出的期权价格与闭式价值的接近程度（因为这些方法都基于GBM假设）。图2（a）说明了当时间0的期权价值在货币中时的情况（即M/（1000小时）≥FC）和图2（b）显示了资金外情况（即M/（1000H）<FC）。这里有几个发现值得一提。首先，三项式格的收敛速度比二项式格快；然而，前者需要计算更多的节点，即三项式节点需要（n+1）个节点，而二项式节点只有（n+1）（n+2）/2个节点。其次，Tian-TRIN（Tian，1993）模型比其他模型具有更好的收敛性能。4.SV基础模型的删失二项式格当GBM假设在经验上无效时，SVM模型可以用来描述基础价格的变动。让我们扩展一下这样的情况，即广告选项允许其买家支付固定的CPC用于展示印象。

不确定中奖支付CPM的SV模型可以表示为：dM（t）=uM（t）dt+σ（t）M（t）dW（t），（11）dσ（t）=κ（θ）- σ（t）dt+δpσ（t）dZ（t），（12）0M0UM0DM0UUM0DDM0UDM0UUUM0UDDM0DDDM0NUM0NDM…0M0UM0UUM0UUM0NUM…0DM0DDM0DDDM0NDM0M0UM0DM（a）（b）图1：格架：（a）CPM的二项式格架；（b） CPM的三项式晶格。0.168750.169000.169250.169501 10 100期权价格阶跃数对数标度（%）（a）0.0100.0120.0140.0160.0181 10 100期权价格阶跃数对数标度（%）（b）格子模型BSM CRR-本·哈赫特拉-宾·博伊尔-崔婷-TRIN KR-Trin图2：二项和三项晶格方法的收敛性能比较，用于定价显示广告期权和GBM基础：（a）时间0时的期权价值为货币，其中M=2，FC=0.005，CT R=0.3，R=0.05，T=31/365，σ=0.5；（b）时间0时的期权价值不在货币范围内，其中M=2，FC=0.075，CT R=0.3，R=0.05，T=31/365，σ=0.5。表2提供了符号和术语的详细说明。其中，W（t）和Z（t）是真实世界概率测度P下的标准布朗运动，满足E[dW（t）dZ（t）]=0，u和σ（t）是CPM的常数漂移和波动性，κ、θ、δ是波动性参数。漂移因子κ（θ）- σ（t））确保σ（t）向其长期值θ的平均回归。波动系数δ√σ（t）避免了κ和θ的所有正值出现负σ（t）的可能性。值得注意的是，所提出的模型与Heston模型（Heston，1993）非常相似，而显著的区别在于隐藏层由dσ（t）而非dσ（t）驱动。设X（t）=ln（M（t）），等式。

（11） 可改写为以下风险中性形式：dX（t）=R-σ（t）dt+σ（t）dWQ（t），（13），其中r是常数连续时间风险减去利率，WQ:=W（t）+Rtu-rσ（s）ds是风险中性概率测度Q下的标准布朗运动，因此E[dWQ（t）dZ（t）]=0。过程X（t）可以用一系列二项过程sayeX（ti），i=1，n、 有关近似条件的更多详细信息，请参见（Nelson和Ramaswamy，1990）。我们将在下面的讨论中简要验证这些条件。在算法1中，我们给出了计算以SVM模型为基础的显示广告期权的期权价格的方法。简单地说，首先构造一个二项式晶格外汇（ti）来弱地逼近X（t）。晶格是从时间步长0到时间步长n构建的，在每个时间步长，节点都是从上到下计算的。在下面的讨论中，将介绍步骤的数学细节。我们从图3中的第一个节点开始，{1}（）kXt{1，}（）ukX t{1} （）kKt{1} （）kkJ t  {2} （）kXt{1} 1（）kXt{2，}（）dkX t{2} （）kKt{2}（）（）kkJ t  {1} 1）kKt{1} 1（）（）kkJ t{1，}{2，}（）（）dukkt    1kk1k图3：SV基础的截尾二项式晶格。表2提供了符号的详细说明。其两个后继者可以表示为followseX{1，u}（tk+t） =（J{1}（tk）+1）σ（tk+（t）√t+R-σ（tk+（t）t、 （14）ex1，d}（tk+t） =（J{1}（tk）- 1） σ（tk+（t）√t+R-σ（tk+（t）t、 （15）其中J{1}（tk）σ（tk+（t）√t是网格上最接近toeX{1}（tk）的点，给定byJ{1}（tk）=infJ*∈NJ*σ（tk+（t）√T-eX{1}（tk）. （16） Eqs。

（14） -（15）可以根据条件增量重写：eX{1，u}（tk+（t）-eX{1}（tk）=σ（tk+（t）√T- K{1}（tk）+R-σ（tk+（t）t、 （17）ex1，d}（tk+（t）-eX{1}（tk）=- σ（tk+（t）√T- K{1}（tk）+R-σ（tk+（t）t、 （18）其中K{1}（tk）是时间tk时第一个节点的成功者的网格调整参数。如图3所示，K{i}（tk），i=1，2，k、 可以为正或负，以满足近似条件limT→0 | X（tk+（t）-X（tk）|=0，下面的方程成立：EheX{1}（tk+（t）-前{1}（tk）|F（tk）i=R-σ（tk+（t）t、 （19）然后，我们可以得到一个方程组σ（tk+（t）√T- K{1}（tk）q{1}（tk）q{1}（tk）+- σ（tk+（t）√T- K{1}（tk）q{1}（t）q{1}（t）=0，q{1}（tk）+q{1}（tk）=q{1}（t），其中q{1}（tk）和q{1}（tk）是第一个节点在tk时的后继节点在tk+时发生或落下的风险中性概率t、 Q{1}（tk）是风险中性概率，用于在SV基础模型下，用Firstalgorithm 1删失二项式格点法对一个单日期权进行定价。表2提供了符号的详细说明。函数OptionPricingCBL（M，σ，κ，θ，δ，H，T，n，r，FC）T← 电话号码；呃← 呃T为了k← 0到n-1多伊∈ 时间步长k doif i=1的节点；埃尔塞斯特普;结束ifend forend forπ← 等式（22）（参见步骤(R)）；在时间tk结束functionnode。求解上述方程，然后给出sq{1}（tk）=Q{1}（tk）1+K{1}（tk）σ（tk）+（t）√T,如果0≤Q{1}（tk）1+K{1}（tk）σ（tk）+（t）√T≤ Q{1}（tk），0，ifQ{1}（tk）1+K{1}（tk）σ（tk）+（t）√T< 0，Q{1}（tk），ifQ{1}（tk）1+K{1}（tk）σ（tk）+（t）√T≥ Q{1}（tk），=Q{1}（tk）∧Q{1}（tk）1+K{1}（tk）σ（tk+（t）√T!+, （20） q{1}（tk）=q{1}（tk）- q{1}（tk）。（21）等式。（20） 和（21）表明，在近似条件下，转移概率q{1}（tk）和q{1}（tk）是删失的。步 其他节点的后继节点可以以与ofeX{1}（tk）相同的方式构造。

由于转移概率是在每个节点上直接截尾的，因此K{i}（tk）、J{i}（tk）和q{i}（tk）可以沿着基本价格的晶格结构从上到下顺序计算。节点需要保持重组模式；因此，以下方程式适用于1≤ 我≤ k:eX{i，d}（tk+t） =（J{i}（tk）- 1） σ（tk+（t）√t+R-σ（tk+（t）t=eX{i+1，u}（tk+t） =（J{i+1}（tk）+1）σ（tk+（t）√t+R-σ（tk+（t）t、 因此J{i+1}（tk）=J{i}（tk）- 2，K{i+1}（tk）=J{i+1}（tk）σ（tk+（t）√T-eX{i+1}（tk）。然后，节点{i+1}（tk）的跃迁概率可以用等式来估计。(20)-(21). 因此，每个节点的滚动风险中性概率分布Q{i}（tk）可以快速计算如下：Q{i}（tk+（t）=q{1}（tk），如果i=1，q{i-1} （tk）+q{i}（tk），如果1<i<k+1，q{k+1}（tk），如果i=k+1，受初始条件q（t）=1的约束。Step(R)二项式晶格可以通过步骤—— 在合同到期日之前的每个时间步。最后，期权价格可以得到如下公式：π=er-nn+1Xi=1Q{i}（tn）1000HeeX{i}（tn）- 常设费用+. （22）与式（4）类似，式（22）也是风险中性终端定价的离散形式（比约克，2009）。在上面的讨论中，我们实际上遵循了Florescu和Viens（2005）构造二项式晶格，并使用变量K{i}（tk）和J{i}（tk）来调整网格，从而使构造的二项式框架重新组合。与Florescuand Viens（2005）相比，我们的方法通过直接审查每个节点的概率简化了晶格构造过程。同时，该结构满足Nelson和Ramaswamy（1990）提出的近似条件。图4展示了一个经验示例，该示例构建了一个截尾二项式格，用于对英国SSP广告时段上的显示广告选项进行定价。

根据训练数据估计模型参数的给定值。图4（a）显示了基础CPM的截尾二项式晶格，图4（b）说明了如何从到期日到时间0反向迭代计算期权价值。为了便于比较，图5展示了CRR模型在相同参数设置下构建的二进制配置。显然，图4（a）中可以发现变化的波动性，而图5（a）显示了随时间变化的恒定波动性。我们发现SV模型给出的期权价格略小于CRR模型。这是因为波动率的长期平均值为0.2959，小于其初始值0.8723。因此，这种漂移会将波动率向下拉至其长期水平，基于SVM模型的期权价值比CRR模型包含的风险更小。5.实证评估本节介绍了我们的实验结果。我们用真实的广告数据检验GBM假设，比较基础模型的适用性，通过蒙特卡罗模拟验证所提出的格子方法，分析在固定的每日预算下，广告商是否可以获得更好的交付，并讨论对出版商（或搜索引擎）收入的影响。5.1. 数据集和实验设计表3给出了实验中使用的两个数据集：来自英国SSP的aRTB数据集；以及来自谷歌AdWords的赞助搜索数据集。RTB数据集包含所有0。70.80.91.00 5 10 15步进次数折扣价格（CPM）（a）0.00000.00250.00500.00750.01000 5 10 15步进次数值（b）图4:SSP数据集中广告时段的二项式格的经验示例：（a）基于SV模型的CPM的删失二项式格，其中r=0.05，T=0.0384，n=14，CPM=0.7417，σ=0.8723，κ=96.4953，θ=0.2959，δ=14.9874；（b） 期权价值的截尾二项式格。

模型参数根据训练数据进行估计。0.60.91.20 5 10 15阶跃数折扣价格（CPM）（a）0.0000.0050.0100.0150.0200 5 10 15阶跃数值（b）图5：图4中相同ad槽的二项式格示例：（a）基于GBM模型的CPM CRR二项式格，其中r=0.05，T=0.0384，n=14，CPM=0.7417，σ=0.8723。这里我们使用图4中相同的参数值；（b） 期权价值的CRR二项式格。广告商的出价和相应的中奖支付CPM（每笔交易）。谷歌数据集是通过谷歌的战略评估服务获得的（袁和王，2012）。表4-5显示了我们的实验设置。每个数据集被分成几个实验组，每个组都有一个培训、一个开发和一个测试集。模型参数在训练集中进行估计。显示广告选项在开发集中定价。测试集中的实际出价用于检查定价选项。CTR的默认值设置为0.03.5.2。GBM和SV模型的适用性如果GBM假设在经验上有效，以下两个条件成立：（i）中奖付款价格的对数比率的正态性；（ii）对数比率与之前数据的独立性。正态性可以是中奖付款价格Li的对数比，由Li=ln（Mi+1/Mi）或Li=ln（Ci+1/Ci）定义。通过直方图或Q-Q图进行图形检查，并通过Shapiro-Wilk检验进行统计验证（Shapiro和Wilk，1965）；独立性可以通过自相关函数（ACF）（Tsay，2005）和Ljung-Box统计量（Ljung-andBox，1978）进行检验。

值得注意的是，上述两个条件是必要的条件，而我们遵循Maraath和Ryan（2005），并认为GBM假设在经验上是有效的，如果它们没有被真实数据拒绝。图6给出了一个从SSP数据集中测试广告时段的GBMassumption的实证示例，其中潜在的获胜CPM不能准确地描述为GBM。事实上，SSP数据集中的31个广告时段都不符合GBM模型。因此，我们将SV模型用于SSP数据集中的ad时隙。图7显示了一个来自Google数据集的关键字示例。该关键词的获奖CPC符合GBM假设。CPC的对数正态性如图7（a）-（c）所示，独立性如图7（d）所示。Google数据集的概览结果如图8所示。在美国和英国市场上，分别有14.25%和17.20%的关键词可以准确地表示出来。表3：实验数据集摘要。数据集SSP Google AdWordsPeriod 2013年1月8日-2013年2月14日2011年11月26日-2013年1月14日广告时段数或关键词数31 557广告商数374×印象数6646643×投标人数3043127×中奖付款价格√ √投标报价GBP/CPM GBP/CPCTable 4：SSP数据集的实验设置。培训集（31天）开发和测试集（7天）2013年1月8日-2013年2月7日2013年2月8日-2013年2月14日表5:Google AdWords数据集的实验设置。市场群培训套装（31天）开发和测试套装（31天）US1 2012年1月25日-2012年2月24日-2012年3月25日-2012年4月29日-2012年4月29日-2012年5月31日-20123 10/06/2012-12/07/2012-12/07/2012-17/08/20124 10/11/12/2012-11/12/2012-10/01/2013UK1 25/01/2012-24/02/2012-24/02/2012-2012-25/03/03/2012-2012-29/03/2012-2012-29/04-2012-2012-29/04/03-2012-2012-12/07/2012-12/07/03-2012-12/07/03-12/2012-132012年10月18日至2012年11月22日2012年11月22日至2012年12月24日由GBM模型描述。