随机相关和跳跃扩散下的价差期权定价

上述定理3.2给出了这些方程的解。应注意的是，由于资产价格的连续分量相互独立，上述特征函数也可以写成：φXt（u）=dYm=1φX（m，c）t（u）φZt（u），其中φX（m），ct（u）是mthasset连续分量的特征函数，如Albrecher等人（2007）所述。观察跳跃分量，我们从L’evyKhinchine公式得知，其特征函数由以下公式给出：φZt（u）=etλ（exp（iuk-Uu）-1） 其中表示转置运算符。我们现在考虑比例随机波动的情况。在这种情况下，我们只需要所有资产的一个波动过程，并使用参数σ（m）来考虑资产之间的不同波动。因此，我们的对数价格和波动率模型是：dX（m）t=dX（m，c）t+dZ（m）tdX（m，c）t=（r- λk（m）-σ（m）Vt）dt+σ（m）pVtdWS（m）tdVt=ξ（η）- Vt）dt+θpVtdWVt（13）通过一个与定理3.2类似的过程，我们得到了：10马修·凯恩，帕布罗·奥利瓦雷斯定理3.2。对于（13）中描述的市场模型，Xt的特征函数由以下公式给出：φXt（u）=φXct（u）φZt（u），其中φXct（u）=eiu·X+C（T-t） +VD（t）-t） D（s）=2ζ（1）- E-γs）2γ- (γ - ω)(1 - E-γs）C（s）=dXm=1iu（米）R- λk（m）s-ξηθ2英寸2γ - (γ - ω)(1 - E-γs）2γ+ (γ - ω） sζ = -hdXm=1iσ（m）u（m）+dXm，n=1σ（m）σ（n）u（m）u（n）ρs（m）s（n）iω=ξ- iθ（Xm=1ρs（m）vu（m））γ=pω- 2θζ，φZt（u）如上述定理3.2所定义。4.价差期权价格的数值计算我们给出了我们的数值结果。在本节的第一部分中，我们将分析（2.1）中描述的算法在前一节中考虑的两种模型下对价差的实现，而在第二部分中，我们将针对模型中的一些参数对价差价格进行敏感性分析。4.1. FFT和蒙特卡罗价格之间的比较。

表1比较了蒙特卡罗模拟产生的结果与FFT方法应用于具有各种冲击的比例波动率情况的结果，如第一列所示。我们使用相当于一年的到期日。第二列给出了从每个2000个时间步的100万个蒙特卡罗模拟中获得的价格，而随后的列给出了相对误差，以百分比为单位，该误差是使用FFT方法获得的网格中离散点的各种值。我们使用以下基准参数集：S（1）=100，S（2）=96，σ（1）=1，σ（2）=0.5，ξ=1，η=0.04，θ=0.05，V=0.04，λ=1，k（1）=k（2）=0.05，δ（1）=δ（2）=0.05，ρS（1）S（2）=0.5，ρS（1）V=-0.5，ρS（2）V=0.25，rf=0.1。正如我们观察到的那样，FFT方法在所考虑的基准参数集下为价差期权的价格提供了一个准确的值，尽管蒙特卡罗方法一直偏低。关于速度和速度的类似结果见表1。

比较基准参数集下umin=20比例波动率情况下的蒙特卡罗方法和FFT方法。香港MC 128 128 2525252551515151828242 8.35978 8 8.2525252525258 8.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8.26856 6-0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0-0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7-0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 75-0.007905-0.007905-0.007849-0.0079053.4 7.697545-0.008-获得了0.008-0.007956-0.0083.6 7.633466-0.011431-0.011431-0.011392-0.0114313.8 7.544433-0.011586-0.011586-0.011531-0.0115864 7.456122-0.010902-0.010902-0.010856-0.010901独立挥发度模型的准确度。在这两种情况下，值得注意的是，在128点之后，网格中点数的增加并不会导致相应的误差减少。除了该方法的准确性外，比较每种方法下为差价期权定价所需的计算效率也很有用。我们可以比较比例波动率情况和独立波动率情况下FFT方法的执行时间，以及forMonte Carlo模拟，如表2所示。这就是表2的位置。在基准条件下，计算时间=20秒。网格大小比例挥发性独立挥发性64 0.020426 0.054677128 0.050574 0.084188256 0.233219 0.346391512 0.997439 1.4545241024 3.970557 5.920600MC 1368.67 1503.42 FFT方法的益处变得更加明显，因为它在很大程度上优于蒙特卡罗方法。

此外，由于我们在模型中加入跳跃成分时引入了额外的波动性，蒙特卡罗方法收敛速度非常慢，需要大量的模拟和精确的网格来生成价格。比例波动率案例的表现也优于独立波动率案例，这主要是因为MATTHEW CANE，PABLO Olivares认为，后一种情况基本上需要计算三个特征函数（每个资产波动率对一个，相关跳跃一个），而我们的比例波动率案例只需要两个（一个用于连续成分，一个用于跳跃）。最后，我们比较了比例波动和独立波动情况下的FFT价格。修正所有参数，但导致相关性的参数除外，因为这基本上是两个模型不同的领域，图1显示了价格的差异，其大小为Pprop- Pind，即比例波动和独立情况下，资产之间成对相关性的价格差异。注意，虽然独立情况在驱动连续分量的维纳过程之间没有相关性，但在跳跃分量中却有相关性。结果与我们预期的一样，当比例波动率情况下的相关性较高时，独立波动率情况会产生较高的价格，而当比例波动率情况下的相关性较低时，相反的情况也会出现。应该注意的是，当我们降低共同波动率相关性时，我们看到价格的差异要大得多，这表明共同波动率模型中的价格更依赖于相关性。此外，后一种变化以更明显的非线性方式发生。4.2. 参数灵敏度。

现在我们只考虑比例波动率的情况，并在我们的模型中检查价格对各种参数的敏感性。我们按照上一小节中的方法确定基准参数集，此外，我们还选择了N=512的网格大小，即阻尼参数 = (-3,1），最小截断间隔为umin=40，实际截断间隔使用算法（2.1）选择。图2和表3显示了当我们改变期权的初始金额和到期时间时的价格。很明显，我们预计期权的价格会随着期权从现款到现款的范围而增加，也会随着到期时间的增加而增加，这两个事实都是我们观察到的。数据显示，基于资金和到期时间的巨大变化，该图还显示，在较短的到期日，增加期权资金的影响要大得多，这也是我们的预期。在图3中，我们看了资金和罢工如何影响我们的差价选择权的价格。我们再次观察到，随着资金的增加和罢工的减少，价格也在上涨。我们还注意到，对于一个给定的罢工，价格的变化是非线性的，作为货币的函数，这表明隐含的波动率存在偏差。虽然隐含波动率和相关性的计算超出了本文的范围，但应注意的是，由于市场高估了远离货币期权的波动率，单变量模型往往会出现偏差和微笑。因此，我们可以看到图1中的非线性。比例波动率模型和具有资产相关性的独立波动率模型之间的价格差异ρs（1）s（2）表3。

货币性和到期时间变化情况下的价格比较TT 0.1 0.31 0.52 0.73 0.94 1.16 1.37 1.58 1.79 2S（1）- 7.7.12.254 4 4.6 6.6.7.7.7.7 7.7.7.7.7 7.7.7 7.7 7.7 7.7 7.7.7.7 7 7.7 7.7 7.7 7.7 7.7.7 7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7.7 7.7.7.7 7 7.7 7.7 7.7 7 7.7.7 7 7 7 7.7.7.7 7 7 7.7 7 7 7 7.7 7.7 7.7 7.7.7 7 7 7 7.7 7.7 7 7 7 7 7 7.7.7.7 7 7 7.7 7 7 7.7 7 7 7 7 7 7.7 7.7 7 7 7.7 7 7.7.7 7 7 7.7 7.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 43 3.12 4.31 5.27 6.11 6.87 7.55 8.19 8.79 9.35-21.1 2.73 3.9 4.86 5.69 6.447.13 7.76 8.36 8.92-3 0.83 2.37 3.51 4.46 5.29 6.03 6.72 7.35 7.95 8.51-4 0.62 2.05 3.16 4.09 4.91 5.65 6.32 6.96 7.55 8.11价格可以被视为隐含波动率和相关性存在偏差的证据，正如我们在随机波动率和跳跃成分中所预期的那样。14马修·凯恩，巴勃罗·奥利瓦雷斯图2。在参数稳定4的基准集下，价格随货币和成熟时间的变化而变化。货币性和罢工K变化情况下的价格比较，其余参数属于基准设置（1）- 政府现时（2）7.9 9.9 9 9.7 7 7 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.7 7 7 7.7 7 7.7 7 7.7 7 7 7.7 7 7 7 7.7 7 7 7 9 9.9 9 9 9.9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 7.08 6.65 6.24 5.85 5.47 5.12 4.78 4.46 4.16 3.87-16.18 5.79 5.42 5.07 4.73 4.414.11 3.83 3.56 3.31-2 5.37 5.02 4.68 4.37 4.07 3.79 3.52 3.27 3.03 2.81-3 4.64 4.32 4.02 3.74 3.48 3.23 3 2.77 2.57 2.37-4 3.98 3.7 3.44 3.19 2.96 2.74 2.54 2.34 2我们接下来考虑每种资产与驱动波动过程之间相关性的变化。我们首先来看资产正相关的情况，如图4所示。

在这张图中，我们看到，随着做空资产和波动性之间的相关性增加，价格也会增加，如图3所示。价格随着货币性和履约的变化，剩余的参数属于基准设置，而我们也看到，对于常数ρs（2）v，价格增加。我们降低了ρs（1）v的值。观察到的最高价格是短期资产和波动性之间的强相关性，以及长期资产和波动性之间的强负相关性。在另一种情况下，如图5所示，我们看到曲面旋转，当ρs（1）和ρs（2）v=1时，出现最大价格。然而，对于这两种情况，如表5所示，相关参数的选择对生产价格的影响非常小，因为我们在本例中看到生产的高价格和低价格之间几乎没有变化。查看图6中跳跃频率和资产相关性的影响，我们看到了有趣的结果。当我们看到价格的预期结果随着跳跃的频率和我们的相关性向-1、价格上涨不是线性的。如表6所示，对于较低的跳变频率，降低相关性的影响在-1附近的区域趋于减小，而对于较高的跳变频率，降低相关性的影响在ρs（1）s（2）=-1.显然，随着我们增加负相关性的跳跃频率，我们预计会发生更多的跳跃，因此我们预计潜在资产价格会朝相反方向发生更多的突然变动，这表现在我们模型下产生的更高价格中。我们还观察到，这两个参数都有16个MATTHEW CANE，PABLO Olivares图4。价格与资产波动率相关性的变化ρs（m）v，ρs（1）s（2）=+0.5，其余参数属于基准设置表5。

资产可用性相关系数ρs（m）v与ρs（1）s（2）变化的价格比较-5.0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.2 0 0 0.0 0 0 0.4 0 0 0.4 0 0 0.0 0 0.6 0 0 0 0 0.6 0 0 0 0 0 0.8 8 8 8 8 8.12 12.12 12.12 12.12 12.12 12.12.12 12 12.12.12.12 12.12 12 12.12 12 12.12 12 12 12 12 12 12.12.12 12.12 12 12.12 12 12 12.12 12 12 12.12 12 12.12 12 12.12 12 12 12.12 12 12 12.12 12.12 12 12 12 12 12.12 12 12 12 12 12.12 12 12 12 12 12.12 12 12 12 12 12.12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12.12.12 12 12 12 12 12.12.12.12 12 12 12 12.12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12.49 12.5 12.5 12.51 12.52 12.53 12.54 12.54 12.550 12.48 12.49 12.5 12.51 12.51 12.5112.52 12.53 12.54 12.55 12.550.2 12.48 12.49 12.5 12.51 12.51 12.52 12.53 12.54 12.55 12.560.4 12.48 12.49 12.5 12.51 12.52 12.53 12.54 12.55 12.560.6 12.48 12.49 12.51 12.52 12.53 12.12.52 12.53 12.54 12.56 12.12.55 12.12.12.56 12.12.52 12.12.48 12.12.12.12.48 12.48 12.48 12.12.48 12.12.49 12.12.49 12.12.12.12.52 12.12.12.12.53 12.12.12.12.53 12.12.12.12.12.52 12.12.12.12.12.12.12.12.12.53 12.12.53 12.12.12.12.12。观察每个资产的平均跳跃大小参数k变化的影响也很有趣。如图5所示。价格与资产波动相关性的变化ρs（m）v，ρs（1）s（2）=-0.5，其余参数属于基准设置表6。

价格的比较价格的价格的比较价格的价格的价格的价格的价格的比较价格的价格的价格的价格的价格的价格的变动的价格的价格的变动的价格的变动的价格的价格的变动的价格的价格的变动的价格的价格的价格的价格的价格的变动的价格的变动的价格的价格的价格的价格的变动的价格的价格的变动的价格的价格的变动的波动的波动的波动的价格的波动的价格的波动的价格的波动的波动的价格的波动的价格的价格的价格的波动的波动的价格的价格的波动的价格的波动的波动的波动的波动的波动的波动的价格的价格的波动的波动的价格的波动的价格的波动的价格的波动的波动的波动的价格的波动的波动的波动的波动的价格的波动的波动的波动的波动的波动的波动的波动的波动的波动的频率的波动的波动的波动的频率的波动的波动的波动的波动的波动的频率的波动的波动的波动的频率的波动的波动的波动的波动的波动的15.84 16.294.2711.11.11.11.11.11.11.12.12.12.12.12.12.12.12.12.11.11.11.11 11.11.11.11 11.11.11.11 11.11.11.11.11 11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11 11.11.11.11.11.11 11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.12 12 12 12 12 12 12 12 12 12.11.11.11.11.11.11.12 12 12 12 12.11.11.12 12 12 12 12 12.11.11.11.11.11.12 12 12 12 12 12 12 12 12.11.11.11.12 12.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12.3.8.45图7显示，我们看到当我们从相同的预期跳跃尺寸出发时生产的价格。虽然这一结果是可以预期的（如果我们相信一种资产的跳跃幅度比另一种资产的跳跃幅度更大，而不是我们18 MATTHEW CANE，PABLO Olivares图6。价格随跳跃频率和资产相关性的变化而变化，剩下的参数属于基准设置，应该相信资产之间的价差会发生变化），但变化的范围值得观察。我们还观察到，只要平均跳跃大小不相等，价格就会上涨，但不管平均跳跃大小的符号如何。表7显示价格对平均跳跃大小极其敏感，尤其是平均跳跃大小的差异。当我们将参数λ增加为跳跃次数时，这种影响会增大，因此跳跃对价格上涨的影响也会增大。在这些情况下，当我们离开平均跳跃大小相等的区域时，斜率会更快地增加。图8显示了资产可用性乘数σ（m）不同值的价格变化。

对于这两种资产，随着σ（m）的增加，我们看到其增加，因为这往往会增加每种资产的整体波动性。如表8所示，σ（m）的影响比其他参数更弱，因为它们倾向于线性增加价格，且价格似乎与σ（1）或σ（2）的相关性不强。最后，我们研究了跳跃大小方差对价格的影响，如图9所示。随着这两种资产跳跃方差的增加，我们看到了价格的上涨，正如我们预期的那样，而且是非线性的。差异的增加如图7所示。价格随着平均跳跃大小的变化，其余参数属于基准设置表7。英语英语常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用常用969.5310.3811.410.0512.3911.3910.46 9.67 9.07 8.77 8.86 9.32 10.090.1 14.3 13.16 12.04 10.98 10.03 9.28 8.82 8.77 9.130.15 16.49 15.27 14.01 12.76 11.55 10.45 9.52 8.9 8.710.2 18.97 17.69 16.35 14.97 13.57 12.21 10.92 9.81 9.01长期资产对价格的影响往往更大，由于多头资产增加其在空头资产上的利差的可能性更大，并且增加两种资产的跳跃方差往往会像我们预期的那样，综合影响。表9显示了跳跃大小差异20 MATTHEW CANE，PABLO Olivares图8。随着资产波动率乘数σ（m）的变化，剩余参数属于基准设置表8。