随机相关和跳跃扩散下的价差期权定价

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英文标题：
《Pricing Spread Options under Stochastic Correlation and Jump-Diffusion
  Models》
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作者：
Pablo Olivares and Matthew Cane
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This paper examines the problem of pricing spread options under some models with jumps driven by Compound Poisson Processes and stochastic volatilities in the form of Cox-Ingersoll-Ross(CIR) processes. We derive the characteristic function for two market models featuring joint normally distributed jumps, stochastic volatility, and different stochastic dependence structures. With the use of Fast Fourier Transform(FFT) we accurately compute spread option prices across a variety of strikes and initial price vectors at a very low computational cost when compared to Monte Carlo pricing methods. We also look at the sensitivities of the prices to the model specifications and find strong dependence on the selection of the jump and stochastic volatility parameters. Our numerical implementation is based on the method developed by Hurd and Zhou (2009).
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中文摘要：
本文研究了在复合泊松过程和Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程形式的随机波动率驱动的跳跃模型下的价差期权定价问题。我们推导了两个具有联合正态分布跳跃、随机波动和不同随机依赖结构的市场模型的特征函数。与蒙特卡罗定价方法相比，通过使用快速傅立叶变换（FFT），我们可以以非常低的计算成本准确计算各种不同的履约和初始价格向量的价差期权价格。我们还研究了价格对模型规格的敏感性，发现价格对跳跃和随机波动参数的选择有很大的依赖性。我们的数值实现基于Hurd和Zhou（2009）开发的方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Pricing_Spread_Options_under_Stochastic_Correlation_and_Jump-Diffusion_Models.pdf (1.11 MB)

2022-5-6 19:47:50 上传

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关键词：期权定价 volatilities Quantitative QUANTITATIV distributed

随机相关和跳扩散模型下的价差期权定价Matthew CANE，PABLO Olivares Abstract。本文研究了在复合泊松过程和Cox-ingroll-Ross（CIR）过程形式的随机波动率驱动的跳跃模型下的价差期权定价问题。我们推导了两种市场模型的特征函数，它们分别具有联合正态分布跳跃、随机波动和不同的随机依赖结构。与蒙特卡罗定价方法相比，通过使用快速傅立叶变换（FFT），我们可以在非常低的计算成本下，准确计算各种履约和初始价格向量的价差期权价格。我们还研究了价格对模型规格的敏感性，发现价格对跳跃和随机波动参数的选择有很大的依赖性。我们的数值实现基于Hurd和Zhou（2009）开发的方法。关键词和短语。扩展选项、快速傅立叶变换、多元跳跃扩散。1.引言本文采用二元逆Forier变换方法，研究了在相关复合泊松过程和随机波动率以CIR过程形式驱动跳跃的市场模型下，差价期权的定价问题。尽管Black-Scholes模型（见Black and Scholes（1973））是资产价格数学建模的一个重要飞跃，但目前已有大量证据表明，该模型未能捕捉金融市场观察到的关键经验特征。

Heston（1993）通过引入随机波动率动力学，对前者进行了扩展，以更好地模拟期权价格中观察到的隐含波动率微笑和微笑，而几位作者引入了随机跳跃，以捕捉资产价格的突然波动，见默顿（1974）和寇和王（2004）的先驱著作。另一方面，Bates（1996）结合了这两种特征，即随机波动性和跳跃性，这是最近在Thavenewaran和Singh（2010）以及Wang、Shashan和Shenghong（2009）中提出的一种观点。正如Cont和Tankov（2003）所指出的，跳跃和随机波动项的存在使得短期和长期微笑建模具有更大的灵活性。另请参见Zhanga和Wangb（2013），了解具有随机波动性、随机利率和跳跃的模型。这些模型中的大多数可以自然地扩展到多变量设置，以便对价值取决于多种资产的衍生品进行定价，如股票、篮子期权、关联期权、量子等。多资产衍生品的定价主要是在假设连续轨迹和标的资产之间的恒定相关性的模型下进行的，例如，参见Carmona和Durreman（2003）或Li、Deng和Zhou（2008），使用相应折扣指数预期收益的适当近似值。Dempster和Hong（2000）考虑了一个具有随机相关性但没有跳跃的模型的扩展，其中计算了具有随机比例波动率的资产模型的价差。另一方面，handHurd和Zhou（2009）考虑了当资产遵循双变量方差伽马Levyprocess描述的不连续轨迹时的价差期权定价。两种方法都使用FFT，尽管方式不同。自Carr和Madan（1999）引入FFT方法以来，FFT方法已成为单变量衍生工具定价的标准。

在由价差决定的二维网格上实现它仍然面临一些数值挑战，其中包括网格的影响、截断积分和计算价格时的误差阻尼参数。此外，在具有跳跃和随机相关性的模型下，二元FFT的实现似乎还没有被考虑。我们的发现表明，赫德和周的方法可以很好地适用于具有上述两个特征的模型。另见郭耀国、梁国诗和海英旺。Y.（2012）讨论效率和实施。值得注意的是，在这些情况下，蒙特卡罗技术需要大量模拟才能达到合理的精度，尤其是在考虑灵敏度分析时。本文的组织结构如下。在第2节中，回顾了期权定价的多元导数和傅里叶变换方法，介绍了Hurd andZhou（2009）概述的定价方法的推导过程。第3节介绍了资产价格变动市场模型的发展，以及我们选择市场模型背后的基本原理。然后，我们推导了两种市场模型的特征函数。第4节将研究我们实施蒙特卡罗和傅里叶变换定价工具的数值结果，并检查我们的模型对各种输入参数的敏感性。最后，第5节包含一个总结。2.多元导数与FFT定价方法我们考虑一对随机过程St=（S（1）t，S（2）t）0≤T≤基于随机基础的Tde(Ohm, A、 {Ft}t≥0，P），过滤{Ft}t≥0满足通常的条件。

考虑在到期日T具有任意支付F，H（ST）的欧洲衍生品。假设存在风险中性等价鞅测度qt，则t时刻导数的值（或价格）由以下公式给出：（1）V（ST）=e-射频（T）-t） 等式（H（ST）| Ft），其中Rf是一个确定的无风险利率，EQ表示Q下的预期值。虽然本文仅探讨差价期权的定价，但这里我们展示了其他多元衍生工具及其收益，以说明场外交易和通过交易所交易的产品选择。该方法很容易扩展到其他多资产衍生品，如交易所合约，参见Margrabe（1978）在Black-Scholes框架内的定价，以及Cheang和Chiarella（2008）在跳跃-差异市场模型下的定价，如篮子期权、关联期权和量子期权。差价期权是一种衍生品，其收益基于两种资产价格之间的差异。欧洲看涨期权在时间T的支付由以下公式给出：H（ST）=（S（1）T- S（2）T- K） +式中，K是履约价格，符号x+=max（x，0）。差价期权既被用作对冲工具，也被用作投机工具。差价期权在大宗商品市场上很普遍，可以用来对冲原材料的转换或生产成本。例如，裂缝扩展基于炼油产品（如汽油）和原油之间的价格差异。看看电力和石油价格之间的差异。例如，参见4 MATTHEW CANE、PABLO OLIVARESHikspoors和Jaimungal（2006年），或Hambly、Howison和Kluge（2007年）。差价期权也可以用作投机工具，因为它们允许购买者有效地“押注”两种资产之间的相关性。

例如，如果投资者认为资产之间的相关性将降低（因此价差可能扩大），投资者将做多看涨期权，而如果投资者认为相关性将增加（因此价差可能保持在同一水平），他们应该对基础资产进行看涨期权。当基础市场模型的特征函数已知时，傅里叶变换方法提供了一种有效且广泛使用的替代蒙特卡罗定价和其他数值方法的方法。Carr and Madan（1999）首先使用傅里叶变换对欧式看涨期权进行定价，而Dempster和Hong（2000）以及Hurd和Zhou（2009）都使用傅里叶变换方法对价差期权进行定价。Eberlien等人（2009年）概述了迄今为止已经研究过的单变量和多变量情况，并研究了基于一篮子资产最低价格的定价选项。傅立叶变换方法依赖于基础市场模型的特征函数知识。我们表示随机向量X=（X（1），X（2）。。。，X（d）乘：φX（u）=EQeiu·X为了你∈ R其中a·b表示a和b的标量积。我们用以下术语概述了赫德和周的方法：对于依赖于两种资产的导数，用傅里叶变换^HT（u）计算任意支付H（ST），导数在t=0时的价格可以计算为：（2）VT（s）=e-rfT（2π）ZZR+ieiu·SφST（u）^HT（u）du，其中我们注意到- Sis独立于S（因为它将出现在我们分析的所有模型中），我们可以写：EQ（eiu·ST | S）=eiu·SφST（u）。它首先将复域离散为：Γ={u（k）=（u（k），u（k））|k=（k，k），∈ {0,1，…（N）- 1） }其中ui（ki）=-N点上的u+kiη，其中u=Nη是数值积分的截断点。

根据我们对N，η和u的选择，我们可以将实域离散为：Γ*= {x（l）=x（l），x（l）|l=（l，l），∈ 0, ..., N- 1} ，xi（li）=-\'x+liη*η在哪里*=2πNη和‘x=Nη*. 合同的价值可以估算为：VT（S）~ (-1） l+le-rfTηN2πE-·x（l）hNPN-1k，k=1e-2πik·lNG（k）i=(-1） l+le-rfTηN2πE-·x（l）[i ffit2（G（k））]（l）这里i ffit2（J）表示J的二维逆FFT（或任何离散傅里叶变换），G（k）定义为：G（k）=(-1） k+kφXt（u（k）+i)^P（u+i）)其中，^P（u）定义为支付函数的傅里叶变换。扩散期权的傅里叶变换，K=1时的^H（u）为：（3）^H（u）=Γ（i（u+u）- 1)Γ(-iu）Γ（iu+1），其中Γ（a）是定义为Re（a）>0的复伽马函数。通过简单地改变变量，这种方法可以很容易地推广到k6=1，K>0的情况。如果我们将K=1时的利差值定义为：Spr（S（1），S（2），1）=e-rfTEQ（S（1）T- S（2）T- 1） +| S（1），S（2）对于k6=1的情况，我们可以把价差写为：Spr（S（1），S（2），K）=e-rfTEQ（S（1）T- S（2）T- K） +| S（1），S（2）如果我们改变变量Y（m）t=S（m）tkf或m=1，2，然后我们的方程变成：Spr（S（1），S（2），K）=e-rfTEQKY（1）T- Y（2）T- 1.+|Y（1），Y（2）= KSpr（Y（1），Y（2），K）=KSprS（1）K，S（2）K，1！我们还可以采取措施，确保我们的初始资产价格都位于逆网格Γ上*. 标准FFT方法实现了一个具有η和η相等步长的模型*=2πNη分别沿复平面和实平面的x轴和y轴。如果我们指定沿每个平面（即η（1）、η（2）和η）的每个轴的步长*(1), η*（2） ），我们可以消除网格点之间任何插值的需要。我们还可以在复平面umin中指定一个最小积分区间，并使用GivenBlow算法在网格上找到一个具有最小截断误差和每个初始资产价格的步长。

该算法可概括如下：算法2.1。选择步长η（m）的算法给定N，S（m）和umin（1）选择N，`umin。6 MATTHEW CANE，PABLO OLIVARES（2）对于每项资产m=1，2，初始价格S（m）设定对数价格X（m）=对数S（m）/K，执行价格K（3）设定‘uT est=πi-N/2X（米）。（4） 如果“uT est>”，则返回“uT est”。（5） 否则就3。资产动态上的跳跃-扩散随机波动模型我们研究了一类包含大跳跃和随机波动的多元有效模型，并使用涉及Ito公式的标准程序推导了其过程的特征函数。这门课可以看作是贝茨模型的多元情况的直接推广，seeBates（1996）。然后，我们在两个特定的模型上实现了FFT方法。具体而言，我们考虑资产价格和波动性的d维模型为：dS（m）t=S（m）tu（m）dt+S（m）tσ（m）qV（m）tdWS（m）t+S（m）t-d] Z（m）tdV（m）t=ξ（m）（η（m）- V（m）t）dt+θ（m）qV（m）tdWV（m）t（4）对于m=1，2，d、 其中，WS（m）和WV（m）皮重维纳过程分别驱动第m个资产和波动率的移动，Fzt是一个复合泊松过程，由跳跃强度因子λ的泊松过程fntof和独立的共同跳跃大小yjd驱动，通常分布在对数上，即对数Yj~ N（k，) 对于j=1，2，fNt。我们引入了布朗运动之间的关联：d[WS（m）t，WS（n）t]=ρS（m）S（n）dtd[WS（m）t，WV（n）t]=ρS（m）v（n）dtd[（WV（m）t，WV（n）t]=ρv（m）v（n）dt（5）对于n6=m，其中[a，B]表示a，B的二次协变量。同样，weassume]Z（m）tare独立于WS（n）和WV（n）tf）或任何n6=t。应用于lemma（m）t=dX（m）t=dX（m）t）logt=dX（m）t）- λk（m）-σ（m）V（m）t）dt+σ（m）qV（m）tdWS（m）t+dZ（m）t对于m=1,2，d、 其中Z（m）是一个具有多元正态Zt的复合泊松过程~ N（k，).

漂移分量u（m）在风险中性度量下固定为r- λk（m）。由于我们模型的跳跃和连续分量是独立的，所以Xt的特征函数是每个分量的特征函数的乘积：φXt（u）=φXct（u）φZt（u），其中xCTs是Xt的连续部分。因此，我们首先只考虑模型中的连续分量，我们通过X（m，c）tits m-th分量进行定义。我们有：（7）dX（m，c）t=（r- λk（m）-σ（m）V（m）t）dt+σ（m）qV（m）tdWS（m）twithdX（m）t=dX（m，c）t+dZ（m）tDe定义函数：（8）f（x，V，t，u）=EQ（eiu·XcT | XcT=x，Vt=V）通过标准应用费曼-卡克公式，我们对（7）中描述的模型，连续成分的特征函数满足以下PDE:0=Ft+dXm=1Fx（米）R- λk（m）-σ（m）v（m）+Fv（m）ξ（m）（η（m）- v（m））+dXm，n=1Fx（米）x（n）ρs（m）s（n）σ（m）σ（n）pv（m）v（n）+2Fx（米）v（n）ρs（m）v（n）σ（m）θ（n）pv（m）v（n）+Fv（m）v（n）ρv（m）v（n）pv（m）v（n）θ（m）θ（n）（9） 在终端条件f（x，v，T，u）=eiu·x下，一般方程（9）的系数是非线性的，如果不进一步简化假设，就无法得到封闭形式的解。我们考虑了我们的一般模型中的两个特定情况，其中一个有效结构存在，并将我们自己限制为两个资产。在第一种情况下，我们假设连续成分中的资产价格之间没有相关性（尽管我们允许通过跳跃捕捉相关性），我们将其称为独立波动性案例（即每项资产都有独立的波动性驱动其相关的连续成分）。

在第二种情况下，我们扩展了Dempster和Hong（2000）的模型，其中比例波动率被认为包括跳跃，我们称之为比例波动率或普通波动率情况。8 MATTHEW CANE，PABLO Olivares对于独立波动率的情况，我们做出以下假设：对于m6=n，ρs（m）s（n）=0；对于m=n（10），ρv（m）v（n）=0，对于m6=n，我们可以解出（9）中给出的偏微分方程。定理3.1。对于（4）中描述的市场模型，假设（10-11）中给出了Xt的特征函数，0≤ T≤ T由以下公式给出：φXt（u）=φXct（u）φZt（u），其中φXct（u）=eiu·X+C（T-t） +V·D（t）-t） φZt（u）=etλ（exp（iuTk-美国犹他州u）-1） D（m）（s）=2ζ（m）（1）- E-γ（m）s）2γ（m）- （γ（m）- ω（m））（1- E-γ（m）s）C（s）=Xm=1国际单位（米）R- λk（m）s-ξ（m）η（m）θ（m）“2ln2γ（m）- （γ（m）- ω（m））（1- E-γ（m）s）2γ（m）！+（γ（m）- ω（m）s#ζ（m）=-θ（m）（iu（m）σ（m）+u（m）σ（m））ω（m）=ξ（m）- iθ（m）σ（m）ρs（m）v（m）u（m）γ（m）=qω（m）- 2θ（m）ζ（m），其中D（m）、ζ（m）、ω（m）和γ（m）分别是向量D、ζ、ω和γ的第m个分量。证据我们的假设将（9）中给出的方程式简化为：0=Xm=1Fx（米）R- λk（m）-σ（m）v（m）+Fv（m）ξ（m）（η（m）- v（m））+Fx（m）σ（m）v（m）+2Fx（米）v（m）ρs（m）v（m）σ（m）v（m）θ（m）+Fm（v）θ（m）+F我们现在猜一个形式的解：f（x，v，t，u）=eiu·x+C（t-t） +v·D（t）-t） 其中C（t）- t） and d（t）- （t）=D（T）- t） D（t）- （t）只有t的功能。根据我们的猜测，它给出了：dCdt+Xm=1dD（m）dtv（m）=Xm=1国际单位（米）R- λk（m）-σ（m）v（m）+D（m）ξ（m）（η（m）- v（m））+-u（m）σ（m）v（m）+D（m）v（m）θ（m）+2（iu（m）D（m）ρs（m）v（m）σ（m）v（m）θ（m））Itis为m=1，2:dD（m）dt=-σ（m）iu（m）+u（m）-ξ（m）- iu（m）ρs（m）v（m）σ（m）θ（m）D（m）+θ（m）D（m）表示m=1、2和dcdt=Xm=1国际单位（米）R- λk（m）+ ξ（m）η（m）D（m）（s）根据等式（9）的终端条件，初始条件D（m）（0）=0，C（0）=0。