基于谱的二元Hurst指数估计

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英文标题：
《Spectrum-based estimators of the bivariate Hurst exponent》
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作者：
Ladislav Kristoufek
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We introduce two new estimators of the bivariate Hurst exponent in the power-law cross-correlations setting -- the cross-periodogram and local $X$-Whittle estimators -- as generalizations of their univariate counterparts. As the spectrum-based estimators are dependent on a part of the spectrum taken into consideration during estimation, a simulation study showing performance of the estimators under varying bandwidth parameter as well as correlation between processes and their specification is provided as well. The newly introduced estimators are less biased than the already existent averaged periodogram estimator which, however, has slightly lower variance. The spectrum-based estimators can serve as a good complement to the popular time domain estimators.
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中文摘要：
我们引入了幂律互相关背景下二元Hurst指数的两个新估计——交叉周期图估计和局部$X$Whittle估计——作为它们的一元对应估计的推广。由于基于谱的估计器依赖于估计过程中考虑的部分谱，因此还提供了一个仿真研究，显示了估计器在不同带宽参数下的性能以及过程与其规格之间的相关性。新引入的估计量比已经存在的平均周期图估计量有更少的偏差，然而，平均周期图估计量的方差稍低。基于谱的估计器可以作为流行的时域估计器的一个很好的补充。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> Spectrum-based_estimators_of_the_bivariate_Hurst_exponent.pdf (810.17 KB)

2022-5-6 21:05:47 上传

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关键词：Hurst指数 hurst Urs Mathematical correlations

二元Hurst指数的基于谱的估计Ladislav Kristoufekab我们在幂律互相关设置中引入了二元Hurst指数的两个新估计量——交叉周期图和局部X-Whittle估计量——作为其单变量对应量的推广。由于基于频谱的估计器依赖于估计过程中考虑的部分频谱，因此还提供了一项模拟研究，显示了估计器在不同带宽参数下的性能，以及过程与其规格之间的相关性。新引入的估计量比已经存在的平均周期图估计量有更少的偏差，但其方差稍低。基于谱的估计器可以作为流行的时域估计器的一个很好的补充。PACS编号：05.10-a、 05:45-a、 89.65。GH关键词：幂律互相关、长期记忆、基于频谱的估计器捷克共和国科学院信息理论与自动化研究所，CZ-182 08，电子邮件：kristouf@utia.cas.czbInstitute捷克共和国布拉格查尔斯大学社会科学学院经济研究所，CZ-110 00I。导言去趋势互相关分析（DCCA）[1-4]的引入开启了研究两个系列之间的互相关的一个新分支，该分支已在多个学科中找到了自己的归宿——水文学和（水文）气象学[5-7]、地震学和地球物理学[8,9]、生物学和生物测定学[10,11]、DNA序列[12]、神经科学[13]、音乐[14]、电学[15]，财务[16-18]、商品[19,20]、交易[21-23]等。从那时起，高度互相关分析（HXA）[24]和趋势移动平均互相关分析（DMCA）[20,25]作为DCCA的补充被引入。

这些估计器基于自相关函数ρ（k）在单变量情况下的幂律衰减，其中ρ（k）∝ k2H-2对于滞后k→ +∞. 赫斯特指数H是长程相关性的度量，它认为0≤ 对于静止系列，H<1。当H>0.5时，该过程正长程相关，并提醒人们注意一个趋势过程，然而，该过程返回到其平均值并保持平稳。由于这一特点，这种过程通常也被称为持久性过程。从另一方面来看，H<0.5意味着反持久性，其特征是符号频繁反转，总体上呈负相关。H=0.5时不存在长程依赖性。通过简单地将特性转换为二维（两个分析过程的互相关函数的幂律衰减），长程相关性被推广到双变量环境中。具体来说，我们有一个特定形式的滞后k的互相关函数ρxy（k），即ρxy（k）∝ k2Hxy-2对于滞后k→ +∞. 如果二元Hurst指数Hxy>0.5，我们有幂律互相关过程，或者交叉持续或长程互相关过程。这样的过程在它们的共同运动中是持久的，也就是说，如果这对序列在过去一起移动，它们在未来也更有可能一起移动[24]。这种定义是在时域中进行的。然而，我们也可以在频域中接近幂律互相关。幂律互相关过程的另一种定义是基于单变量定义的推广。交叉持续过程的特征是形式|fxy（λ）|的交叉功率谱∝ λ1-频率λ的2hxy→ 0+ [26].

因此，互相关函数的幂律渐近衰减简单地转化为靠近原点的互功率谱的幂律发散。这种关于幂律互相关的替代方法在跨学科物理学文献中仅被少量使用。在这里，我们介绍了两种基于幂律互相关谱定义的二元Hurst指数的新估计。具体地说，我们将交叉周期图估计量和局部X-Whittle估计量建立为它们的单变量估计量的推广，我们讨论了这些估计量的性质，并与唯一存在的基于谱的估计量——平均周期图估计量进行了比较[26]。在下一节中，详细描述了估计量。下一节讨论了带宽参数变化时估计器的精度。最后一节结束。二、基于频谱的估计器频域估计器基于这样一个定义，即在接近原点的频率处，交叉功率谱的幅度遵循幂律并发散到单位。交叉功率谱的估计至关重要。最常用的工具是交叉周期图Ixy（λ）定义的asIxy（λj）=2π+∞Xk=-∞bγxy（k）exp(-iλjk=2πTTXt=1xtexp(-iλjt）TXt=1ytexp（iλjt）=Ix（λj）Iy（λj），（1）其中T是时间序列长度，bγxy（k）是滞后k处的估计互协方差，λjis a频率定义为λj=2πj/T，其中j=1，2，bT/2c和bc是最接近的下整数运算符，因此交叉周期图仅定义在0和π之间。Ix（λj）是{xt}系列的周期图，Iy（λj）是{yt}系列的周期图的复共轭。如果交叉周期图以原始形式使用，那么显然，我们会自动获得Hxy=Hx+Hy。

此外，原始交叉周期图（以及原始单变量周期图）是真实交叉功率谱的不一致估计值[27]。为了克服不一致性问题，需要平滑原始（交叉）周期图。Bloom Field[28]提出了一种基于Daniell[29]的简单平滑算子，实际上是一种简单的移动平均，在边界值上有一半权重。一些作者[26,30,31]还建议首先对该系列进行稀释，以处理低频泄漏。在以下文本中，我们仅应用周期图的平滑，而不使用渐缩，因为它没有显示我们使用的估计器的任何有限样本效率或偏差增益。在本节中，我们将介绍二元Hurst指数Hxy的三个估计量，其中两个是新引入的。A.平均周期图估计器Sela和Hurvich[26]提出了平均周期图估计器（APE），事实上，他们是第一个提出Hxy估计量的人（或者更准确地说，在他们的情况下，d=Hxy）- 0.5（如在单变量情况下），在频域中。估计量是Robinson[32]方法的二元推广。取累积交叉周期图fxy（λ）=2πmPbmλ/2πcj=1Ixy（λj），其中m≤ T/2是一个带宽参数，可执行∈ （0，1），估计量由dhxy=1给出-logdFxy（qλm）dFxy（λm）2 logq.（2）在Sela&Hurvich[26]给出的12个假设下，估计量是一致的。此外，建议使用q=0.5。作者还提供了蒙特卡罗模拟研究，以显示估计器的有限样本特性。偏差和效率通过几种情况下的方框图显示，对于10000个观测值以下的样本，估计值具有高方差的强偏差。

对于高m值和高观测次数，估计量的方差显著减小，而估计量仍然存在偏差。B.交叉周期图估计器在交叉持续过程的定义中给出，交叉功率谱在原点发散为指数为1的幂律- 2Hxy。使用交叉周期图作为交叉功率谱的估计器，我们期望长程交叉相关序列遵循| Ixy（λj）|∝ λ1-2Hxyj。（3） 二元Hurst指数hxy的交叉周期图估计（XPE）可以通过回归nlog | Ixy（λj）|得到∝ -（2Hxy）- 1） 对数λj.（4），因为幂律标度仅适用于λ→ 0+，则不会在所有频率上执行回归。通过选择λj=2πj/T表示j=1，2，我在哪里≤ T/2，我们仅使用基于带宽参数m选择的选定频率的信息来估计二元Hurst指数。对于单变量情况，Beran[33]和Robinson[34]表明，周期图估值器与√m（伯克希尔哈撒韦）- H）→dN（0，π/24）（5）式中，他是真正的赫斯特指数。极限分布也与所有其他参数无关（Beran[33]的定理4.6给出了假设）。估计量的方差随着m的平方根减小，但我们需要记住，m参数越高，估计量的偏差越大，因为幂律标度仅适用于原始邻域。因此，m的选择取决于偏见和效率之间的偏好。然而，对于双变量情况，我们在模型的规格中有更多的参数——主要是独立过程的单变量赫斯特指数和最简单情况下误差项之间的相关系数——没有理由相信XPE估计量的性质与这些无关。

显示渐近性质需要一组严格的假设和基本的二元模型规范。在本文的上下文中，假设基础模型的某些特定规格是不合适的，因为我们试图尽可能保持方法的假设的一般性。因此，我们不提供该估计量的渐近性质，并将其留待进一步研究，但我们仍将讨论该估计量的均值和方差对参数集的依赖性，并在下一节稍后将其与其他两种基于频率的估计量进行比较。C.局部X-Whittle估计器分数微分参数d或Hurst指数H的局部Whittle估计器基于与之前定义的周期图估计器相同的原理——功率谱的幂律发散。然而，不是回归拟合到原点附近的幂律标度，而是λ→ 0+，局部Whittle估计基于基于K¨unsch[35]的惩罚函数的最小化。以Robinson[36]的工作为出发点，推广了二元级数的方法，我们提出了二元Hurst指数Hxy的估计量，如下所示。对于长程互相关过程{xt}和{yt}，假设靠近原点的互功率谱的幅度与幂律标度的发散。交叉周期图Ixy（λ）根据公式1定义，其中j=1，2，我在哪里≤ T/2和λj=2πj/T。假设序列{xt}和{yt}确实是与<Hxy的长程交叉相关≤ 1.我们提出了localX-Whittle估计量（LXW）asdHxy=arg-min<Hxy≤1R（Hxy），（6）其中（Hxy）=对数mmXj=1λ2Hxy-1j | Ixy（λj）|-2Hxy- 1mmXj=1logλj（7）和λj=2πj/T。式7表示K¨unsch[35]的似然函数。

因此，LXW估计器是一种半参数极大似然估计器，因为它仅利用了理论原点附近的交叉功率谱的特性。与XPE估计器类似，局部Whittle估计器的单变量版本在特定情况下是一致且渐近正态的√m（伯克希尔哈撒韦）- H）→dN（0，1/4）（8），其中，他的真二元Hurst指数和极限分布与所有其他参数无关。因此，当1/4<π/24时，局部Whittle估计比周期图估计渐近更有效。有关单变量情况和假设的详细处理，请参见[36]。在二元情况下，同样没有理由假定渐近性质与一元Hurst指数和误差项的相关结构无关。关于这些可能的依赖关系的讨论，以及与APE和XPE的比较，见下一节[38]。三、 对带宽参数的依赖如前一节所述，带宽参数m的选择是频域估计器的一个关键方面。正如关于估计器的单变量规格的研究[33,34,36]所述，方差应随参数而减小，偏差应增大。前者是因为估计基于更多的数据点，后者是因为交叉功率谱的幂律标度仅适用于最低频率。在这里，我们展示并讨论了上述基于频率的目标函数的均值和方差相对于变参数m的行为。我们讨论了长程互相关过程的两种主要情况——有幂律相干性行为的过程和没有幂律相干性行为的过程，即当二元赫斯特指数Hxyis不是或是时，等于单独的赫斯特指数Hx和Hy的平均值。

对于后一种（更简单的）情况，我们使用具有相关误差项且d=d=0.4的ARFIMA（0，d，0）——自回归分数积分移动平均——过程，对于前一种情况，我们使用具有d=d=0.4和d=d=0.2的混合相关ARFIMA过程[37]。具体地说，对于给定的d参数和an（d）=Γ（n+d）Γ（n+1）Γ（d），相关的ARFIMA过程{xt}和{yt}被给出为xt=∞Xn=0an（d）εt-n（9）yt=∞Xn=0an（d）νt-nhεti=hνti=0hεti=σε<+∞hνti=σν<+∞hεtεt-ni=hνtνt-ni=hεtνt-当n6=0hεtνti=σεν<+∞.混合相关ARFIMA过程定义为=+∞Xn=0an（d）ε1，t-n++∞Xn=0an（d）ε2，t-10（yt）=+∞Xn=0an（d）ε3，t-n++∞Xn=0an（d）ε4，t-当i=1,2,3,4hεi时，nhεi，ti=0，当i=1,2,3,4hεi，tεj，t-对于n6=0和i，ni=0，j=1,2,3,4hεi，tεj，ti=σij，j=1,2,3,4和i6=j。对于t=5000个观测值的时间序列，研究了这两种过程，以及在0.2和1之间变化的误差项之间的相关性，步长为0.2。为了揭示对m的依赖性，我们使用m/T from 0。05到0.5，步长为0.05。因此，我们覆盖了从最低频率的十分之一到整个交叉周期图的交叉周期图。对于每种规格，我们使用1000个模拟和Sela&Hurvich[26]中使用的Daniell窗口21。通过这种方式，我们能够就误差项和带宽参数m之间的相关性对偏差和估计器方差的依赖性进行评论。1和2显示了相关和混合相关的EDARFIMA过程的模拟结果。在图1中，我们观察到，对于相关的ARFIMA过程，我们预计二元Hurst指数等于单独Hurst指数的平均值[37,39]，特定方法的偏差行为有所不同。

对于LXW和XPE，我们观察到了一种预期行为——估计值在大约m/T的情况下是无偏的≤ 0.2，即最低频率。对于较高的m值，估计值会向下偏移。有趣的是，对于所有三个估计量，偏差实际上与误差项之间的相关性水平无关。然而，对于APE，估计值的平均值在不同的m中非常稳定，但仍远远低于理论值0.9，并产生约为0.9的负偏差-0.05. 同样，偏差实际上取决于误差项之间的相关性。对于混合相关ARFIMA过程，即幂律相干情况，情况更有趣。在图2中，我们可以看到估计值的平均值取决于所有三个估计值的m和误差项之间的相关性。总的来说，它认为，随着误差项之间的相关性增加（这是预期的），估计值的偏差较小，但m也较高。因此，估计值的性能不仅取决于参数，还取决于模型的规格，如两种情况之间的差异所示。对于估计量的方差行为，情况非常相似。在图3中，我们将这种行为与单变量情况下的理论渐近方差（对于LXW和XPE）进行了比较。我们观察到对所有三个估计量都适用的几个规则。首先，方差随着m的增加而减小。其次，方差随着误差项之间相关性的增强而减小。第三，对数描述表明了参数m的幂律标度。对于LXW和XPE，我们可以将这种标度与相应单变量估计量的渐近标度进行比较，可以看出，这些可以被视为单变量情况下的平方根标度。