离散时间期限结构理论与一致性再校准模型

然而，byeφat（u，v，t，t+x）=φat（u，v，x）+x-1Xk=0u（u，t+k）离散时间期限结构理论21我们立即在定义7.1中获得上述表达式（7.2）。表达式（7.2）非常简单，因为其中只出现φ和注释φ。这是将（eX，Y）用作驾驶噪音的另一个理由。备注7.3。注意，集合I（at，y）与x（6.3）无关。注意，位移项α是根据命题6.5中提供的赫尔白张力“静态”有效随机波动性模型计算得出的。备注7.4。CRC模型的过程Z具有由θ决定的正向特征，这一事实由命题6.5通过归纳得出：在每个时间t，下一个增量仅由一个普通的壳白扩展给出，该扩展具有参数at和初始配置θt。通过假设θt+1∈ I（在+1处，y）在t+1处，我们知道可以为+1处的参数和初始配置θt+1建造另一个船体白色延伸。以下定义定义了参数b的集合J（y，θ），给定初始值y，则θ位于上方。定义7.5。对于一个给定的有效随机波动率模型（X（a），Y（a）），Y（a）=Y，远期特征θ，集合J（Y，θ）表示一组可容许参数b，使得θ∈ I（b，y）。注意，J（Y（a），θ）至少包含一个ifθ∈ I（a，Y（a））。定理7.6。设（X（a），Y（a））表示一个具有参数向量a的有效随机波动率模型。之前引入的随机差异方程（7.1）具有适用于自适应过程（at）的规律解（定义在一些可能扩展的概率空间上）≥0当且仅当o初始配置θ位于具有参数a的有效随机波动率模型之上，即θ时，在容许参数中取值∈ I（a，Y（a））.o参数值过程满足以下条件：∈ J（Yt）在-1） ，θt）表示t≥ 1.证据。通过归纳法。备注7.7。

CRC模型是一个由内生或外生给定的随机过程（at）所驱动的有效随机波动过程的赫尔-怀特扩展所产生的一步演化的串联≥0.换句话说：即使我们正在改变有效随机波动率模型的参数（通常通过重新校准实现），我们仍然能够编写一个一致的动力学（使用赫尔-怀特扩展技术）。从数值的角度来看，一个精心选择的有效随机波动率模型会导致人们对增量的迅速理解ε，与纯HJM型模型相比，其复杂度更低。此外，如果模型参数变化不太快，在小时间尺度的因子模型内定价是可能的。因此，CRC模型在长期内是一致的，同时适当地纳入了日常信息。值得注意的是，J（Yt）在-1） 定义7.5中的，θt）通常是一个很好的集合，即使内部非空，也不会出现不良约束。即使容许参数s通过船体白色延伸引入的冗余自由变化，我们也能够抑制这种影响。算法7.8。因此，模拟算法的结构如下：22 ANJA RICHTER和JOSEF Teichmano选择初始项结构θ，参数a的初始向量，初始对数价格和方差X，Ysuch t hatθ∈ 我（a，Y）。o模拟（X（a），Y（a））的一个周期，初始值为X，相对于初始正向系数θ，HullWhite延伸的Yo∈ 我（a，Y）。o由此得到的配置θ通过构造位于I（a，Y（a））。

选择随机变量a∈ J（Y（a），θ）并继续构造一个关于aforθ的新的壳白延伸。定理7.6的结果可以转化为以下时间序列情形：我们已经证明存在随机过程（ηt）t≥关于某些因素驱动过程Y=（Yt）t，ηt=At+mXi=1bitytwi形式的项结构≥0，以及术语结构在前向特征意义上所属的某个潜在过程ss X。在我们的构造中，有一个潜在的有效随机波动模型，它决定了构造。系数A和b是随机的，用φ和ψiC表示，对于i=1，m、 B的随机性仅取决于参数向量a的变化，而a的随机性取决于选择合适的壳白延伸。这个过程η描述了期限结构的充分丰富的无套利演化，可以进行校准。算法7.9。O该设置中的观测由η和X的足够长的轨迹给出，其中X允许提取Y的时间序列（在可能的坐标网格上）。然后，校准算法可以如下所示：o选择一类由参数向量A参数化的有效随机波动率模型（X（A），Y（A）。o获得实现的轨迹t7→ （Xt，ηt.）提取（估计）已实现轨迹t7→ 使用非参数化程序根据η的第一个差值的时间序列估计Bi的（参数）形式，其对应于确定ψC，即。

确定ψC中出现的a的所有参数。检查ηt是否“充分高于”，以证明线性结构方程ηt=At+Pmi=1BitYit根据方程AT=ηt确定At-mXi=1bityi，并根据项结构ηt，fort校准全参数向量At≥ 0.o选择t 7的型号→ 符合定理7的一致性条件。6.备注7.10。除了使用两步程序模型参数解释过程和船体白度扩展进行估计，我们还可以使用贝叶斯方法，即t 7的过滤模型参数→ 在与经典校准相比，之前的校准算法还具有“贝叶斯特征”，以建立在过去所有信息的基础上。离散时间期限结构理论23例7.11。为了方便读者，本示例以连续时间形式提供，但它可以很容易地一次一次地转换为离散时间。此外，它强调了我们可以在[2]的意义上考虑设置切线模式LSI，因为我们认为切线模型本身应该已经尽可能好了。在本例中，我们描述了基于期权定价理论（切线）Heston s ToCastic波动率模式l类的一致性重新校准模型：设X为资产对数价格的连续时间Heston模型，即dXt=-Ytdt+pYtdWtdYt=a（b- Yt）dt+cpytdbt用于t≥ 这里W和B是相关ρ的两个布朗运动∈ [-1,1]和参数a、b、c∈ R满足Feller条件2ab≥ C

众所周知，参数b代表长期方差，a是非平稳方差Y接近b的速率，c r代表波动性的波动率。我们可以导出特征函数fa和RaC（在连续时间内！）Heston模型（X（a），Y（a）），即Fa（u，v）=abvRaC（u，v）=u+cv+cρuv-U- （1+a）vfor（u，v）∈ 通过求解常微分方程，U和函数φa，ψactφa（u，v，t）=Fa（u，ψaC（u，v，t））tψaC（u，v，t）=RaC（u，ψaC（u，v，t））表示t≥ 0和初始值φa（u，v，0）=0和ψaC（u，v，0）=v。毫不奇怪，赫斯顿期权价格通常不能很好地反映当今不同市场的所有期权价格。我们没有拼写出相应的离散时间方程，但我们注意到，在等距离离散时间观察到的连续时间过程是一个离散时间过程。首先，我们按照[4]中概述的方法解释校准程序：给定一个轨迹（即使是重新采样的圆盘！）对于对数价格X和正向特性η，我们可以从X的二次变化推断Y的轨迹，然后推断函数R及其正确的参数值t7→ （a（t），c（t），ρ（t））由η的二次变化通过估计连续鞅部分的积分二次变化的技术得到。接下来，我们求解AAt=ηt的线性方程-mXi=1bityi并通过B（其中c对应于R）和Y的估计获得沿观察时间窗口的A的表达式。这两个步骤共同为我们提供了一个可预测的T7→ （a（t），b（t），c（t），ρ（t））=a和瞬时船体白度t 7的选择→ u（θt）。

因此，这种校准包括期权价格和股票价格本身的时间序列的全部信息。最后，我们可以为T7选择一个模型→ 在哪个网站上最满意∈ J（Yt）在-1） ，θt）。这意味着，我们从参数a中选择at，该参数具有以下性质：ter m结构θtca可以写成初始配置I（b，Yt（at-1） 24.ANJA RICHTER和JOSEF Teichmanif不是根据我们想要模拟未来的数据选择模型，而是选择初始期限结构θ、初始对数价格X和初始方差，并选择参数向量a=（a（0），b（0），c（0），ρ（0）），使θ∈ 我（a，Y）。然后，我们在均匀模型（X（a），Y（a））中加入赫尔白扩展，并在未来一步模拟这种非均匀模型。我们现在可以根据条件a选择新的容许（随机）参数向量a=（a（1），b（1），c（1），ρ（1））∈ J（Y（a），θ），并在本段开头继续，导致校准到atime系列的正向特性的任意年龄演化。参考文献[1]Carmona R.，Nadtochiy S.（2009）。局部波动动态模型。《金融与随机》，第13卷，第一期，第1-48页。[2] 卡莫纳R.，纳托基S.（2012）。切线L’evy市场模型。《金融与随机》，第16期，第63-104页。[3] 卡尔·P.，马丹D.（1999）。使用快速傅立叶变换进行期权估值。《计算金融杂志》，第2期，第61-73页。[4] Cuchiero Ch.，Teichmann J.（2014）。跳跃情况下路径协方差估计的傅里叶变换方法，发表于SPA，2014年。[5] 杜菲德。，菲利波维·c·D.，Schachermayer W.（2003）。一套财务流程和应用。《应用概率年鉴》，13984-1053。[6] 菲利波维奇，D.，泰奇曼，J.（2004）。关于利率期限结构的几何学。伦敦皇家学会会议记录。A系列。

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