离散时间期限结构理论与一致性再校准模型

过程特征（κXs（u））s≥0，u∈ 通过自适应随机过程exp（ihu，Xsi-s-1Xk=0κXk（u））！s≥0是u的鞅∈ RnandκXs（0）=0表示s≥ 0.并不是每个过程都符合正向特征过程：我们可以证明以下一致性结果，这是正向特征过程的特征。为了说明结果，我们假设过程η相对于另外给定的过程ε：=（εt）t有一定的分解≥0，也比较[13]。定义2.5。我们说复值过程（ηs（u，t））0≤s≤TFU∈ Rn有一个关于Rd值过程ss（εt）t的分解≥0如果存在复值适应过程（αs（u，t））0≤s<tand（σis（u，t））0≤s<t为u∈ Rn，i=1，d、 （2.1）αt（u，t）=0，σit（u，t）=0表示t≥ 0，u∈ r与i=1，d和（2.2）ηs+1（u，t）- ηs（u，t）=αs（u，t）+dXi=1σis（u，t）ε为0≤ s<t和u∈ 注册护士。在这里εt:=εt+1- εt代表t≥ 0.备注2.6。引入规范化（2.1）是为了避免可预测性的概念，并允许使用更简单的公式。请注意，这些值可以自由选择，因为它们不进入方程式（2.2）。2.7的提议。设X是一个自适应随机过程，其值为Rnandlet（ηs（u，t））0≤s≤t是一个复杂的适应过程族∈ 因此，对于一个过程ε，存在分解（2.2）。那么η是X的正向特性的过程当且仅当X（2.3）κXs（u）的过程特性上的短端条件=ηs（u，s）表示s≥ 0和u∈ Rn和漂移条件（2.4）κXs（u）-T-1Xk=sαs（u，k）=κ（X，ε）s（u，-信息技术-1Xk=sσ。s（u，k））表示0≤ s≤ t和u∈ 这是真的。证据

与连续时间理论相比，这种说法的证明是基本的，因为既不需要随机积分，也不需要过程特征理论：假设η实际上是X的正向特征过程，那么短端条件是相应离散时间期限结构理论定义的直接结果。漂移条件（2.4）是否成立还有待证明。这源于e[exp（ihu，Xti）|Fs]=exp的事实ihu，Xsi+t-1Xk=sηs（u，k）为了0≤ s≤ t和你∈ 定义一个鞅当且仅当η是一个偏离正向特征的过程（特别是ηs（0，t）=0表示0≤ s≤ t） 。因此，我们必须检查是否存在“expihu，Xs+1”- Xsi+t-1Xk=s+1ηs+1（u，k）- ηs（u，k）- ηs（u，s）！Fs#=1或0≤ s<t代表u∈ 注册护士。让我们假设鞅性：当我们插入η的分解时，我们确实得到了期望的断言，因为“expihu，Xs+1”- Xsi+dXi=1T-1Xk=sσ是（u，k）ε是- ηs（u，s）+t-1Xk=sαs（u，k）！Fs#=1if且仅当ηs（u，s）-T-1Xk=sαs（u，k）=κ（X，ε）s（u，-信息技术-1Xk=sσ。s（u，k））表示0≤ 通过对过程特征κ（X，ε）和短端条件的定义，s<t成立。注意，我们可以通过备注2.6扩展k=s+1 tok=s的和。相反地，假设过程η满足两个规定的条件，然后通过逆转之前的结论，我们得到所需的鞅性质，从而得出证明。备注2.8。如果以与η类似的方式分解X，则可以进一步简化之前的条件：我们假设（2.5）Xs+1- Xs=βs+dXi=1γ是ε为0≤ s和u∈ Rn，具有适应的，Rn值的随机过程β，γi，i=1，d、 然后通过定义2.3，我们得到了（2.6）κεs（hu，γ.si）+ihu，βsi=κXs（u）≥ 0和u∈ Rn和（2.7）κεs（v+hu，γ.si）+ihu，βsi=κ（X，ε）s（u，v）表示s≥ 0和u∈ Rn，v∈ 路。

这很好地解释了（X，ε）的联合过程特征如何表达X和ε之间的es依赖关系。注意，没有对过程ε施加先验限制，因此我们可以计算X相对于X本身的正向特性η——如果可能的话，即ε=X。在有效过程的情况下，这尤其有用，如第6章所示，其中允许使用更简单的公式。8安贾·里克特和约瑟夫·泰奇曼马克2.9。局部独立性的概念尤为重要（与[13]中相应的概念相比）：如果（2.8）κ（X，ε）s（u，v）=κXs（u）+κεs（v）表示u，则称X和ε为局部独立∈ Rn，v∈ Rd.在这种情况下，漂移条件（2.4）简化为（2.9）-T-1Xk=sαs（u，k）=κεs(-信息技术-1Xk=sσ。s（u，k））表示0≤ s≤ t和u∈ 注册护士。备注2.10。正向特征编码随机过程SSX增量分布的项结构，即Xt的分布-Xs，代表0≤ s≤ t、 以时间s处的信息F为条件。请注意，在正向特性的过程中存在冗余信息（与过程特性的过程相反），这反过来会转换为漂移条件，如（2.4）正向特性的过程。3.远期特征在数学金融中的应用本节我们将介绍三个例子，其中远期特征实际上出现在利率理论、期权定价理论和信用风险理论（众所周知）的数学金融模型中。3.1. 可预测过程的远期特征——利率理论。我们考虑一个离散时间的银行账户过程b:=exp（s）-1Xk=0Rk）适用于s≥ 0和一些实值短期利率过程（Rs）≥0

我们定义了综合短期利率Xs:=Ps-1k=0RKS≥ 0并考虑其病房特征η，即“exp（iut-1Xk=sRk）Fs#=expT-1Xk=sηs（u，k）为了0≤ s≤ t、 我们假设它对于一个过程ε是可分解的。由于X是可预测的，X和任何适应的过程ε都是局部独立的，因为[exp（iu（Xs+1- Xs）+ihv，εs+1- εsi）|Fs]=expκXs（u）+κεs（v）因为Xs+1对于s是可测量的≥ 0.此外，我们假设E（exp（（1+δ）|X |）<∞ 对于某些δ>0，我们可以将正向特性的定义扩展到条带R×[-1,1]i.如果我们在上面的等式中选择u=i，我们可以通过过程识别这个离散时间设置中的远期利率过程(-ηs（i，t））0≤s≤t、 更重要的是零息债券价格≥ s≥ 0由p（s，t）=E“exp给出(-T-1Xk=sRk）Fs#=expT-1Xk=sηs（i，k）.注意，漂移条件（2.9）与[9]和[10]中给出的著名的Jm漂移条件（在连续时间内）相关，其中首次研究了前向离散时间项结构理论的动力学。在这种意义上，正向特性和相应的漂移条件扩展了正向速率和HJM漂移条件的框架。3.2. 鞅对数的正向特征——期权定价理论。我们考虑了一个描述价格过程的鞅过程的对数X。我们再次假设E（exp（（1+δ）|X |）<∞ 对于某些δ>0，我们可以将正向特性的定义扩展到剥离器×[-1,1]i.远期特征通过以下公式[exp（iuXt）| Fs]=exp与具有“傅里叶”支付的欧式期权价格相关（另见开创性论文[3]）iuXs+t-1Xk=sηs（u，k）为了0≤ s≤ T

换言之：远期特征对给定时间s前信息的XT条件定律进行编码，这相当于Breeden-Litzenberger公式对完整期权价格面的了解。这种方法的动态、连续时间版本是切线L’evy模型方法[2]的起点。S=exp（X）的鞅条件转化为ηS(-i、 t=0表示所有0≤ s≤ t、 参见[13]中的相应公式。局部独立性意味着驱动过程的不依赖性，或者从期权定价理论的角度来看，即杠杆消失。3.3. 可预测过程和即时恢复的前瞻性特征——信用风险理论。我们考虑一个具有可预测的第一坐标和一般第二坐标的二维过程（X，X）。我们再次假设（exp（（1+δ）kXk））<∞ 对于某些δ>0，将正向特性的定义扩展到带R×[-1，1]i.从信用风险理论的角度来看，我们可以将S:=exp（X）理解为瞬时恢复过程，B:=exp（X）理解为无风险银行账户过程。我们可以通过SSP（s，t）=E定义可违约债券价格SP（s，t）BsStBt财政司司长为了0≤ s≤ t并理解（i，-i） 作为可违约债券价格的对数，考虑到一些定价方法Q。更准确地说，P（s，t）=EBSSTBTS财政司司长= E经验- （Xt）- Xs）+（Xt- Xs）财政司司长= 前任警察T-1Xk=sηs（i，-i、 （t）.请注意与外汇市场的类比，它遵循了[12]中介绍的观点。仿射过程的正向特性在本节中，我们将介绍离散时间有效过程，并对其正向特性得出一些初步结论，这对于ANJA RICHTER和JOSEF Teichmanca的计算尤其容易。对于连续时间均匀和非均匀过程的严格处理，请分别参见[5]和[7]。

像往常一样，离散时间理论是完全基本的。定义4.1。设D是一个封闭的凸域，其内部非空且Rn中含有0。一类适应随机过程（Xxt）t≥0代表x∈ D 如果函数性质（4.1）E[exp（hu，Xxti）|Fs]=exp，则称为时间齐次函数过程φ（u，t）- s） +hψ（u，t）- s） ，Xxsi为了0≤ s≤ 给定确定性函数φ，ψj:U×N的t→ C、 对于j=1，n、 这是真的。换句话说：条件特征函数在状态向量X中是指数函数。这里我们用U表示并集∪M≥1UmwithUm:={u∈ Cn | supx∈D|exp（胡，习）|≤ m} 。我们总是假设归一化φ（u，0）=0，ψj（u，0）=u代表u∈ Uand j=1，d、 这使得函数φ和ψ是唯一的。备注4.2。一个有效过程是马尔可夫过程，因为对整个过去的条件期望只取决于现在。备注4.3。我们可以通过求函数φ（u，s，t）和ψ（u，s，t）的存在性来分析非齐次线性过程≤ s≤ t和u∈ 4.4上的U.Propositi。设X是一个时间非齐次有效过程，则前向特征满足-1Xk=sηs（u，k）=φ（iu，s，t）+hψ（iu，s，t）- iu，Xxsi，或——通过取第一个差值——ηs（u，t）=φ（iu，s，t+1）- φ（iu，s，t）+hψ（iu，s，t+1）- ψ（iu，s，t），Xxsi，表示0≤ s≤ t、 分别。此外，函数φ和ψ是以下微分方程的唯一解，其中向量场F和R（我们使用向量场的概念来类比Riccati ODEs），φ（u，t，t+1）=F（u，t）（4.2）ψ（u，t，t+1）- u=R（u，t）φ（u，s，t+1）=F（u，t）+φ（u+R（u，t），s，t）ψ（u，s，t+1）=ψ（u+R（u，t），s，t）和初始值φ（u，s，s）=0和ψ（u，s，s）=0≤ s<t.证明。

这个证明是对对数的有效性质和唯一性的简单应用，因为[E[exp（hu，Xxti）|Fs]|Fr]=E[exp（φ（u，s，t）+hψ（u，s，t），Xxsi）|Fr]=expφ（u，s，t）+φ（ψ（u，s，t），r，s）+hψ（ψ（u，s，t），r，s），Xxri为了0≤ R≤ s≤ t、 一方面。另一方面，有效的转换公式导致[E[exp（hu，Xxti）|Fs]|Fr]=expφ（u，r，t）+hψ（u，r，t），Xxri,离散时间项结构理论11因此，通过表示的唯一性，我们得到了0的半流动性质φ（u，s，t）+φ（ψ（u，s，t），r，s）=φ（u，r，t）（4.3）ψ（ψ（u，s，t），r，s）=ψ（u，r，t）≤ R≤ s≤ t、 u∈ 这些方程立即转化为asserteddi微分方程。另一方面，差分方程（4.2）的精确定义解满足半流动性质（4.3）：我们通过归纳法- r=n假设该语句对所有0都为真≤ R≤ s≤ 带- R≤ n、 TheRiccati方程（4.2）则得出0≤ r<s≤ tψ（u，r，t+1）=ψ（ψ（u，t，t+1），r，t）=ψ（ψ（u，t，t+1），s，t），r，s）=ψ（ψ（u，s，t+1），r，s），其中第二个和第三个等式使用归纳假设（注意t+1）- s≤ n） 。以类似的方式，我们可以得出φ（u，r，t+1）=φ（u，t，t+1）+φ（ψ（u，t，t+1），r，t）=φ（u，t，t+1）+φ（ψ（u，t，t+1），s，t）+φ（ψ（ψ（u，t，t+1），s，t），r，s）=φ（u，s，t+1）+φ（ψ（u，s，t+1），r，s）为0≤ r<s≤ t通过归纳法假设结果成立- R≤ N备注4.5。为了达到这一目的，我们将离散时间设置转换为连续时间设置，其中时间非均匀过程的理论已在[7]中得到阐述。请注意，Riccati微分方程与通常的前向微分方程在第一眼看到的情况不同，因为“向量场”是插入水流中的，而不是像通常那样反过来。

持续的时间限制导致以下交通PDE（4.4）tψ（u，s，t）=Dψ（u，s，t）（R（u，t））和tφ（u，s，t）=F（u）+Dφ（u，s，t）（R（u，t））为0≤ s≤ t具有标准初始条件ψ（u，s，s）=u和φ（u，s，s）=0，这两个条件控制φ和ψ的结构。然而，这种传输PDE可能与ODE的解决方案有关。给定一个C（时间非齐次）解，将其转化为广义Riccati方程sψ（u，s，t）=-R（ψ（u，s，t），s）和sφ（u，s，t）=-F（ψ（u，s，t），s），表示0≤ s≤ 具有标准初始条件ψ（u，t，t）=u和φ（u，t，t）=0的t（注意常微分方程时间s中的向后字符）。我们得到了所有0的半流性质ψ（ψ（u，s，t），r，s）=ψ（u，r，t）和φ（u，s，t）+φ（ψ（u，s，t），r，s）=φ（u，r，t）≤ R≤ s≤ t、 对这些方程的微分导致了之前提到的输运偏微分方程（4.4）。在时间均匀向量场的情况下，向前和向后流动之间的差异是多余的，因为它们重合。请注意，对于有效过程理论而言，与反向ODE相对应的正向传输方程是完全正确的观点（然而，在连续时间内，它是等效的）。12 ANJA RICHTER和JOSEF Teichmanin对有效过程的应用赫尔-怀特延拓在利率理论中发挥了特殊作用。我们可以在一个通用的框架中考虑前向特性的赫尔白扩展。让我们首先描述Riccati方程（4.2）的解决方案类别，它对应于4.6中F:Propositi的变化。考虑时间齐次有效过程的Riccati方程（4.2），即表征系统的向量场F和R不依赖于时间。

考虑一张地图（u，t）7→ u（u，t），当与R和F（u，t）相关的Riccati方程：=F（u）+为t定义的u（u，t）时≥ 0和u∈ 所有初值都有唯一解，且eφ（U，s，t）=t-1Xk=sF（ψ（u，t）- 1.- k） ）+u（ψ（u，t）- 1.- k） ，k）和ψ（u，s，t）=ψ（u，t）- s） 为了0≤ s≤ t和u∈ 美国证据。通过归纳法。船体白延伸的想法只是为了看到，通过改变F（而不改变R），人们已经可以获得D上过程的多种初始正向特性，即所谓的初始c配置。这些配置可以通过适当选择随时间变化的映射来参数化。我们需要一些符号来使这个模型更精确：我们在这里应用连续函数的复杂集合 u 7→ 如果u=0时的值log f（u）是固定的，则f（u）6=0是唯一定义的，参见示例[14]。在我们的例子中，我们总是使用u=0时的归一化。定义4.7。集合incdde指出在点（0，t）（u，t）7处消失的连续函数集合→ 日志E特警（胡，（YT）为了你∈ U、 t≥ 对于随机过程Y，取D中的值y+Y∈ 为了所有的人∈ D、 和s≥ 0.定义4.8。固定一次齐次过程X，取D中的值，用特征函数φ和ψ以及时间0处的初始值X。

让我们∈ IncD，theneφ（u，s，t）=t-1Xk=sF（ψ（u，t）- 1.- k） ）+u（ψ（u，t）- 1.- k） ，k）和ψ（u，s，t）=ψ（u，t）- s） 为了0≤ s≤ t和u∈ U、 定义分布的特征函数的对数-1Xk=0ν（u，k）：=eφ（iu，0，t）+heψ（iu，0，t）- iu，雄D代表0≤ t、 从今以后，我们用I（x）表示这样的初始正向特性的集合。注意，对于每个元素∈ I（x）至少有一u∈ 让它成为罪魁祸首。换句话说：I（x）是一组初始配置，它“高于”给定过程的边缘分布，即F由额外的跳跃分量修改，其在时间t的增量以exp（u（u，t））表示∈ U.离散时间期限结构理论13下一个命题表明，对于任何初始配置，我们实际上可以构造一个时间不均匀的随机过程，在时间s=0时达到这一正向特性：4.9的命题。设X是一个具有特征函数F、R和ψ的时间齐次a ffine过程。然后对于每个初始值x∈ D和每个初始配置ν∈ I（x）存在一个从x开始的唯一随机过程∈ D具有特征函数sef，R和ψ，在这个意义上-1Xk=seηs（u，k）=eφ（iu，s，t）+hψ（iu，t- （s）- iu，Exsiforu∈ Rn，0≤ s≤ t、 其初始正向特性eη等于ν。对于给定的初始配置ν，该过程称为X的壳白延伸。证据设X是一个时间齐次的过程，如上所述∈ D并让ν∈ 我（x）是固定的。然后就有了∈ 就这样-1Xk=0ν（u，k）=eφ（iu，0，t）+hψ（iu，t）- iu，xit≥ 0和u∈ 注册护士。因此，我们可以通过设置（在法律上）eXt+1=XfXt+Yt，为t≥ 0