离散时间期限结构理论与一致性再校准模型

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英文标题：
《Discrete Time Term Structure Theory and Consistent Recalibration Models》
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作者：
Anja Richter and Josef Teichmann
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We develop theory and applications of forward characteristic processes in discrete time following a seminal paper of Jan Kallsen and Paul Kr\\\"uhner. Particular emphasis is placed on the dynamics of volatility surfaces which can be easily formulated and implemented from the chosen discrete point of view. In mathematical terms we provide an algorithmic answer to the following question: describe a rich, still tractable class of discrete time stochastic processes, whose marginal distributions are given at initial time and which are free of arbitrage. In terms of mathematical finance we can construct models with pre-described (implied) volatility surface and quite general volatility surface dynamics. In terms of the works of Rene Carmona and Sergey Nadtochiy, we analyze the dynamics of tangent affine models. We believe that the discrete approach due to its technical simplicity will be important in term structure modelling.
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中文摘要：
在Jan Kallsen和Paul Kr的一篇开创性论文之后，我们发展了离散时间正向特征过程的理论和应用\\“uhner。特别强调的是波动表面的动力学，它可以从所选的离散角度很容易地制定和实施。用数学术语，我们为以下问题提供了一个算法答案：描述一个丰富的、仍然易于处理的离散时间随机过程类，其边际分布在初始时间给出，并且是自由的f套利。在数学金融方面，我们可以用预先描述的（隐含的）波动率面和相当普遍的波动率面动力学来构建模型。根据Rene Carmona和Sergey Nadtochiy的工作，我们分析了切线仿射模型的动力学。我们相信，由于其技术简单，离散方法在期限结构建模中将非常重要。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Discrete_Time_Term_Structure_Theory_and_Consistent_Recalibration_Models.pdf (281.46 KB)

2022-5-6 21:33:27 上传

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关键词：期限结构 离散时间 一致性 Mathematical Applications

离散时间期限结构理论和一致性再校准模型Sanja RICHTER和JOSEF Teichmananabstract。在Jan Kallsen和PaulKr–uhner[13]的一篇开创性论文之后，我们发展了离散时间正向特征过程的理论和应用。特别强调的是挥发性表面的动力学，它可以很容易地从所选的离散角度进行描述和实现。用数学术语，我们提供了以下问题的算法答案：描述一类丰富的、仍然易于处理的离散时间随机过程，其边缘分布在初始时间为given，且无套利。在数学金融方面，我们可以构建具有预先描述（隐含）的波动表面和相当普遍的波动表面动力学的模型。根据Rene Car mona和Sergey Nadtochiy[1,2]的工作，我们分析了切线模型的动力学。我们相信，由于其技术简单，离散方法将是重要的结构间建模。1、简介金融中的模型选择通常是通过将模型参数（和初始值）校准到当前市场的流动衍生品价格来完成的。这种做法依赖于选择模型的特殊类别和一些选择标准，即关于当前市场价格的逆问题m的解。作为一个序列，结果有两个标签：特别选择校准程序（mo de l类别和选择标准）和（敏感）依赖于今天的数据。这种方法的困难有两方面：一是一旦我们扩大模型类，重要的甚至是可观察的模型属性可能会改变；二是当我们明天重新校准模型时，校准的参数集可能会改变。

第一个问题与校准程序的不稳定性有关，第二个问题与校准程序的不一致性有关。首先，让我们开发一些术语：我们将始终采用经典的观点，即我们相信折扣市场价格（也可能是一个确定因素）遵循所谓的鞅过程（St）0≤T≤对于一个定价指标，在一个足够长的时间间隔[0，T]（应该一劳永逸地将其视为一组离散时间点）。当我们考虑衍生品时，我们考虑的是一个交易不会导致套利的大型金融市场，日期：2021 9月6日。关键词和短语。正向特征过程、波动面、校准、有限维实现、一个有效过程。作者衷心感谢ETH基金会的支持。两位作者都非常感谢Ozan Akdogan、Philipp Harms和David Stefanovits的宝贵评论。第二作者感谢圣彼得堡切比雪夫实验室的热情款待，在这里提交了本文的第一个版本，特别是感谢亚娜·贝洛普·奥尔斯卡娅和埃琳娜·什米列娃的宝贵评论。2 ANJA RICHTER和JOSEF Teichmanw因此存在一个等价的martinga le测度Q，参见[8]。模型是一个时间非齐次马尔可夫过程（Xt）0≤T≤t用一些已知的确定函数G求出，使得St=G（t，Xt）表示t∈ [0，T]。一个模型（类）包含两组未知量：第一组是模型的当前状态XO，第二组是决定其生成器A的模型参数。通常，当前状态和模型参数作为模型参数加在一起，但我们仔细区分这些实体：状态变量X的随机运动是模型特征，而生成器A是模型常数。

显然，使状态空间变得非常高维有助于随着时间的推移合并不一致，但通常会导致非常微妙的校准问题。这导致，e。g、 利率理论，以著名的HJM理论为基础，其中一致性是一个内置的模型特征。另一方面，低维状态空间有助于保持校准过程的可行性、稳定性和鲁棒性，但随着时间的推移，会导致模型不一致。第二种方法对应于选择局部波动性或时间依赖性模型作为模型类别，其中状态空间最终是一维的。相比之下，在HJM激励的方法中，例如在动态波动率面（见[16]、[17]）、局部波动率（见[1]）或切线L’evy模型（见[2]），发电机的先前特定类别也成为一个状态变量。在这项工作中，我们在两个极端之间提出了一种更平衡的方法，这需要在一个相当普遍的环境中仔细地重新访问船体白色延伸部分。用利率理论的话来说：我们希望在HJM方程的意义上保持模型的一致性，但我们也希望在有限因素模型的意义上保持可操作性。为了不让我们的领导因为繁琐的技术计算而失去耐心，我们在一个离散的时间段内提出了这个理论的独立版本。人们可以清楚地看到，在离散时间建模的基础上，一致的动态脆弱性表面演变的众所周知的困难是如何消失的。第一个想法是标准的：我们建立了一个有限维的状态空间，通过构造来编码严重的初始术语结构。作为codebook，我们选择了所有可能的分布配置，没有任何限制，这与考虑局部波动或切线L’evy过程的模型不同。

第二个想法是非标准的：我们对状态空间进行了适当的叶化，以在stillrich重新校准特性和令人满意的动力学特性之间取得平衡。我们在下面的段落中通过一个从利率理论中借用的连续时间例子来概述这个想法：Let（Rt）t≥0成为短期利率的Vasiˇcek模型，即dRt=（b- aRt）dt+σdWt，R∈ R在这种情况下，与衍生工具相对应的债券价格很容易计算，但今天的（通用）债券价格为T7→ P（0，T）可能无法通过初始值和剩余的三个模型参数a、b和σ进行完美校准。Hull White extension的想法是引入一个依赖时间的参数，以实现完美的校准，因此以下依赖时间的Asiˇcek modeldRt=（b- aRt）dt+σdWt+c（t）dt，R∈ Ris建议替换第一次的同质模型。在这种情况下，我们可以从t7开始计算→ P（0，T）——在温和的正则性假设下，给定参数a，b，σ和初始值R——t7的函数形式→ c（t）。然而，缺点是时间期限结构理论随着时间的推移不一致，因为明天的重新校准可能会导致其他模型参数a、b、σ，尤其是另一个函数t 7→ c（t）。再看一下船体白色延伸的程序，我们实际上使用了两步方法：首先是a、b、σ和稀有固定，然后是t 7→ c（t）由初始值计算得出：换句话说，在第一个校准步骤中，我们通过选择兰德模型参数a、σ和常数b，大致解释了今天的债券价格s。这将导致校准中的总体结果。在第二次校准步骤中，我们选择曲线t 7→ c（t）使得模型drt=（b- aRt）dt+σdWt+c（t）dt，R∈ 雷克斯完美地调整了债券价格。

这是根据之前的考虑，可能的和可能的广告，以运营商C映射债券价格T7→ P（0，T），模型参数a，b，σ和状态值Rto a曲线T7→ c（t）。自b和t 7以来，该程序中存在明显的冗余→ c（t）具有重叠效应。我们将利用这种冗余的优势：我们可以想象一种设置，其中参数a、b和σ实际上是随机的，并且引入了Hull White扩展以保证时间一致性。让我们更详细地解释一下：我们现在考虑参数a，b，σ的随机变化：考虑一个外部给定的过程（at）t≥0=（a（t），b（t），σ（t））t≥0，那么我们原则上可以理解RT=（b）- a（t）Rt）dt+σ（t）dWt+C（Ptangent（t，）；t（t），t（t，R）∈ 初始债券价格是t7→ P（0，T）。这里是符号Ptangent（t，.）指时间t的Vasiˇcek bo和价格，参数（a（t），b（t），σ（t）），初始值和船体白延伸曲线7→ c（s）=c（Ptangent（t，）；a（t），b（t），R（t））（s），代表s≥ t、 从分析的角度来看，这个方程看起来不清楚，但我们可以很容易地想象这个方程的分裂方案的一步是什么样子的：我们从一个（适当的）小时间步开始, 初始参数a（0），b（0），σ（0）和R，初始曲线t7→ P（0，T）和相应的HullWhite扩张7→ c（s）：=c（Ptangent（0，）；a（0），b（0），R（0））（s）表示s≥ 下一步我们模拟一个欧拉步骤到未来导致R, i、 急诊室= R+（b（0）- a（0）R） + σ（0）dW+ c（0）然后我们计算债券价格Ptangent(, .) 对应于a（0），b（0），σ（0），R, 和s 7→ c（s+). 现在，拆分方案的第二部分开始：wesimulate value a(), b(), σ() 并计算出一个新的船体白度延拓c:=c（Ptangent(, ·), a(), b(), R). 得到的曲线是s7→ ~c（s）我们重新开始分裂步骤。

请注意，这个等式不是通常意义上的SDE，因为它分别定义在债券价格空间和远期利率上。它相当于根据R的分布在任何时候t的特征来重新考虑麦肯恩-弗拉索夫方程。tRsds，适用于所有时间t。模型初始化为t 7→ P（0，T）是完全校准的，这也提供了初始船体白色延伸。很明显，在参数过程a和初始项结构4的某些密耳正则条件下，ANJA RICHTER和JOSEF Teichmant 7→ P（0，T）一切都很明确。它仍然需要理解一致性，即“exp”-ZTRsds#= P（0，T）。然而，这是因为经验-ZtsRuduPtangent（t，t）财政司司长= p为0的T（s，T）≤ s≤ T≤ T，这似乎是正切项结构Ptangent（T，T）在其整体描述中的定义属性（不同描述为-兹特鲁杜Ptangent（t，t））0≤T≤这是一个鞅）。然而，这个定理的精确公式将在本文的连续时间版本中得到证明。本文将证明它的离散时间版本，见定理7.6。如果——而不是a的外生规定——我们依靠每天的重新校准，显然我们可以在这种情况下通过改变模型参数来处理，而不完全牺牲Vasiˇcek动力学。从有限维的角度来看，微小的动力学仍然是Vasiˇcek类型，但我们会在一定程度上改变Vasiˇcek动力学的类型（更准确地说是参数a、b和σ）。有人可能会问，考虑一致的重新校准模型而不是HJM型模型的实际优势是什么。

答案有两个方面：首先，即使是HJM类型的模型，一致性再校准模型的增量也是特殊类型的，因为它们来自有限因子模型，而这些模型看起来像众所周知的有限因子模型。在数值数学中，增量的分布结构通常可以精确地描述，不需要在随机基础上进行近似。如前一个例子所示，模型空间上的叶理结构（在利率模型领域称为赫尔-怀特延伸）对该框架起着重要作用。现在，我们可以用ageneral a ffine模型代替Vasiˇcek mo de l，并考虑在远期汇率空间上叶面叶的壳白延伸，例如[6]。我们称这种模型为通过（通用化的）船体白扩展构建的一致性重新校准模型。本文的目的是介绍这类方程的离散时间理论。这是数学中的许多地方之一，在这些地方，在有限维方程（带重新校准的短期利率方程）上的有限维视图（在利率的情况下，这是HJM方程）有助于理解理论。在所有这些理论考虑之后，本文的主要结果可以描述如下：我们可以找到s-tochastic过程（ηt）t≥0在术语结构（第2节语言中的正向特征）的向量空间中获取值，这些术语结构具有ηt=At+nXi=1bitytwi类型的线性结构，与某些因素驱动过程Y=（Yt）t有关≥0，以及术语结构所属的某个基本过程X（在前向离散时间术语结构理论5第2节特征的意义上）。已经有了确定性系数A和BIWE，我们可以校准一个非常丰富的初始项结构η族。

Conca-tenatingsuch过程连续地导致随机过程η仍然描述术语结构的无套利演化，现在也可以根据选择的串联模式重新校准。由于上述线性模型结构，关于y和η的单个轨迹y的知识允许通过η和y的二次变量估计来计算B。最后，通过解线性方程组可以推断出红色。我们首先集中在正向特性的多变量理论上，这将在第2节中介绍。在第3节中，我们概述了正向特征在数学金融中的几种应用。在第4节中，我们展示了一个流程的大型模型类具有特别简单的特性。在第5节中，我们介绍了对应的HJM类型方程的正向特性，并通过对有限维实现的分类提供了一个解决方案理论，见第7节第6节。这些解决方案对应于一致的重新校准模型。2.前向特征处理let(Ohm, F、 （Ft）t≥0，Q）表示在有限离散时间点集上具有增强过滤的过滤概率空间，其由t表示的旋转滥用表示≥ 0.通常我们考虑时间刻度的整数倍，特别是我们只考虑等距时间网格。我们考虑一个（多变量）随机过程X:=（Xt）t≥0取Rn中的值，我们可以看到，例如，作为价格过程的对数或作为综合短时间过程。假设所有过程都是自适应的，有些过程是可预测的。

在整篇文章中，（定价）措施Q下的预期将用E表示，Rnby h·、·i上的标量积表示。关于离散时间随机金融的其他表示法和细节可在[8]中找到。我们首先定义了X的边际分布的期限结构，即它们的RFO-urier变换。定义2.1。在随机过程中取随机值ηs（u，t）0≤s≤t、 u∈ Rn，ηs（0，t）=0表示所有0≤ s≤ t称为X-ifE[exp（ihu，Xt）的正向特征过程- Xsi）|Fs]=expT-1Xk=sηs（u，k）为了0≤ s≤ t、 备注2.2。注意，对于所有0，归一化ηs（0，t）=0≤ s≤ t确保地图u 7→ ηs（u，t）是连续的，通过应用复对数唯一定义。如果我们有额外的先验矩，我们可以将正向特征的定义扩展到一个适当的条带，在其内部包含纯虚向量。此外，该定义隐含地假设了增量的特征函数- Xs不会消失，因为η始终被认为具有绝对价值。在这里，我们可以通过允许-∞, 但我们并不是为了简单而遵循这个原则。正向特性是过程特性的概念，在这种离散设置中，过程特性将简单地对应于增量Xs+1的特性函数的基本形式- Xs，即前向特性ηs（，s）的短端，对于s≥ 0.6安贾·里克特和约瑟夫·泰奇曼德定义2.3。设X是一个取Rn值的适应随机过程，然后是适应随机过程族（κXs（u））s≥0，u∈ Rn，定义见[exp（ihu，Xs+1- Xsi）|Fs]=expκXs（u）对于s，κXs（0）=0≥ 0被称为X的（过程）特征。备注2.4。