离散时间期限结构理论与一致性再校准模型

这里我们使用一个随机过程Y和增量t独立的（在可能扩大的概率空间上），使其增量满足要求特警（胡，（YT）= exp（u（u，t）），t≥ 0和Xxa是一个随机变量，在时间1时实现时间齐次有效过程，与Ftand Y无关，对于x∈ D.通过假设X和X，这唯一地定义了状态空间为D的随机过程Y然后，通过迭代一步条件期望和X:Ehexp（hu，eXti）的有效性质，推导出了X的条件特征函数Fsi=ehexp（hu，XeXt-1+ Yt-1i）英尺-1iFsi=Ehexp（φ（u，1）+hψ（u，1），eXt-1i+u（u，t- 1))Fsi=expφ（u，t）- s） +hψ（u，t）- s） ，eXsi+t-sXk=1u（ψ（u，k- 1） ，t- k） ）为了你∈ U和0≤ s<t。对于Ex的正向特性，它遵循-1Xk=seηs（u，k）=eφ（iu，s，t））+hψ（iu，t）- s） )- iu，Exsiforu∈ Rnand 0≤ s≤ t、 这给出了ef（u，t）：=F（u）+u（u，t）的结果∈ U、 t≥ 014安贾·里克特和约瑟夫·泰奇曼马克4.10。请注意，此时的processeX不是马尔可夫过程，而是仅定义为初始值x∈ D和初始配置ν。然而，我们可以用一种完全相似的方式定义一个有效的、时间不均匀的马尔科夫过程，该过程具有特定的系数a和R，从而保持D不变。备注4.11。作为上述结构的一个特殊情况，可以考虑这种情况，而仅在First坐标中，例如，添加独立跳跃。例4.12。我们考虑一维过程的壳白扩展。让（Rt）t≥0是满足随机微分方程Rt+1=Rt+（b）的高斯过程- 艺术，艺术∈ R、 对于t≥ 0，r参数a，b，σ和序列（Wt）t≥0个独立的、相同分布的中心正态随机变量，方差为1。

这是一个自[exp（u（Rt+1）]以来的讨论时间过程- Rt）| Ft]=exp（u（b）- aRt）+σu/2），其产生R（u）=（1- a） u和F（u）=bu+σu/2。我们实际上也可以计算函数φ和ψ，即ψ（u，t）- s） =（1）- a） t-suandφ（u，s，t）=t-1Xk=sb（1）- a） t-1.-ku+σ（1）- a） 2（t）-1.-k） u,为了你∈ U.Hull White extensions将更改F，在这种情况下，不受状态空间限制尤其容易。我们首先使用所有可能的Hull-White扩展，通过选择函数u进行参数化，例如u 7→ u（u，t）是每个t的累积量生成函数≥ 0.然后我们定义F（u，t）=F（u）+u（u，t），它定义了一个时间不均匀的有效过程，在每个时间点t添加独立的累积量u（，t）。计算φyieldseφ（u，s，t）=φ（u，s，t）+t-1Xk=su（1- a） t-1.-ku，k）代表你∈ U.给定初始正向配置ν，然后是T型方程-1Xk=0ν（u，k）=eφ（iu，0，t）+hψ（iu，t）- iu，xit≥ 0和u∈ Rnholds true，允许递归计算函数u。我们这么说∈ I（x）当且仅当函数∈ IncD，即u（，t）是累积生成函数。离散时间期限结构理论155。正向特征过程的随机差分方程在正向特征理论中作为自然例子出现，也具有显著的几何特性。

为了说明这一点，我们需要为正向特性建立一个随机微分方程，以便构造正向特性的马尔可夫过程。随机微分方程的状态空间为D×ΘD，但为了方便起见，我们研究了凸子集Rn×Θ上的方程。ΘD或Θn分别表示函数集srn×n （u，x）7→ θ（u，x）等于-1k=0θ（u，k）是随机过程的特征函数的对数，其值分别为D，或Rn，r。然而，等式的公式将基于希尔伯特空间G，通过以下定义给出：定义5.1。设G是定义在Rn上的连续复值函数的希尔伯特空间（或包含Rn的更一般的集合，取决于建模目的），即 C（Rn；C）。如果H是函数θ：N的希尔伯特空间，则H称为前向配置希尔伯特空间→ G、 i.e.H lw（N；G），即加权序列空间，这样（1）我们有一个连续嵌入H L∞loc（Rn×N；C）。（2） 移位半群（Stθ）（u，x）：=θ（u，t+x）是H上x，t的线性算子的强连续半群≥ 0和u∈ 注册护士。（3） 有限活动的功能L’evy Khintchine类型（u，t）7→ ia（t）u-uTb（t）u+ZRn（exp（iuξ）- 1） νt（dξ），（u，t）∈ Rn×N，位于H中，其中a、b、ν分别是在N上定义的函数，取Rn中的值，在Rn上定义的正半无限m atr，以及在Rn上定义的有限正度量（这对应于具有独立增量和有限活动的过程）。备注5.2。请注意，Hilbert空间的元素在Mus iela参数化中得到了理解，因此在续集中用不同的字母表示。

我们有关系ηs（u，s+x）=θs（u，x），与到期时间x:=t- s、 在续集中，我们定义了一个随机微分方程，它表达了命题2.7：定义5.3的条件。设H为前向配置Hilbert空间。我们将以下系统称为随机微分方程xxt+1- Xt=βt+dXi=1γitεit，（5.1）θt+1- θt=Sθt- θt+α（t，Xt，θt）+dXi=1σi（t，Xt，θt）εitX∈ Rn，θ∈ 16岁的安贾·里克特和约瑟夫·泰奇曼≥ 0和映射α：N×Rn×H→ Hσi:N×Rn×H→ 具有向量场（α，σ）、初始项结构θ和初始值X的正向特性的Ha项结构方程o如果ε是一个随机过程，取Rd、β和γi中的值，i=1，d、 是适应的随机过程，其值以Rn，oif，s为单位≥ 0，以下一致性条件保持（5.2）κεs（hu，γ.si）+ihu，βsi=θs（u，0），o如果，对于s，x≥ 0和（X，θ）∈ Rn×Θn，以下漂移条件满足κεs(-ixXk=0σ。（s，X，θ）（u，k）+hu，γ。si）=κεs（hu，γ.si）-xXk=0α（s，X，θ）（u，k）。（5.3）备注5.4。请注意，上述随机微分方程并不是严格意义上的微分方程，因为我们需要额外的条件（5.2）和（5.3）。这两个条件都与命题2.7不同，分别是更精确的关系式（2.6）和（2.7）。因此，过程β和γ由θ的短端决定。备注5.5。Musiela参数化的引入实际上意味着向量场向左移动1。通过滥用符号，我们使用了与备注2.6中相同的字母，然而，向量场α（t，X，θ）（u，0）在k=0 o处的计算与原始坐标中1处的计算相对应。备注5.6。我们不假设θt∈ Θn，即使随机差异方程的解释可能在某个时间点丢失。备注5.7。

如果向量场α和σi不依赖于X，则可以考虑θ的随机微分方程，并构造X的后验概率。通常人们认为σia是先验给定的，α服从漂移条件（这也表示X和θ动力学之间的依赖关系）。我们不采取这种观点，而是选择向量场α和σ，以满足漂移条件。因此，σi也可能包含关于参数模型相关性或依赖性的信息，见第6节。定理5.8。考虑初始值X的正向特性（5.1）的项结构方程∈ Rnandθ∈ Θn，假设β和γ是通过（5.2）指定的，那么过程X和ηs（u，t）：=θs（u，t- s） 为了0≤ s≤ t是一个过程X及其正向特性η。证据证明是命题2.7的直接结果。备注5.9。注意，我们不需要假设θ∈ 因为这直接遵循鞅条件。四分之一的存在导致了所有其他时代的入侵。离散时间期限结构理论17备注5.10。β和γ的不同可能选择对应于X和ε之间的不同依赖结构。因此，在一般的cas e.6中，不仅不期望出现唯一性，而且也不希望出现唯一性。有限维实现与连续时间实现相比，有限维实现的理论也要简单得多。这是因为，只要给我们一个特殊的随机微分方程，每个子空间都是微分方程的本质。因此，随机不变性意味着一个子空间位于入侵子流形内。

我们还应该看到，有效模型的Hull White扩展似乎是有限维实现的一类自然示例。我们首先从基本考虑开始：6.1的提案。设H+1型随机Hilbert方程为ε-1- θt=Sθt- θt+α（t，θt）+dXi=1σi（t，θt）εit，θ∈ H、 向量场α，σ，σd:N×H→ H.假设每个进程的支持都会增加εt，t≥ 0已满，即Rd，让M H是H的k维子流形。流形M由（6.1）在M中开始的解保持不变，当且仅当对于所有θ∈ M和λ∈ Rdit认为θ7→ Sθ+α（t，θ）+dXi=1σi（t，θ）λi。定义从M到M的映射。特别地，M包含一个有效的ub空间，并且沿着这些子空间σi（t，θ）∈ tθ+α（t，θ）+Pdi=1σi（t，θ）λim对于i=1，m、 θ∈ M和所有λ∈ 这是真的。证据应用M的不变性，在增量和相应支撑上的条件立即在自映射上产生a序列。将带参数的导数取为λ得到第二个断言。在这一点上，我们不会进一步研究这种流形的精确结构，因为离散时间的存在，这项任务可能不那么有趣（比较[6]中的连续时间设置，以及其中的参考文献）。我们只是指出，这些有限维子流形（如果列出的话）非常重要，因为它们构成了为模型定制的参数化函数族，用于校准初始正向配置。我们知道，在远期特征的期限结构方程领域，许多差异方程的例子都承认了有限维变量子流形，例如一个有效随机波动率模型的真实成分：定义6.2。

具有状态空间Rn×C的一个有效过程（X，Y） 如果（6.2）E[exp（hu，Xti+hv，Yti）|Fs]=exp，对于一个完全凸锥C，Rm+n称为有效随机波动率模型u（v，φt）- s） +hu，Xsi+hψC（u，v，t）- s） ，伊西18安贾·里克特和约瑟夫·泰奇曼0≤ s≤ 给定确定性函数φ，ψjC:U×N的t→ C、 对于j=1，m、 这是真的。为了方便起见，我们把初始值（x，y）放在符号中。备注6.3。请注意，只要存在有效结构，这些模型还包括对连续时间随机波动率模型的讨论。命题4.9 c的赫尔-怀特扩展肯定适用于一个有效的随机波动率模型。一个有效的随机波动率模型的一个特殊特征是，过程Y在其自身的过滤中是一个马尔可夫过程。因此，我们可以尝试在不改变过程Y的情况下执行船体白延伸，但只改变X的过程特征。从几何角度来看，这将导致正向特征的Term结构方程以及有限维子流形的叶化。引理6.4。假设（X，Y）是一个有效的随机波动率模型，那么被估值的分量Y是一个马尔可夫过程。证据如果我们在方程（6.2）中设置u=0，我们立即认为右手边只依赖于Y，这证明了马尔可夫性。6.5的提议。设（X，Y）为一个有效的随机波动模型。然后求出初始值x∈ Rn，y∈ C和每个初始配置ν∈ I（x，y）=：I（y），由累积量函数定义∈ IncRn（即。

其影响仅影响前n个变量，而完全不影响Y），存在一个从（x，Y）开始的随机过程（eX，Y）∈ Rn×C=D，具有特征函数sef，R和ψ，在t的意义上-1Xk=seηs（u，v，k）=eφ（iu，iv，s，t）+hψC（iu，iv，t）- （s）- 第四，第五部分（u，v）∈ Rn+m，0≤ s≤ t、 其初始正向特性eη等于ν。这个过程被称为（X，Y）的壳白延伸（eX，Y），用于初始配置。证据根据命题4.9。例6.6。假设（X，Y）是一个有效的随机波动模型，那么X的前向特征过程通过（6.3）t给出-1Xk=sηs（u，k）=φ（iu，0，t- s） +hψC（iu，0，t）- （s）- iu，0分≤ s≤ t和u∈ 注册护士。因此，我们可以在正向配置的希尔伯特空间上定义向量场，即σi（u，x）=σi（θ）（u，x）：=ψi-nC（iu，0，x+1）- ψi-nC（iu，0，x）表示x≥ 0，u∈ Rnandθ∈ H、 i=n+1，n+m.选择一个驱动过程ε=（X，Y）（在我们所有的考虑中不一定是一个鞅），我们有一个形式为（6.4）θt+1的θ分解- θt=Sθt- θt+α（θt）+m+nXi=n+1σiεit，离散时间项结构理论19，其中α根据相应点θ处的漂移条件计算。更精确地说，我们可以设置α（θ）=-Sθ+θ。这可以通过重写θ的（6.3）来看出，θ给出-s-1Xk=0θs（u，k）=φ（iu，0，t）- s） +hψC（iu，0，t）- （s）- iu，0分≤ s≤ t和u∈ 注册护士。取t中的差分并替换k=t- 我们有θs（u，k）=φ（iu，0，k+1）- φ（iu，0，k）+hψC（iu，0，k+1）- ψC（iu，0，k），表示0≤ s和u∈ 注册护士。然后得出θt+1- θt=m+nXi=n+1σi易-n因此（6.4）满足α（θ）=-Sθ+θ。此外，由于θ被定义为X的正向特征过程，漂移和一致性条件会自动满足。

然而，校准到与有效随机波动率模型不先验对应的任意初始项结构需要不同的α选择，而且并不总是可能的。7.一致的重新校准模型随机差异方程（5.1）由于其涉及的漂移非常具有挑战性。幸运的是，之前的结果产生了一种特别简单的方法来求解arich类（5.1）型方程，即模型，其一步从T7开始→ t+1由一个时间不均匀的、有效的随机波动率模型（即使有随机变化的参数）描述。由于一致性条件在一个时间步中完全表达，因此将一个有效的一步与不同的模型参数连接起来，可以保持一致性。然而，在每个时间步之后，必须调整船体白色延伸。还请注意，这些模型的连接通常不再重要，但仍然相对容易实现和校准：定义7.1。设a为表示有效随机波动率模型（X（a），Y（a））的容许参数的参数向量，并考虑一个适应过程（at）t≥0在有效随机波动率模型的容许参数空间中取值。进一步考虑集合I（at，y），它对应于初始正向配置I（x，y），具有定义4.8中的容许参数。为了方便起见，我们省略了初始值x（因为它不依赖于x），但强调了对函数过程的参数向量的依赖性。当关系θ∈ I（a，y）表示至少有一个u∈ 定义具有初始正向特征θ的Hu-llWhite延伸，如命题6.5所示。

请注意，此Hull White扩展使用的是独立于Y.20的随机增量。ANJA RICHTER和JOSEF TEICHMANNWe将过程Z称为一致的重新校准模型（CRC模型），如果方程组Z+1- 青春痘=εit（at），i=1，n，（7.1）θt+1- θt=Sθt- θt+α（at）+n+mXi=n+1σi（at）εit（at）对某些Z有一个解∈ r和一些θ∈ H、 对于t≥ 前向特征集合中的0。我们定义了上述方程的不同系数和驱动噪声：所有过程都是在一个随机基础上调整和定义的。设（eX（at），Y（at））表示一个随机波动率模型（X（at），Y（at））的适当赫尔-怀特扩展，其参数在命题6.5的意义上，并在这个随机基础上具有向前特征θtat time t（对于cou r s e，从时间t开始）。因此特别是θt∈ I（at，Yt（at）），代表t≥ 我们进一步假设，对于t，eXt+1（at）=eXt+1（at+1）和Yt+1（at）=Yt+1（at+1）≥ 0，以及ext+1（at）-分机（at）和Yt+1（at）- Yt（at）独立于ext（at）-1) -提取-1（在-1） 和Yt（在-1) - Yt-1（在-1） ，给定（eXt（at），Yt（at）），表示t≥ 1.对于t≥ 0让εt（at）：=（eXt+1（at）-分机（at）、Yt+1（at）- Yt（at）），σi（at）（u，x）：=ψi-n、 空中交通管制（iu，0，x+1）- ψi-n、 atC（iu，0，x），对于i=n+1，n+m和α（at）（u，x）：=-φat（iu，0，x+2）+2φat（iu，0，x+1）- φat（iu，0，x）+（7.2）+mXi=1(-ψi，atC（iu，0，x+2）+2ψi，atC（iu，0，x+1）- ψi，atC（iu，0，x））Yit（at）。备注7.2。从命题6.5直接计算得到α（at）（u，x）：=eφat（iu，0，t+1，t+x+2）-eφat（iu，0，t+1，t+x+1）--eφat（iu，0，t，t+x+2）+eφat（iu，0，t，t+x+1）++mXi=1(-ψi，atC（iu，0，x+2）+2ψi，atC（iu，0，x+1）- ψi，atC（iu，0，x））Yit（at），其中eφat解Riccati方程，从t开始，与somefat（θt）（u，v，s）=Fat（u，v）+u（θt）（u，s）相关- t） 从θt∈ I（at，Yt（at））。