贝叶斯-贝塔-马尔可夫随机场的术语结构校正

使用从θ开始的MH算法模拟π（θ）中的新样本θ′。生成辅助变量zp+1:T~ Pnθ′（zp+1:T | xp+1:T）并以公式183中给出的概率min{1，ρ（θ，θ′，zp+1:T | xp+1:T）接受它。如果接受辅助变量，则设置θ（t+1）=θ′，否则设置θt+1=θ。关于双MH中的第一个MH步骤，我们假设了一个多变量行走方案，即θ*~ N（θ（t），其中∧是N维正对角矩阵，N=（p+4）M+M+2。关于第二个MH步骤，我们考虑一个吉布斯采样器，该采样器从每个样本的完整条件分布中迭代生成样本。通过使用我们的动态随机场的马尔可夫性质，在选定的邻域系统中，第j个位置的完整条件分布，有条件地在剩余位置上是j的第八个位置的函数，即π（xt，τj | xt，τj）-1，xt，τj+1，θ）∝ （19） BjtFQt，τj（xt，τj）ujtexp（σj）-1.1.- FQt，τj（xt，τj）(1-ujt）exp（σj）-1fQt，τj（xt，τj）pYk=1Bj，t+kFQt+k，τj（xt+k，τj）uj，t+kexp（σj）-1.1.- FQt+k，τj（xt+k，τj）(1-uj，t+k）exp（σj）-1fQt+k，τj（xt+k，τj）Yi∈N（j）位FQt，τi（xt，τi）uitexp（σi）-1.1.- FQt，τi（xt，τi）(1-uit）exp（σi）-1fQt，τi（xt，τi）对于t=p+1，T和j=1，M.full条件不容易模拟，因此我们采用建议分布q（x | xt，τj）的MH步骤-1，xt，τj+1，θ）∝FQt，τj（x）ujtγjt-1.1.- FQt，τj（x）(1-ujt）γjt-1fQt，τj（x），可精确模拟如下：*~ Be（ujtexp（σj），（1-ujt）exp（σj））和x*= FQ，-1t，τj（y）*).

这种方案分配的选择导致对数接受概率的简化：logρ=Xi∈N（j）（对数位）- 日志B*it+Ait（u）*信息技术- uit）exp（σi））与B*it=位（u）*itexp（σi），（1- u*it）exp（σi）和u*it=~nα0i+pXk=1αkjyt-k、 i+Xk∈N（i），k6=jβkiyt，k+βjiy*接下来是对邻里系统的定义，如果我∈ N（j）然后j∈ N（i）.4模拟练习参数和非参数风险中性密度的提取不仅对ord er的交易员使用该密度为更奇异的衍生品定价，而且对央行行长以及政策制定者都很重要（Ait-Sahalia和Duarte，2003；Rouah和Vainberg，2007）。最近，人们越来越感兴趣的是同时预测非参数化中性及其物理对应物，如inVesela和Guti’errez（2013）所示，使用非参数化中性密度固定到期的β校准函数，而不是恒定和滚动成熟度到期，如3,6,9，12个月，如Vergote和Guti\'errez（2012年）。这些恒定到期风险中性密度实际上是根据Vergote和Guti’errez（2012）中的固定到期密度进行插值的。我们不需要遵循他们的方法，因为我们有滚动、固定到期时间（而不是固定到期日）、期权价格和forwardsavailable。从这个意义上说，我们的方法更适用于反向市场，市场集中在d（滚动期限）固定的到期时间点，而不是固定的到期日。在本节中，我们进行了几次模拟练习，以测试我们的方法的准确性，从而生成一个校准函数，该函数允许更好地评估PITdata中通常遇到的非标准特征，包括错误估计过程的基本参数。

本练习按照以下顺序分为几层：o首先，我们在物理测量下生成模拟数据，这对所有模拟练习都是通用的。我们在3个月、6个月和12个月的物理测量下，在T=2年、u=0.20、r=0.05、σ=0.15、τ=0.25（年）、τ=0.5（年）和τ=1（年）的时间间隔内，模拟资产价格的价格路径根据这些数据，我们估计了风险中性度量，假设我们（大体上）错误地估计了该风险中性度量的参数。对于这个pur姿势，我们假设两个可能的场景涵盖两个极端：1。高估布朗运动的波动性：我们将假设在校准练习中高估了物理过程的未知波动性，并将σ=0.20.2。对布朗运动的波动性进行更深入的估计：我们将在校准过程中假设我们低估了物理过程的未知波动性，并将σ=0.10.3。请注意，在这两种情况下，我们使用的是不同于u的r对于上述每种情况，以及模拟练习中的每种到期日，我们比较两条曲线（图（1））：1。NC曲线：这是未校准的曲线。它只是使用风险中性数据，在波动率的规定值下，说明了PITs CDF的形状。2.C曲线：这是在规定的波动率值下，使用风险中性数据，使用β-MRF过程校准的数据。3.

请注意，在这两种情况下，我们对波动性使用相同的场地，以确保仅对校准效益进行比较。作为参考，45度线代表（校准）凹坑均匀分布的完美场景。为了运行该模拟，我们假设数据来自财务文献（GBM）中的标准过程，其中St，t∈ [0，T]，T建模Black and Scholes（1973）和Merton（1973）中的基础价格，即St=S+ZtSuudu+ZtSuσdW（u）（20），其中Wt，T∈ [0，T]是一个维纳过程。我们在3个月、6个月和12个月的时间间隔内，在T=2年、u=0.20、r=0.05、σ=0.15、τ=0.25、τ=0.5和τ=1的情况下，模拟实际测量下的价格样本路径。我们还可以解析地知道St+τj，j=1,2,3的风险中性密度，条件是St，由以下公式给出：fQt，τj（St+τj）=St+τjp2π∑τjexp“-[log（St+τj/St）- （r）- 0.5σ）τj]2στj#（21）j=1,2,3。一旦我们在3个月后观察到历史测量下的St+τ价格水平，然后我们继续计算时间t的3个月、6个月和12个月的时间点，如下所示：yt，τj=ZSt+τj-∞fQt，τj（St+τj）dSt+τj（22）j=1,2,3。

第二天，在时间t=t+1时，我们以与方程（22）相同的方式重新计算凹坑，获得一个向量xt=（xt，xt+1，…，xt+t），其中增益xs=（FQs，τ（xs，τ），FQs，τ（xs，τ），FQs，τ（xs，τ）），考虑到成熟的重叠时间，其中xs的成分很可能是相关的。在我们的模拟练习中，我们假设一年有252个交易日（价格），3（6和12）个月分别对应63（126和252）个交易日。假设凹坑不具有自相关性，则凹坑的均匀边缘分布表明无需进行校准。假设坑s是自相关的，则坑s的均匀边缘分布不一定说明需要校准功能。在某些情况下，凹坑可能是极端自相关的，但却显示出一个完美统一的柱状图，导致错误的结论，即风险中性和物理测量都是不可信的。坑的自相关来源于数据的滚动性质。在每个时期t，我们为每个成熟度获得一个新的坑，它是给定成熟度下物理过程的结果。因为，对于给定的成熟度τ，我们将产生τ×252个重叠周期（具有不同的重叠水平），这些周期对每个凹坑都有共同的贡献。例如，今天有参考点，到期日为65个工作日（3个月）的一个3个月的PIT将与另一个PIT共用64个工作日，明天有参考点，从明天起到期65天。这会在凹坑中生成艺术自相关，嵌入到任何重叠数据中。经典的方法仅仅是对数据进行细化（我们在模拟练习中就是这么做的），只取不重叠的周期。然而，这种方法对较长期限的债券尤其不利。

例如，一年的格式，传统方法每年只收集一个数据点。我们的方法更一般，因为它在通过β-MRF应用程序roach建模凹坑之间的不同相关源（包括这种自相关）时考虑到了这一点。对于两个给定的矿坑（A，B），驱动它们的数据由起点tA，tB和成熟度τA，τB的组合表示，物理过程中包含的重叠信息量是[tA，tA+τA]的交点∩ [tB，tB+τB]该信息是通过β-MRF方法自然处理的，该方法考虑了自相关性的两个原因（随着时间和邻居）。我们将贝叶斯β-MRF校准模型应用于以下超参数设置α=0、β=0、sj=10、gj=10、s=100和G=100。我们应用所提出的MCMC算法来逼近感兴趣的后验量。在MCMC算法中，我们考虑了5000次收敛后的迭代（这是通过应用Geweke（1992）收敛诊断测试统计量在大约2000次burnin迭代后检测到的）。选择从q生成θ的MH阶跃的建议分布的标度∧，以实现0之间的平均接受率。对于两种MH算法（第1步和第2步），这是一个很好的迹象，表明了大多数MCMC算法的效率，例如byRosenthal（2011年）。这种选择可以通过在磨合阶段运行算法“在线”完成。关于表（1）：oα是代表时间依赖性的β-MRF（时间因子）的自回归部分β是连接不同到期日（到期因子）的参数，代表交叉到期依赖性。随着时间的推移，自相关度随着成熟度的增加而降低。这可以从相应参数α的值中看出。

此外，β和β分别代表相邻到期日之前和之后的相关参数。所以β代表成熟度1和成熟度2之间的相关参数，而β代表成熟度2和成熟度3之间的相关参数。此外，c组和D组在到期日之间进行合并。这种组合产生了一种有趣的实用方法，因为它假定随着时间的推移，各个成熟期的矿坑具有相同的自回归结构。校准练习的结果如表1和图1所示。注意以下显著特征：o自回归系数对所有成熟度都很重要。Proximity p参数仅在最后一个成熟期才有意义。cr中的精度参数值随成熟度的增加而降低。图1显示了未校准和校准的P ITs。图2显示了时间t=504时价格的p预测性和校准预测性，使用时间t时可用的隐含d灵敏度-τj表示波动性参数σ（列）的不同j（行）和不同错误值我们还考虑了一个更简洁的模型，其中我们假设βkj=βkandαkj=αkf，对于所有的j=1，M.结果见表1。5外汇市场应用我们将我们的方法应用于从2010年1月1日到2013年4月1日的不同期限（一个月、两个月和六个月）的欧洲美元现货场外年化隐含收益。在2004年，我们分别将样条线密度和隐含密度应用于相同的风险；Vergote和Guti’errez（2012），以转换回期权价格空间，并采用二阶导数得出风险中性密度。

有关如何使用Matlab代码从期权价格中提取风险中性密度的广泛综述，请参见Fusai和Roncoroni（2000）。我们将这种方法应用于我们假设每个等级都有自己的校准函数的情况，以及我们假设有一个单一的校准函数，通过在ujt的规格中设置βkj=0，可以跨多个等级工作的情况。图3显示了不同PIT序列的时间序列（左列）和直方图（右列）。尽管由于样本量大，凹坑时间序列的大多数直方图看起来非常一致，但时间越长，自回归分量越强。关于如何估计我们工作中获得的风险中性密度，我们在附录中给出了更全面的描述。面板（a）（σ=0.1）τj，j=1τj，j=2τj，j=3θij^θijCI^θijCI^θijCIγj1。42（1.01,1.51）2.82（2.79,2.93）13.46（13.40,13.64）α0j-0.32（-0.44，-0.25）-0.55（-0.64，-0.46）-1.09（-1.15，-1.02）α1j0。43（0.32,0.48）0.51（0.35,0.61）0.32（0.23,0.42）β1j0。11（0.01,0.21）0.16（0.04,0.26）β2j0。18（0.06,0.27）0.03（0.01,0.15）面板（b）（σ=0.2）τj，j=1τj，j=2τj，j=3θij^θijCI^θijCIθijCIγj3。75（3.73,3.81）7.01（6.67,7.23）14.03.88（13.83,14.16）α0j-0.24（-0.34，-0.11）-0.11（-0.19，-0.03）-0.23（-0.29，-0.18）α1j0。37（0.23,0.47）0.30（0.24,0.41）0.47（0.32,0.58）β1j0。37（0.27,0.43）0.05（-0.09,0.21）β2j0。（c）（σ=0.58、5.58、5.58、5.58、7.55）面板（d）（σ=0.58、7.55）面板（d）（8）（σ=0.81）γ9.4.4（42.7171.71.81）3γ99.4（42.7171.81.71.81）α（42.71.71.81.81）α0.17（7.81）αα0.17（5.17（-5.17（5.25.25，7.25，7.7.19）、7.19）19）α--0.17（5（5.19）α---0-0-0-0-0.20（5（5.19）α-0-0-0-0-0-0-0-0-0-0（-8（5（-8（-8（8.37，5.37，5.37，5.37，5.5.5.5（8（5.37，5.5.5 7.48,7.77）表1：后验平均值（^θi）和95%可信区间（CI），对于β-MRF的参数。

当标度p参数的真值为σ=0.15时，σ=0.1（面板（a）表示分层模型，面板（c）表示混合模型）和σ=0.2（面板（b）表示分层模型，面板（d）表示混合模型的未校准预测模型。σ=0.1σ=0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81 NCCU0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81 NCCU0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81 NCCU0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81 NCCU0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81 NCCU0.2 0.4 0.8 100.8 100.40.60.81非校准波动率和非校准风险分布水平（图1：校准列和非校准列的风险分布差异）。σ=0.1σ=0.260 80 100 120 140 1600246810 80 100 120 140 1600246860 80 100 120 140 160024680100 120 140 1600246860 80 100 120 140 160024680100 140 160024680100 120 140 160024680100 120 140 160024686图2：样本最后一点的未校准（虚线）和校准（实线）风险中性分布和价格水平（垂直虚线），即t=504，不同成熟度（行）和不同波动率水平（列）。10.0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0.0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0.0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0.0 0.0 0 0 0.0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.6 0.0.0 0 0 0 0 0 0.6 0.6 0 0 0.0.0.0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 8.0.9图3：矿坑时间序列（第一列）和柱状图（第二列）。我们进一步显示了在样本最后一天（2013年4月1日）对不同到期日估计的风险中性密度，以及通过对每个风险中性密度应用校准函数计算的物理密度。我们使用模拟实验中使用的优先级和MCMC设置应用我们的β-MRF校准模型（见前一节）。

结果如图4所示。正如表2中面板（a）的结果，我们发现了自相关成分（系数α1j）和相邻到期日之间相关性（系数βij）的证据。从该图的面板（b）可以看出，当对其时间序列应用细化（细化因子100/15）以减少样本之间的依赖性时，自回归系数的值会降低。6结论本论文以Casarin等人（2012）的方法论为基础，提供了一个新的建模框架，该框架使用衍生波动率（在货币、中期市场、日终波动率）和同步现货和远期的隐含可能性的期限结构，解释了不同到期日的可能相关性，以及特定到期日的不同日期。这种方法允许在不同的基调之间借用风险中性和物理度量的信息。我们还提供了一个适当的推断贝叶斯框架，允许在密度校准函数中包含参数不确定性，通常是文献中监督的一个因素，因此也包括在物理密度中。模拟预测密度的时间演化以及来自多个来源的密度之间的关系是一个具有挑战性的问题。例如，在传统方法中，当重建校准函数时，不能有任何重叠的时间间隔，因此凹坑是独立的，以估计β校准函数，如Fackler和King（1990）所述，后来在（Vergote和Guti’errez，2012；Vesela和Guti’errez，2013）中使用。