贝叶斯-贝塔-马尔可夫随机场的术语结构校正

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英文标题：
《A Bayesian Beta Markov Random Field Calibration of the Term Structure of
  Implied Risk Neutral Densities》
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作者：
Roberto Casarin and Fabrizio Leisen and German Molina and Enrique ter
  Horst
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We build on the work in Fackler and King 1990, and propose a more general calibration model for implied risk neutral densities. Our model allows for the joint calibration of a set of densities at different maturities and dates through a Bayesian dynamic Beta Markov Random Field. Our approach allows for possible time dependence between densities with the same maturity, and for dependence across maturities at the same point in time. This approach to the problem encompasses model flexibility, parameter parsimony and, more importantly, information pooling across densities.
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中文摘要：
我们在Fackler和King 1990的工作基础上，提出了一个更通用的隐含风险中性密度校准模型。我们的模型允许通过贝叶斯动态贝塔-马尔可夫随机场对不同成熟度和日期的一组密度进行联合校准。我们的方法考虑到具有相同成熟度的密度之间可能存在的时间依赖性，以及在同一时间点上不同成熟度之间的依赖性。解决这个问题的方法包括模型的灵活性、参数的节约，更重要的是，跨密度的信息共享。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_Bayesian_Beta_Markov_Random_Field_Calibration_of_the_Term_Structure_of_Implied.pdf (399.55 KB)

2022-5-6 21:40:01 上传

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关键词：马尔可夫 贝叶斯 Applications Quantitative epidemiology

隐含风险中性密度期限结构的贝叶斯贝塔-马尔可夫随机场校准Roberto Casarin+Fabrizio Leisen+German Molina§Enrique ter Horst+k+意大利福斯卡里大学肯特大学爱达利资本集团美国CESA&IESA，哥伦比亚和委内瑞拉Abstractwe建立在Fackler和King（1990）的工作基础上，并提出了隐含风险中性密度的更一般的校正模型。我们的模型允许通过贝叶斯动态贝塔-马尔科夫随机场在不同的温度和日期对一组密度进行联合校准。我们的方法考虑到具有相同成熟度的密度之间可能存在的时间依赖性，以及在同一时间点跨成熟度的依赖性。这种解决问题的方法包括模型灵活性、参数节约，更重要的是，跨密度的信息共享。关键词：贝叶斯推理，贝塔随机场，交换梅托利斯-黑斯廷斯，马尔可夫链蒙特卡罗，风险中性度量。1简介在金融数学中，通常将股票价格建模为几何布朗运动（GBM），在物理概率测度P下，平均漂移等于u。为了在下面的K对应作者：fabrizio上对期权进行定价。leisen@gmail.com.作者的名字是字母表icalorder。资产，必须对资产流程进行测量变更，以使其风险中性，这意味着它使所有投资者在风险偏好方面保持中性。这种概率测度被称为Q（Delbaen和Schachermayer，2011）。在一般的参数随机过程模型中，从P到Q的度量变化的数学问题带来了技术问题，主要是由于Q的不存在或其非唯一性（Delbaen和Schachermayer，2011；Boyarchenko和Levendorskii，2002）。

当从常规GBM到跳跃扩散或几何L’evy过程设置（Tankov和C ont，2003）时，Q的唯一性无法保证，埃舍尔变换等几种方法被用来规避这些限制（埃舍尔，1932；格伯和肖，1994）。经济学文献显示，人们对非参数隐含风险中性敏感度的兴趣越来越大（Fackler和King（1990）；Lai（2011）），因为它们都允许衡量经济主体对未来的看法，以及他们的经济预期（Bliss和Panigirtzoglou，2004年；Rodriguez和ter Horst，2008年），并且还提供了此类风险中性密度的最优估计（Lai，2011年）。Fackler和King（1990）的风险中性密度校准程序，是根据对作为基础的感兴趣变量的观察从衍生价格中提取的，允许我们获得此类变量的密度预测。密度预测现在被广泛应用于许多应用经济环境中，更具体地说，隐含风险中性密度的非参数校准现在被用于宏观经济学中，以生成对通货膨胀和利率的预测（见Bhar和Chiarella（2000年）、Carlson等人（2005年）、Vincent Humphr eys和Noss（2012年）、Vergote和Guti’errez（2012年）、Vesela和Guti’errez（2013年），Sihvonen和V–ah–amaa（2014年））。我们的贡献提供了对Radon-Nikodym导数的动态估计（Nikodym（1930）），它允许我们在P的参数估计上从Q的非参数估计移动到a n。

最后的结果为隐含的非参数风险中性和物理概率分布的术语结构提供了一个自然的建模框架，它解释了给定成熟度的不同到期日和不同日期的概率积分变换（PIT）之间可能存在的依赖性，而之前的校准方法缺乏这种普遍性，因为他们通常不会利用信息来源之间的不同依赖来源。概率积分变换由随机变量X的给定实现定义为PITt=Rxt-∞f（y）dy。由于凹坑属于单位间隔，我们的校准方法使用了Fackler和King（1990）建议的β密度。然而，我们在本文中将他们的方法扩展到了多成熟度、多期设置。为了解释时间和交叉成熟度的依赖性，我们提出了一个具有β密度的随机场模型，该模型描述了有关依赖性的数据的众所周知的特征。我们对时间（滞后）和空间（邻域系统）结构做了一些一般性的假设，这是获得一个简约模型所需要的。我们提供了一个合适的贝叶斯推理框架，允许我们在密度校准中包含参数不确定性。此外，使用分层先验分布不仅可以避免由于过度参数化而导致的潜在过度拟合，还可以实现不同到期日之间不同程度的信息共享。在经济学和金融学中，使用密度来预测感兴趣的质量是很常见的，最近的许多论文都集中在预测密度的组合和校准上。Hall和Mitchell（2007）、Geweke和Amisano（2011）考虑了最佳线性密度池，而Billio等人（2013）、Fawcett等人（2011）考虑了密度组合的更一般方法。

（2013年）和片麻岩与兰扬（2013年）。预测密度最佳组合的时间演化建模是这些论文中解决的具有挑战性的问题之一。在片麻岩等（2005）和片麻岩及Ranjan（2013）中，考虑了校准密度的iss ue，它们还建议使用白云岩来实现预测密度的连续变形，并获得校准良好的凹坑。校准良好的PIT定义为校准函数允许您在正确的目标分布（物理测量）下获得观察到的基础资产的累积概率分布，并产生统一的直方图（Fackler和King，1990）。尽管预测和财务文献中存在类似的问题，如密度校准和组合，但隐含的风险中性校准文献与预测校准文献有很大不同，因为第一种假设校准模型正在产生从风险中性获得物理测量所需的测量变化。我们的论文通过捕获关键特征的迫切需要的扩展为这一系列文献做出了贡献，因为它提供了一种联合校准密度的通用方法，允许跨不同预测密度（不同到期日的风险中性密度）汇集信息。最后，作为旁注，本文还对有界域上的mo-delling数据的文献作了更全面的贡献。我们的Bayesian-Beta-Markov随机场模型方法和推理过程是统计文献中最近提出的Bayesian-Beta-Markov随机场模型和推理的多元背景的原始扩展。见布兰斯库姆等人。

（2007）关于贝叶斯贝塔回归，Casarin等人（2012）关于贝叶斯贝塔自回归模型中的模型选择，以及其中的参考文献。虽然我们通过一个金融应用程序构建了我们提出的方法，但该模型和应用程序是通用的，可以用于需要更通用、多维校准方法的其他领域。论文组织如下：第2节介绍了密度校准问题，以及用于联合校准的贝叶斯贝塔-马尔可夫随机场模型。在第3节中，我们讨论了所提出模型的引用困难，并开发了一个后验计算的数值程序。在第4节中，我们通过模拟来研究我们估计过程的效率。在第5节中，我们提供了一个欧盟rodollar curren cy的应用程序，而第6节总结并讨论了潜在的扩展。2动态校准模型xt，τi，i=1，M、 t=1，T是一组基本的实现远期水平（到期时资产水平的市场隐含估计），在时间T时可用于不同的未来到期日τ，τM.设FQt，τi（x）和FPt，τi（x）分别表示风险中性和物理累积密度函数（cdf），FQt，τi（x）和FPt，τi（x）分别表示其概率密度函数（pdf）。我们假设以下节理变形模型fpt（xt，τ，…，xt，τM）=Ct（FQt，τ（xt，τ），FQt，τM（xt，τM））（1）式中，Ct:[0，1]M→ [0,1]，t=1，T是一系列变形函数。该模型可以用密度fpt，τ（xt，τ，…，xt，τM）=ct（FQt，τ（xt，τ），FQt，τM（xt，τM））MYj=1fQt，τj（xt，τj）（2），其中Ct是Ct对所有参数的混合偏导数。设yjt=FQt，τj（xt，τj），j=1，M

然后，为了建模不同日期预测密度的依赖关系，我们的建模假设是β-动态马尔可夫随机场（β-MRF）。设E=[0，1]为相空间，S={1，…，M}为对应于不同成熟度的有限场地集（见Bremaud（1999），第7章），则我们的β-MRF由以下局部规范定义：ct（y1t，…，yMt）=ZtMYj=1cjt（yjt|yN（j））（3）式中，yN（j）=ykt∈ N（j） S} N（j）是第八个Bourhood系统N的成员，CJTre表示联合校准函数Ct的第j个分量，Zt是一个标准化函数，可能取决于校准模型的参数，对于某些β-MRF邻域系统规范来说可能是未知的。对不同温度下密度之间的完全依赖结构进行建模，并考虑该结构中的时间变化，可能会导致模型参数化过度，从而导致过度拟合问题。因此，在本文中，我们考虑了节省的aβ-MRF模型。也就是说，我们假设一个时不变拓扑（S，N），并关注两个特殊的邻域系统。第一个是马尔可夫模型（j）= 如果j=1{j- 1} 如果j 6=1，第二个是邻近模型n（j）={2} 如果j=1{j- 1，j+1}如果j6=1，M{M- 1} 如果j=M将每个密度与两个相邻的成熟度密度连接起来。根据财务校准文献中的标准实践（例如，见Fackler和King（1990）），我们假设联合校准函数的第j分量是β分布的概率密度函数。

为了解释凹坑中可能存在的时间依赖性，我们让密度在成熟度τjto的β校准函数的参数取决于相同成熟度的凹坑的过去值。注：这种仅依赖于相邻密度的假设在金融应用中得到了很好的支持，其中，以相邻成熟度的矿坑为条件，矿坑独立于其他成熟度的矿坑（因为成熟时间重叠），并以给定成熟度的最近矿坑为条件，对于该成熟度，矿坑独立于其他矿坑（基础过程的基本马尔可夫假设）。我们在贝叶斯混合模型（例如，见Robert and Rousseau（2002）和Bouguila et al.（2006））和贝叶斯贝塔自回归过程（例如，见Casarin et al.（2012））cjt（yjt | yN（j））=Bjtyujtγjt中使用了β-pd fs的参数化-1jt（1- yjt）（1-ujt）γjt-1（4）bjt=Γ（ujt）Γ（ujtγjt）Γ（（1）- ujt）γjt）和ujt=~nα0j+pXk=1αkjyt-k、 j+Xk∈N（j）βkjyt，k（5） γjt=γj（6），带φ：r7→ [0,1]一个二次微分严格单调连接函数。我们假设一个逻辑函数。3.贝叶斯推断假设xt=（xt，τ，…，xt，τM）是一组不同性质的观测值，而xp+1:T=（xp+1，…，xt），则模型写入asL（xp+1:T |θ）=TYt=p+1fPt，τ（xt，τ，…，xt，τM）（7）=TYt=p+1ZtMYj=1Bjt（ujtγj，（1）- ujt）γj）FQt，τj（xt，τj）ujtγj-1.1.- FQt，τj（xt，τj）(1-ujt）γj-1fQt，τj（xt，τj）注意，这是一个伪似然，因为我们假设β-MRF的p初始值是已知的。为了完成我们的贝塔-马尔可夫随机场模型的描述，我们假设以下关于区域分布的分层规范。对于给定的j，j=1，M、 我们假设αkji。i、 d。~ N（αj，sj）k=1，p（8）βkji。i、 d。~ N（βj，gj），k=1。

，mj，（9）对于层次结构的第二级，我们假设γji。i、 d。~ Ga（ξ，ξ），j=1，M（10）αji。i、 d。~ N（α，s），j=1，M（11）βji。i、 d。~ N（β，g），j=1，M（12）α~ N（a，s）（13）β~ N（b，g）（14）其中mj=Card（N（j））是N（j）的元素数，Ga（ξ，ξ）表示den sityf（γ|ξ，ξ）=Γ（ξ）γξ的伽马分布-1exp{-ξγ}ξ此外，为了设计有效的后验模拟算法，我们重新参数化σj=log（γj），j=1，M.我们将定义参数向量θ=（θ，…，θM，α，β），其中θj=（αj，βj，σj，αj，βj），αj=（α0j，α1j，…，αpj）和βj=（β1j，…，βmjj）。先验分布的联合概率密度函数isf（θ）∝ 经验(-2s（α）- （a）-2g（β- b）-MXj=12s（αj）- α） （15）+2g（βj）- β） +（αj）- uj′S-1j（αj）- uj）+（βj- νj′G-1j（βj）- νj）)MYj=1exp{-ξ/2 exp（σj）}exp（ξ/2σj），其中uj=αjι（p+1），νj=βjιmj，单位向量为n维。先验协方差矩阵是Sj=sjI（p+1）和Gj=gjIm，具有n维单位矩阵。点后验分布可以表示为π（θ| xp+1:T）∝ 经验-TXt=p+1log Zt-TXt=p+1MXj=1log Bjt（16）+TXt=p+1MXj=1Ajtujt+对数（1- FQt，τj（xt，τj））exp（σj）f（θ），其中Bjt=Bjt（ujtexp（σj），（1- ujt）exp（σj））andAjt=log（FQt，τj（xt，τj）/（1- FQt，τj（xt，τj）））该模型的一个主要问题是归一化常数Zt，t=p+1，T，在似然函数和后验分布中是未知的，可能取决于参数。因此，用标准的MCMC程序很难获得π（θ| xp+1:T）的样品。例如，标准MH算法不能直接应用，因为接受概率涉及未知归一化常数的比率。在过去的二十年里，人们提出了各种近似方法，以避免棘手的归一化常数问题。最近，Moller等人。

（2006）提出了一种辅助变量CMC算法，这是一种适用于具有难以处理的归一化常数的多个模型的可行模拟程序。Murray等人（2006年）成功改进了Moller等人（2006年）的单辅助变量方法。他们提出了交换算法，它消除了在采样开始前估计参数的需要，并且比Moller等人（2006）的算法具有更高的接受概率。不幸的是，单辅助变量和交换算法都需要从其条件分布中精确采样辅助变量，对于许多统计模型来说，这可能会在计算上非常昂贵。我们的β-MRF模型没有精确的模拟算法，因此，在本文中，我们遵循和替代路线，并应用Liang（2010）提出的双MH算法。双MH通过应用内部MH步骤来生成辅助变量，从而避免了精确的模拟步骤。假设我们有兴趣从条件分布L（zp+1:T|θ′）模拟辅助变量zp+1:T。如果样本是通过使用转移核Kθ′（z|x）对MH算法进行n次迭代生成的，则n步转移概率为nθ′（zp+1:T|xp+1:T）=Kθ′（xp+1:T|xp+1:T）·Kθ′（zp+1:T|xn-1:1:T）然后，默里等人（2006）2006年的交换算法的接受率的接受率写为：ρ（θ，θ，θ，zp+1:P+1:T:T+1:T）的交换算法的接受率写为：ρ（θ，θ，θ，2006年）的交换算法的接受率写为：ρ（θ（θ，θ，θ，θ，zp+1:P+1:T+1:T+1:T+1:T（T+1:T+1:T+1:T+1:T，xp+1:T（1:T）1:T1243:T（T）T）和（xp+1:T（1:T）T）的）T（3:T（1:T1243:T）和（3:T）和（10）的）的）T（10）的）的）的）的）的（xp（xp+1:T（10）+1:T）作为Metropolis转换内核，那么交换是一个MH步骤，具有转换Pnθ′（zp+1:T | xp+1:T）和目标分布L（zp+1:T|θ），等式17中的接受概率变成ρ（θ，θ′，zp+1:T|xp+1:T）=L（zp+1:T|θ）L（xp+1:T|θ）L（xp+1:T|θ′）L（zp+1:T|θ′）（18）假设MH链的当前值为θ（T）=），然后双MH采样器重复以下步骤1。