互动经济中的传染

但考虑到动力学的形式，在t<t时违约的边际概率并不取决于违约时间t的具体时间，而只取决于它晚于违约时间t的事实。正因为如此，通过前向积分计算边际非常容易。考虑加权树G的一个特定实例，以及该图上的一个节点i。我们用pi（ti）表示i在ti违约的概率。如果我们现在考虑i的邻域，我们可以写出pi（ti）=X{τj}j∈ipi（ti |{τj}j∈i） Yj∈imj→i（τj | ti），其中mj→i（τj | ti）是j在τj条件下违约的概率，i在ti违约的概率。邻域条件概率的分解是因为底层图是一棵树。根据上一节的规定，条件概率pi（ti |{τj}j∈i） i（5）中定义的简单P（ti |θi，hi）。同样，我们也可以写EMJ→i（τj|ti）=X{τl}l∈j\\ipj（τj | ti，{τl}l∈j\\i）Yl∈j\\iml→j（τl |τj）。（8） 但我们注意到，一旦一个节点出现了默认情况，其相邻节点的后续动态将不再影响它。特别是，条件概率→j（τl |τj）依赖于τjonly，因为τj<τl。因此，τj>τl，ml→j（τl |τj）=ml→j（τl |τl）≡ 毫升→j（τl）。（9） 同样，我们注意到条件概率pi（ti |{τj}j∈i） pj（τj | ti，{τl}l∈j\\i）仅依赖于邻居的默认时间，只要这些时间早于它们自己的时间，即pi（ti |{τj}j）∈i） =pi（ti |{τj；τj<ti}j∈i） 很明显，对于所有的l，j，Xτl≥τjml→j（τl |τj）=1-Xτl<τjml→j（τl |τj）=1-Xτl<τjml→j（τl）。利用这些结果，我们可以重新审视条件概率mj的方程→i（τj | ti）并计算公式（8）的r.h.s.，用ml表示→j（τl）表示τl<τj。

对于j（i除外）附近的所有r，我们有x{τl}l∈j\\ipj（τj | ti，{τl}l∈j\\i）Yl∈j\\iml→j（τl |τj）=X{τl}l∈j\\{i，r}Xτr<τjpj（τj | ti，{τl}l∈j\\i）先生→j（τr |τj）Yl∈j\\{i，r}ml→j（τl |τj）+Xτr≥τjpjτj|ti，{τl}l∈j\\i先生→j（τr |τj）Yl∈j\\{i，r}ml→j（τl |τj）=X{τl}l∈j\\{i，r}Xτr<τjpjτj|ti，{τl}l∈j\\i先生→j（τr）Yl∈j\\{i，r}ml→j（τl |τj）+pjτj|ti，{τl}l∈j\\{i，r}Xτr≥τjmr→j（τr |τj）伊尔∈j\\{i，r}ml→j（τl |τj）=X{τl}l∈j\\{i，r}Xτr<τjpj（τj | ti，{τl}l∈j\\i）先生→j（τr）Yl∈j\\{i，r}ml→j（τl |τj）+pjτj|ti，{τl}l∈j\\{i，r}1.-Xτr<τjmr→j（τr）伊尔∈j\\{i，r}ml→j（τl |τj）.因此，我们可以限制默认时间τl的总和≤ T为违约时间τl的和≤ τj，and writemj→i（τj|ti）=X{τl}l∈j\\iτl≤τjpj（τj | ti，{τl}l∈j\\i）Yl |τl<τjml→j（τl）Yl |τl=τj1.-Xτ<τjml→j（τ）, （10） 而对于τj<tiwe havemj→i（τj）=X{τl}l∈j\\iτl≤τjpj（τj |{τl}l∈j\\i）Yl |τl<τjml→j（τl）Yl |τl=τj1.-Xτ<τjml→j（τ）. （11） 替换pj（τj |{τl}l∈j\\i）通过其更明确的版本Pτj |θj，Pl∈j\\IWLNLNL, 这是用asmj表示的→i（τj）=X{τl}l∈j\\iτl≤τjPτjθj，Xl∈j\\IWLNLNLYl |τl<τjml→j（τl）Yl |τl=τj1.-Xτ<τjml→j（τ）. （12） 这个单实例方程可以通过从所有节点的初始条件进行正向传播来求解，如[32]中对许多模型所述。有人在几种情况下指出，即使图是局部树状的，消息传递也能很好地工作。在这里，我们取而代之的是对相关节点的程度和财富以及耦合强度进行平均，以获得有限系统规模限制下系统的典型行为→ ∞.我们注意到，邻居的度分布不同于在一个区域内选择的节点的度分布：一个邻居有度k的概率是kpkhki。

因此，mj的平均m（τ）→i（τ）满足递归m（τ）≡XkkpkhkiXτ，··，τk-1.≤τYl |τl<τm（τl）Yl |τl=τ1.-Xτ<τm（τ）*Pτθ、 k-1Xl=1wln（τl）+θ、 {wl}，（13）其中，耦合h···i{wl}的平均值是在边际耦合分布上进行的。由此产生的方程在m中向前传播，从m（1）=hW开始(-θ） iθ。同时，在时间t发生的违约的平均分数由p（t）给出≡NXipi（t）=XkpkXτ，···，τk≤tYl |τl<tm（τl）Yl |τl=t1.-Xτ<tm（τ）*Ptθ、 kXl=1wlnl+θ、 {wl}。（14） 如[2]所述，我们得到的方程是一条代表性信息的方程。得到的数值格式是透明的，可以用于快速计算局部树状图集合上的平均默认概率。假设消息m（s）表示sup to t- 1已经计算过，程序是：o根据相邻度分布kpkhki绘制度k，以及财富θ，o绘制k- 1相互作用权重{wl}l=1，·k-1、o画k-1根据之前计算的分布（m（0），m（1），··，m（t）的默认时间-1), 1 -Ps<tm（s）），o计算得到的P（t |θ，h），o重复程序NsamlingTimes，并对结果进行平均，根据Q得出m（t）。(13).平均违约概率p（t）可根据等式（14）与m（t）并行计算，方法是根据pk绘制度k，并绘制k相互作用权重和违约时间（根据m）。默认分数ρ（t）由ρ（t）=tXs=0p（s）给出。

（15） 因此，该算法是蒙特卡罗采样的一种形式，因为我们没有对所有可能的轨迹（其复杂性为Tkmax）进行穷举求和，而是根据分布{m（s）}s<t对默认时间进行采样，将复杂性降低到Nsampling×t×hki，其中Nsampling取决于所需的精度。标准的消息传递方程采用自一致性条件的形式，因此通常迭代直到收敛，与此不同，这些方程是向前传播的。4数值结果在下文中，我们展示了上述分析的结果，这些分析针对的是一个风格化的经济体，表现出共同的金融风险，构成了一个具有幂律度分布的依赖关系图。本文中的分析可以通过具有有限平均度hki的任意度分布来完成。我们认为截断幂律是一个相对简单的选择，它允许我们研究学位分布的异质性对默认统计数据的影响。到目前为止，这个区域在[1]中还没有被探索过，它仅限于基于大型hki Erd¨osR¨enyi随机图的系统，因此也限于不现实的同质网络。正如[26]所指出的，虽然真实市场在其度分布中没有表现出明确的幂律，但重尾是一个常见特征，这种尾部行为通常由幂律度分布合理地建模（[27]）。原则上，可以进行三个层次的分析：（i）使用种群动力学研究方程（14）（ii）模拟（大型）单实例求解方程（11）（iii）中等规模系统的随机模拟，以检查理论分析的有效性[34]中研究了自举渗流情况下的单实例空腔方程，在[35,32]的一般情况下，本文将不进行研究。

相反，我们将重点比较（i）和（iii）的结果。除非另有规定，否则我们将使用截断的幂律度分布pk~ K-对于k，γ=3的γ∈ Jkmin，kmaxK，具有不同的kmin值≥ 1，kmax=100。财富θ为高斯r.v.，平均θ=2.75，方差σθ=0.3，如[1]中所用。我们对所有t取Wt（x）=Φ（x），假设中性宏观经济条件（即ξ0，t=0 in（7）），除了第4.2和4.4条。除第4.3节外，耦合均为高斯r.v.，平均值w=1，方差σw=0.5。对于模拟，我们考虑网络大小N=10。时间范围取T=12。此处使用的参数值主要是为了方便获得稳健的信号，而无需求助于如此大的网络，从而使模拟的时间成本高得令人望而却步，同时确保典型年度违约率的正确数量级。4.1初始加速度如[1]所示，我们可以通过观察t=1时违约分数的离散二阶导数，定性评估相互作用导致的风险增加，= ρ(2)+ρ(0) -2ρ（1）=p（2）-p（1）。违约企业比例的正初始加速可被视为通过共同风险敞口实现经济稳定的指标。事实上，对于一个非相互作用的系统，初始加速度很快被发现是= - hW(-θ） W(-θ） iθ<0。为了比较不同平均度网络的结果，以及与之前工作的高平均度结果，我们绘制了在相互作用参数（w，σw）的空间中。然而，学位越高意味着负债越多，因此损失的可能性可能越大。因此，为了使结果在不同程度之间具有可比性，对耦合强度参数进行了重新标度：如[1]中所示，我们取wij=whki-1+xijσwhki-1/2，带xij~ N（0，1）。

而= 0边界取决于度数分布的细节，我们发现大平均度数的理论预测与高连通性Erd¨os-R¨enyi随机图的先前结果非常一致，即使在具有有限平均连通性的幂律分布的情况下也是如此。这是因为图的组合是局部树状的，即节点第八级的早期默认值是独立的，初始默认概率较低（约为10）-3). 综上所述，这使得我们可以假设，通常情况下，阳极的k个邻居中最多有一个会在第一时间出现违约。由此产生的相互作用对k度节点加速度的贡献可以通过等式来表示。（13） （14）为δp（2）=km（1）hwiwhhP（2 |θ，0）iθ。对相互作用分布进行平均得到hwiw=whki，一旦对度分布进行平均，所得贡献与平均度无关。因此，它在所有树状图形集合中共享，其中包括Erd¨os-R¨enyi集合，并允许在大平均连通性极限中有一个有限的极限。因此，我们恢复了[1]中探讨的限制案例。在kmin=1（即hki\'1.4）、kmin=2（hki\'3.1）和kmin=5（hki\'8.7）的截断幂律分布情况下，图1绘制了域边界。增加了具有有限连通性的Erd¨os-R¨enyi案例，以供参考。4.2宏观经济敏感性巴塞尔监管框架（Basel II和III）要求银行在风险估计中以反周期资本效应的形式考虑周期效应和宏观经济因素。因此，有必要在我们的环境中调查整个经济周期的违约概率，再次强调相互作用的不稳定影响。

为简单起见，假设这些周期性影响在一年内缓慢变化，我们在（7）反映宏观经济条件中设置ξ0，t=ξ，并将ξ设置为高斯r.v（正ξ反映有利条件，负ξ反映不利条件）。然后，我们可以研究由ξ分布引起的违约年终分数ρ（T）的分布P（ρT），大型ρ（T）尾部的形状表明0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.700.10.20.30.40.50.60.70.8w0σWA加速域分离f，<k>=1.4SF，<k>=3.1SF，<k>=8.7ER，<k>=∞图1：具有hki\'1.4（蓝色，虚线）、hki\'3.1（绿色，虚线）和hki\'8.7（红色，虚线）的幂律图的加速域边界，以及具有有限连通性的Erd¨os-R¨enyi图（黑色，实线）。外域（大w，大σw）具有正加速度，标志着相互作用的不稳定效应。这一体系会受到大规模经济冲击。这在图2中完成，经验分布来自10次运行（10次运行在10张图上）。添加非交互案例以进行比较。正如我们所见，在存在相互作用的情况下，大违约率下的概率尾部ρ明显增大，这使得在糟糕的宏观经济条件下，系统性风险更大，并表明需要相应的大阻力。在目前的研究中，我们没有具体研究银行顺周期或逆周期行为的影响，尽管这种影响可以包括在我们的模型中。关于这些影响的讨论，我们参考结论部分。4.3相互作用强度图3我们绘制了中性宏观经济条件下（ξ0，t=0）相互作用强度w不同值的时间相关违约分数ρ（t）。

我们将σ设置为w值的一半，并在250个图形上平均模拟结果，每个图形上运行500次。正如所料，随着相互作用强度的增加，有限尺寸效应变得更大，这是意料之中的：虽然空腔法在树上是精确的，但环的存在强烈影响性能。虽然所使用的图形是局部树状的，但对于有限大小的系统，仍然有大量循环。由于这些循环仅在构成节点默认时影响动态，因此当默认率较高时，它们的影响会更强烈。4.4扩展：溢出模型的一个重要扩展是包含了由资产转售引起的溢出效应。当流动性不足的公司以0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.510的价格出售大量资产时，就会发生转售-310-210-1100101102ρ12P（ρ12）默认概率分布模拟消息-帕辛农-交互图2：ξ的默认分布~ N（0，0.2）：模拟（蓝色虚线）与空穴预测（红色实线）和非交互网络（绿色虚线）进行比较。0 2 4 6 8 10 1200.020.040.060.080.10.120.140.16tρ（t）不同耦合强度的默认分数w0=0.5w0=1.0w0=1.5w0=2.0图3：不同平均耦合强度的默认分数：模拟（圆圈）和空穴预测（实线）。时间（就银行而言，监管要求其流动资本保持一定规模）。由于突然供过于求，资产价格将下降，其他企业持有的资产价值将减少。为了实现这一点，为了简单起见，我们考虑单一a类（可交易）资产，代表每个企业财富的一小部分（恒定）。

当一家公司的财富低于其初始财富的某一部分时，它会进入不良状态，并出售资产a以维持流动性，导致资产价格下跌。因此，持有该资产的每家公司的投资组合价值都会下降，我们通过改变公司初始财富的系数r（dt）=（1+rdt）对其进行建模-1其中，dt是在时间t时陷入困境的企业的比例（违约企业也被视为陷入困境），以及可以描述市场深度的ra参数。因此，当t变成θi时，企业的财富t=r（dt-1） θi-希维吉恩杰，t- ηi，t和违约是在θi，t降至零以下时触发的，而当θi，t<fcθi时，企业进入不良状态。这可以被视为在信用风险模型之上实施了[8]的重叠投资组合方法的简单版本，在本例中仅使用一种资产类别。下图显示了中性宏观经济条件下的平均违约率（ξ=0，fig.4a）以及宏观经济条件分布（fig.4b）所产生的整个经济周期内违约率的概率分布，表明溢出效应可以显著提高大型违约率的可能性。我们取fc=0.1。虽然由于包含了一个二部（企业资产）结构，资产引发的风险网络与简单的成对互动网络非常不同，但只要资产类别的数量在大系统中保持不变，它们的贡献就可以通过上述简单的平均场效应建模。

然而，如果资产的数量与N成正比，情况就会变得更加复杂，这取决于网络结构和交互类型的细节。4.5网络大小检查模拟结果与热力学极限N内有效的空腔结果的收敛性→ ∞, 与空腔模拟相比，我们绘制了T=12时默认分数的相对误差 =|ρN-ρ∞|ρ∞, 针对不同的网络规模。数值模拟是在N=200到N=5000的网络上进行的。我们平均超过5000个图形，每个图形上运行1000次（对于小于10的网络大小，运行5000次）。结果如图5所示。由于空腔结果的方差比模拟结果的方差小几个数量级，因此误差条表示模拟相对于平均空腔结果的RMSE，其比例为模拟样本数的平方根。正如预期的那样，随着N的增加，有限规模的模拟会收敛到消息传递解决方案，即使对于小到asN\'10的N，近似的质量也在1%的范围内。