互动经济中的传染

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英文标题：
《Contagion in an interacting economy》
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作者：
Pierre Paga and Reimer K\\\"uhn
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We investigate the credit risk model defined in Hatchett & K\\\"{u}hn under more general assumptions, in particular using a general degree distribution for sparse graphs. Expanding upon earlier results, we show that the model is exactly solvable in the $N\\rightarrow \\infty$ limit and demonstrate that the exact solution is described by the message-passing approach outlined by Karrer and Newman, generalized to include heterogeneous agents and couplings. We provide comparisons with simulations of graph ensembles with power-law degree distributions.
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中文摘要：
我们研究了Hatchett&K\\“{u}中定义的信用风险模型hn在更一般的假设下，特别是使用稀疏图的一般度分布。在前面结果的基础上，我们证明了该模型在$N\\rightarrow\\infty$极限下是完全可解的，并证明了精确解由Karrer和Newman提出的消息传递方法描述，该方法被推广到包括异构代理和耦合。我们提供了与具有幂律度分布的图集合的模拟的比较。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Physics and Society        物理学与社会
分类描述：Structure, dynamics and collective behavior of societies and groups (human or otherwise). Quantitative analysis of social networks and other complex networks. Physics and engineering of infrastructure and systems of broad societal impact (e.g., energy grids, transportation networks).
社会和团体（人类或其他）的结构、动态和集体行为。社会网络和其他复杂网络的定量分析。具有广泛社会影响的基础设施和系统（如能源网、运输网络）的物理和工程。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Contagion_in_an_interacting_economy.pdf (444.99 KB)

2022-5-6 21:58:59 上传

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关键词：distribution Quantitative Applications QUANTITATIV Generalized

相互作用的经济体中的传染病*和Reimer K¨uhn+英国伦敦国王学院数学系，2018年9月5日摘要我们在更一般的假设下研究了[1]中定义的信用风险模型，特别是稀疏图的一般程度分布。在前面结果的基础上，我们证明了该模型在N→ ∞ 限制并证明Karrer和Newman[2]中概述的消息传递方法所描述的精确解是广义的，包括异构代理和耦合。我们提供了与具有幂律度分布的石墨串模拟的比较。1简介现代经济形成了复杂的、高度互联的生态系统，供应链的异常复杂可能是最好的缩影，通常涉及多个国家的数百家供应商。但正如霍尔丹和梅[3]所强调的那样，复杂性与更大的系统性不稳定性有关，2007-2009年的危机清楚地表明，需要对系统性风险进行适当的分析。因此，金融传染和信用风险建模是一个长期存在的研究课题[4]，最近再次引起人们的兴趣[5,6,7,8,9]。在经济压力时期，信贷事件会聚集在一起，导致单个机构的风险评级（如标准普尔）无法捕捉到的巨额总损失。因此，本着《新巴塞尔协议》资本要求的精神进行监管控制的尝试应该考虑到相互依赖违约的可能性，以便充分模拟大型投资组合的风险。金融风险分析中的历史方法包括将投资组合中的公司数量替换为减少的有效数量，或根据宏观经济指标设定违约概率[10,11]。

多因素默顿模型通过假设不同企业的资产回报率经历相关随机游走[4,12]，以及当资产水平低于债务阈值时，违约发生，从而将违约关联起来。但是，虽然这些模型确实考虑了相关性，但它们不是因果关系，因此无法捕捉系统脆弱性，即单个实体或实体组在整个网络上崩溃的影响。经济物理学的发展所推动的物理视角有所不同，它更多地关注通过代理人之间的相互作用而产生的全系统风险，而不是个体风险[13,14]。特别是，在过去二十年中，人们对社会和经济互动的网络结构进行了深入研究，例如性接触、学术引用或互联网的结构[15、16、17、18]，表明在大多数社会网络中，个人（或节点）的邻居或伙伴的数量遵循幂律分布。这有时被解释为网络形成过程中优先连接的结果，如Barab’asi-Albert模型[19]。在这种情况下，由经济互动定义的传染过程图提供了系统性风险的自然框架：考虑到这些过程，人们对*皮埃尔。帕加@kcl。ac.uk+雷默。kuehn@kcl。ac.UK网络可能在特定时间范围内受到影响。例如，Gai和Kapadia[5,20]就使用了这种方法，将银行网络建模为一个有向加权的风险敞口网络，在该网络中，如果银行过度暴露于倒闭的银行，银行就会倒闭。然后，可以通过摩尔和纽曼[21,22]研究图上SIR模型时使用的生成函数方法来确定脆弱银行的比例。Caccioli等人。

[8] 将银行系统的代表性作为资产和银行的双重网络，陷入困境的银行出售资产，这会降低资产价格，从而恶化其他银行的资产负债表，进而导致它们陷入困境。Hatchett和K¨uhn[1]通过成对的一般经济互动调查网络企业中的传染，这些互动包括但不限于金融风险，其中邻居的违约大大提高了节点的内在违约概率。网络上的传染虽然是一组相对异质的现象，但通过使用统计力学和计算机科学的工具（如Message passing[23,24]）已经成功地对其进行了大量分析。例如，在感染动力学方面，Altarelli等人[25]评估了靶向免疫策略的效率；Karrer和Newman[2]推导了网络对SIR型流行病易感性的解析解。本文重点讨论了Hatchett和K¨uhn[1]提出的模型，该模型研究了经济互动网络如何影响整个经济周期的系统违约可能性。该调查对“稀释但较大”连通性限制下的违约企业的平均比例进行了分析描述，即对于平均cof邻居数较大的网络（c→ ∞), 但与系统的规模相比（cN→ 0). 此外，分析仅限于Erd¨os-R¨enyi随机图，而不是更现实的重尾梯度分布，如Caccioli等人为奥地利银行网络[26]或Souma等人为母公司和子公司之间的联系，或日本银行和企业之间的联系[27]所发现的重尾梯度分布。

在下文中，我们将研究具有重尾度分布和有限平均度的网络。该模型有几个吸引人的特点：传染动力学并非完全由初始冲击驱动；它表明，系统性风险虽然明显依赖于风险敞口和关联性的全系统分布，但对个体依赖性相对不敏感；该模型为默认集群提供了清晰的机制；而且（正如我们将在下文中展示的那样），对于比[1]中最初考虑的更大类别的规范，它在分析上是可处理的。此外，其他模型，如Centola Macy[28]或Watts[29]模型，只要污染邻居的数量（或分数）超过某个阈值，就会引发传染，可以通过采取适当的限制来恢复，使其成为一个有价值的玩具模型。其许多参数原则上也可以通过适当的评级程序推断出来。然而，与其他方法不同的是，它没有研究传染的“微观结构”，例如，由交叉的投资组合（这是Caccioli等人[8]的主要关注点）或交易策略的相似性产生的传染。然而，我们认为，它可以直接概括为至少在定性层面上包括此类影响，并在以下方面提出一种可能的方法。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们定义了我们的模型，并建立了形式主义来分析其动力学。在第3节中，我们使用最新开发的动态消息传递方法提供了一般度分布（具有有限或有限连接性）的解析解，当底层网络是树时，这种方法是精确的，在大量图集合中通常是精确的。在第4节中，我们提供了数字结果，并在第5节中总结了我们的发现。

在附录中，我们使用生成函数分析来证明消息传递解决方案是配置模型随机图的正确有限网络限制。2模型定义我们的模型由局部树状加权随机图G=（V，E）和根据某些分布pw（wij，wji）绘制的边权重（wij，wji）组成。在信贷传染建模的背景下，这些节点描述了在经济中起作用的实体，无论它们是银行、对冲基金还是企业。edge（ij）可以被视为合伙企业或联合投资，其中i公司持有WIJAN股份，j公司持有wji股份（不需要等于wij）。如果一方违约，另一方将其股份记为财务损失。例如，人们可能会将一对节点视为原材料供应商和制造商：如果供应商违约，制造商需要根据其规格找到其他供应商会产生直接的财务影响，而失去客户显然会对供应商的资产负债表造成打击。我们将一个阈值θi和一个二元变量ni，t关联到每个节点∈ {0，1}表示节点是活动的（ni，t=0）还是默认的（ni，t=1），阈值θi与风险范围开始时节点i的资产相关。我们为图的邻接矩阵写A={aij}。在推导分析结果时，图的度分布将保持一般性。然而，对于数值结果，使用指数γ=3的幂律分布和硬截函数来模拟在这种情况下出现的厚尾分布（参见[30]）。在默顿模型中，企业被视为持有一定期限后必须偿还的债务。如果他们此时的财富低于债务价值，他们就会违约，财富被建模为初始财富加上高斯随机变量。

在默顿模型中，我们假设当企业的财富（即初始财富减去因邻居违约而产生的损失，再加上随机噪声项）降至零或以下时，企业违约。我们把时间t的财富写成θi，t=θi+ηi，t-Xjaijwijnj，t.（1）由于噪声的存在，默认值是随机事件。噪声变量ηi，t的形式为ηi，t=ξ0，t+ξi，t。（2）ξ0是随机变量，在整个经济中引起噪声的相关性，因此代表了变化的全球经济条件的影响。与通常的默顿模型（使用随机游动来确定单周期模型中的违约概率）不同，我们使用多周期方法，{ξi，t}是单个时间步的特殊噪声变量。我们把{ξi，t}作为i.i.d.，尽管我们可以允许它们的分布随时间而变化。这种噪声分解符合BaselII协定[31]的最低建议。然后，ni，t根据动力学规则ni，t+1=ni，t+（1- ni，t）Θ(-θi，t）。（3） 以这种方式写下，动力学将ni=1作为吸收态：如果ni，t=1，那么对于所有t>twe，我们将ni，t=1。从建模的角度来看，违约的不可逆性是本文所考虑的有限时间范围内的合理假设。这是一个关键点：由于这种吸收状态，我们没有记忆效应，可以很容易地获得ρ。换句话说，我们不必为每个节点考虑指数（2T）数量的可能轨迹toT+1个可能轨迹，从而实现了极大的简化。我们在本文中的目标是计算有限时间范围T内默认节点的比例，即计算ρ（T）=NXini，T，（4），其中N=|V |是经济中的企业数量。

我们将ρ（T）称为默认分数。考虑到模型的建立方式，轨道{ni，t}经历了马尔可夫动力学。他们的联合概率分解了asP{ni，t}t=0，·t；我∈五、= P（{ni，0}）TYt=1P{ni，t}i∈V |{ni，t-1} 我∈五、.在下面的内容中，我们将省略i和t下标的给定范围。由于ξi是独立的，我们可以对它们进行积分。在时间t，P（{ni，t}|{ni，t）产生的跃迁概率-1} ，在asP（{ni，t}|{ni，t）上进行因式分解-1} ）=Yip（ni，t | ni，t-1，{nj，t-1} j∈i） ，其中i表示节点i的邻居集。只要节点i在时间t处于活动状态- 1，它的跃迁几率p（ni，t | ni，t-1=0，{nj，t-1} j∈i） 取决于当地的情况，t-1=Xjaijwijnj，t-1=Xj∈iwijnj，t-在阈值θi上，也就是说，它的形式是p（ni，t=1 | ni，t）-1=0，{nj，t-1} j∈i） =Wt-1（嗨，t-1.- θi），其中Wt-1是一个函数，其精确形式取决于噪声ηi，t的分布-1时间- 1.相反，对于在时间t默认的节点- 1.单点转移概率独立于其局部区域，仅由p（ni，t | ni，t）给出-1=1，{nj，t-1} j∈i） =δni，t，1，反映了上述意义下动力学的不可逆性质（ni，t=1为吸收状态）。书写ni=（ni，0，ni，1，··，ni，T），我们发现通过一个单独的默认时间潮汐来参数化路径nib是有利的，它定义为ni，T<ti=0和ni，ti=1的时间。此外，我们假设{ni，0}i∈V=0，省略了对初始条件的依赖（这只是禁止默认时间ti=0）。

在这些假设下，我们可以把路径概率写成默认时间概率：P（{ni，t}）=P（{ni，0}）P（{ti}{ni，0}）=YiP（ti |θi，hi），其中P（ti |θi，hi）=Wti-1（嗨，ti-1.- θi）ti-2Ys=0[1- Ws（嗨，s- θi]，（5）我们引入了符号hi={hi，s}s=0，·T-1.此外，我们必须包括一个特殊情况，其中一个节点在时间范围T内不默认，对应于路径ni，对于所有T，T=0≤ T节点i的这种“生存”路径的概率由p（生存|θi，hi）=T给出-1Ys=0[1- Ws（高，s- θi）。（6） 在默认时间的任何总和中，生存路径都将被隐式包含（通过设置WT=1，它可以直接映射到默认时间t=t+1）。函数wt对模型的噪声进行编码：在噪声ξi为高斯的情况下，我们的参考值为wt（x）=Φ（x）- ξ0，t）（7），其中Φ是高斯累积分布函数（cdf），而确定性模型的Wt（x）=Θ（x），其中Θ是Heaviside函数。在这一点上，我们可以指出，WTF通常不需要用cdf来定义，可以是任意的转移概率，例如，它们不需要对局部场是单调的。事实上，无论Wtwe的选择是什么，它都在[32]中定义的2态单向模型的范围内。此外，通过使P（n）（或相当于W）为合适的播种概率，取常数耦合wij=wand wealthθi=θ，取零噪声极限并设置θW，可以恢复自举渗流-1=c表示常数c，对应于传播默认值所需的默认（受感染）邻居的数量。

对于瓦茨型渗流，应考虑θ=kθ，而不是k是节点的度。在通常的SI模型中，节点i每个时间步都有被受影响邻居感染的概率，这可以通过选择wij在当前框架中表示=- 日志（1）- uij），θ=0，重量（x）=1- 经验(-x） ，以及WIJ分布的适当变化，以反映所需的uij分布。3消息传递方法下面的方法是Karrer和Newman[2]提出的方法的扩展，适用于键无序的系统。Ohta和Sasa[33]中给出了均质系统（无键无序和均匀度）的更简单的方程式。在Altarelliet al.[34]和Lokhov et al.[32]中，这些方程是在存在键无序的情况下，针对单实例情况（无图系综平均）推导的。包含图系综平均的结果，因此提供了在热力学极限下有效的描述，也可以从生成泛函分析中导出。在该推导过程中，下面导出的消息传递方程在路径积分的鞍点计算中显示为自洽方程。它们的详细结构是连接模式稀释性质（相对于系统大小）的自然结果。附录中提供了这种替代推导。我们考虑Ki度的节点i和相邻节点集{j∈ i} 。为了计算节点i在时间t的缺省概率，我们需要八个节点j中的每一个在所有时间τ<t的边际缺省概率，知道节点i仅在时间t缺省。