互动经济中的传染

收敛速度与N-1/2法律。0 2 4 6 8 10 1200.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1tρt平均违约分数无溢出（r0=0）溢出（r0=1）（a）在中性宏观经济条件下（ξ=0）溢出r=1（红色圆圈）的amodel与无溢出（蓝色正方形）的结果相比的平均违约分数。这些结果为0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110-410-310-210-1100101102ρ12P（ρ12）违约概率分布无溢出（r0=0）溢出（r0=1）（b）与ξ的无溢出（蓝色虚线）结果相比，有溢出r=1（红色实线）的年末违约概率~ N（0,0.2）。图4200 450 1000 2250 500010-310-2相对误差与系统尺寸的相对误差系统尺寸图5：不同网络尺寸的有限尺寸模拟与空腔预测的相对偏差的对数图。5结论在本文中，我们研究了[1]中介绍的信贷传染模型，并在热力学极限下，利用[32]中详细介绍的方法和生成泛函分析，导出了一般局部树状稀疏图上的损害扩散动力学的分析解。虽然这两种方法产生了相同的动力学方程，但生成泛函方法开辟了开发系统近似模式的前景，例如，可以为大平均连接极限提供简化的动力学方程，或允许研究有限尺寸修正。我们发现，对于平均违约率和由不同宏观经济条件引起的年末违约率分布，分析预测与模拟结果都非常一致。

因此，将中等系统规模的模拟结果与热力学极限相关的结果进行比较，表明目前的理论方法确实提供了大型非均质系统中传染动力学的可行描述，即使有限实例将包含相当数量的短回路。我们对高度示意性情景的初步结果支持这样一种观点，即资产再出售产生的溢出效应构成了系统性不稳定的相关驱动因素，而系统性不稳定似乎比直接传染更重要。然而，在这个模型中，研究大量（按N比例）资产的分布是很有趣的。我们在不同宏观经济条件下对违约分布的调查显示，在缺乏反周期措施的情况下，风险会大幅增加。我们的分析可以扩展到调查此类措施的影响，例如考虑资本缓冲规模、风险敞口规模（由交互权重给出）或初始财富的ξ依赖比例，或这些因素的组合。这里公开的方法可以很容易地扩展到更一般的模型。特别是，通过在我们的模型中包括一种情况，即在节点iat时间t默认时，其相邻节点产生的损失将经历wji（t+τ）=ri（τ）wji类型的阻尼，其中ri在一组阻尼特性（例如指数阻尼或阶跃函数）中选择，从而增加恢复。在这种情况下，我们可以简单地与SIR模型进行比较。我们认为，我们的方法特别适合于需要详细信息的情况，或者网络太大以至于无法进行直接模拟的情况。实际上，本文提出的消息传递方案并不依赖于网络大小。在分析方面，悬而未决的问题依然存在。

一个有趣的问题是计算大偏差函数，这项工作得到了欧盟第七框架工作计划FP7/2007-2013/REA grant agreement n.290038的人民计划（玛丽·居里行动）的支持（CF）。我很高兴感谢卢卡·达尔阿斯塔的富有启发性的讨论。附录。1生成函数分析我们在这里对上述模型进行生成函数分析。该分析非常通用，几乎可以应用于任何节点通过本地场耦合的网络。该方法已被很好地理解，并已在其他各种研究中使用[36、37、38]，尽管本文给出的版本有所不同，因为我们可以将自己的积分参数限制为有限（低）个，而不是引入路径积分。该方法如下：考虑到特定的度序列和财富配置，我们引入了一个生成函数，用于评估与传染动力学相关的观察值的平均值和相关函数，如等式（3）所述，在以度序列为条件的图集合上。

利用网络的稀疏性，我们将生成函数表示为具有有效作用的积分，并使用鞍点近似计算N阶积分。最初的部分很简单：正如标准场论一样，我们希望计算可观测值ni，tG[ψ| k.θ]=*exp的相关性的生成函数Xi，tψi，tni，t+（16） 对于给定的辅助场ψ，其中h··i表示给定图和财富实现（k，θ）的动力学平均值（默认时间），而（··i）表示与该实现兼容的图的平均值。一旦计算出这样的函数，就可以使用hni，ti=ψi，tG[ψ| k，θ]ψ=0，而相关函数由更高的导数给出，例如倪，tnj，t= ψi，tψj，tG[ψ| k，θ]ψ=0.在我们的情况下，我们主要感兴趣的是全球平均ρ（t）=NXihni，ti。由于我们仅将生成函数方法作为一种工具来获得动力学的宏观描述，因此我们实际上可以将源场ψi删除，如下所示。在图上进行平均，即在图的邻接矩阵A上和耦合sw={wij，wji}（ij），生成函数表示为g[k，θ]=XAZdw P（A，w | k）X{ti}YiP（ti |θi，hi）。然后，我们使用Dirac delta函数及其傅里叶表示，通过局部域{hi}来“提取”P（ti |θi，hi）对耦合w的依赖性，从而获得[k，θ]=XAZdw P（A，w | k）zyixtizhid^hi（2π）TP（ti |θi，hi）×exp-你好·你好-Xjaijwijn（tj）, （17） 正如我们现在将看到的，它允许对图进行平均。A.2图概率当对图进行平均时，即使对于树状图，我们也有许多图集合可供选择。

它们分为两大类：微观规范集合，其中绘制邻接矩阵以精确再现给定的度序列（具有规定的度分布），以及随机选择链接以使度仅平均遵循给定的度序列的规范模型。在下面的推导中，我们使用了一个微观规范配置模型：我们考虑一个“典型”（自平均）度序列k，并且我们在这个给定度序列的图上取一个统一的概率：P（a，w | k）∝Y（ij）pw（wij，wji）δaij，ajiYiδki，Pjaij。（18） 为了我们的目的，重写它更容易asP（A，w | k）∝Y（ij）pw（wij，wji）δaij，aji香港国际机场1号+1.-香港δaij，0Yiδki，Pjaij，其中，对于与所选度序列兼容的所有邻接矩阵，额外因子被视为独立于A的选择[36]，允许将其吸收到分布的整体归一化常数N中。然后，我们使用Kronecker三角洲的傅里叶分解togetP（A，w | k）=NZYidωi2πe-iωikiY（ij）pw（wij，wji）hkiNei（ωi+ωj）δaij，1+1.-香港δaij，0.等式（17）中的平均过加权图相对于边进行因式分解，因此生成函数可以表示为g=NYiXtiZdhid^hi（2π）Tdωi2πe-iωikiP（ti |θi，hi）e-i^hi·hiY（ij）Dij，其中单个边缘贡献的形式为Dij=Xaij=0,1Zdwijdwjipw（wij，wji）hkiNei（ωi+ωj）δaij，1+1.-香港δaij，0x expnaijhij^hi·n（tj）+iwji^hj·n（ti）io=Zdwijdwjipw（wij，wji）×1+hkiNhei（ωi+ωj）exp inwij^hi·n（tj）+wji^hj·n（ti）o- 1i.

（19） 我们可以对边权重进行积分，结果表明，即使p（wij，wji）不是，积分也是可分解的：Deiwij^hi·n（tj）eiwji^hj·n（ti）Ewij，wji=Deiwij^hi·n（tj）EwijDeiwji^hj·n（ti）Ewji（20）直觉上很清楚为什么会出现这种情况：因为一个节点一旦默认，它的邻居的后续默认值就不会影响它，这些耦合的价值无关紧要。因此，如果nodei首先违约，那么wji是否遵循边际分布或条件p（wji | wij）是既相关又不可能确定的，我们可以假设前者。从形式上看，这是由于一个相当微妙的点：对于给定的节点i，默认时间为ti，而字段hi和^hi有T个分量（hi，0，hi，1，··，hi，T）-1） ，P（ti |θi，hi）仅取决于第一个ti- 1.hi的组成部分。因此，对于剩下的组件，{hi，s}s上的集成≥Ti屈服δ（^hi，s）。为了避免表达式混乱，我们没有显式地执行此积分，但请注意，^hi，s=0表示s≥ tiimpliesexp inwij^hi·n（tj）+wji^hj·n（ti）o=exp iwijXtj≤s<ti^hi，s+wjiXti≤s<tj^hj，s,因此，在积分中只有一对（wij，wji）出现。这种“动态因式分解”是一种至关重要的简化。为了简化我们的表达式，我们引入了χ（^h，t）=Deiw^h·n（t）Ew。（21）A.3有效行动结合所有边缘相关部分的平均值，我们得出Y（ij）Dij=Y（ij）1+hkiNhχ（^hi，tj）χ（^hj，ti）ei（ωi+ωj）- 1i.假设图是稀疏的，即hki N、 这可以用指数形式y（ij）Dij=exp重写hkiNX（ij）hχ（^hi，tj）χ（^hj，ti）ei（ωi+ωj）- 1i= 经验hki2NXi，jχ（^hi，tj）χ（^hj，ti）ei（ωi+ωj）-N hki. （22）我们将把HKiPart吸收到归一化常数N中。

写入p（ω，t，^h）=NXiδ（ω- ωi）δt，tiδ（^h）-^hi）我们可以重写之前的表达式（22）asY（ij）Dij=expNhkiXt，tZd^h d^hZdωdωχ（^h，t）χ（^h，t）eiωeiωP（ω，t，^h）P（ω，t，^h）.我们看到这种形式几乎是因式分解的。然后我们引入了量纲（t | t）=Zd^hdωχ（^h，t）eiωP（ω，t，^h）=Zd^hdωNXiδ（ω- ωi）δt，tiδ（^h）-^hi）χ（^h，t）eiω=NXiδt，tiχ（^hi，t）eiωi，并通过将m（t | t）视为积分变量，使用辅助变量^m（t | t）通过δ函数的傅里叶表示来执行其定义：1=Zdm（t | t）d^m（t | t）2π/Nexp(-i^m（t|t）Nm（t|t）-Xiδt，tiχ（^hi，t）eiωi！）。我们注意到，引入此积分后，站点有效地解耦。因此，生成函数按N的前导顺序读取，G=NZYt，tdm（t | t）d^m（t | t）2π/Nexp{N[G+G+G]}，其中G=hkixtm，tm（t | t）m（t | t），G=- iXt，tm（t | t）^m（t | t），G=NXiln Zi，其中Zi=XtZdh d^h（2π）Tdω2πe-iωkiP（t |θi，h）e-i^h·hexp（ieiωXtχ（^h，t）^m（t|t））。（23）利用（k，θ）配置的自平均特性，我们可以用hz（k，θ）ik，θ替换npizi（ki，θi），同时只产生N阶误差-1/2. 函数G=G+G+G表示问题的有效作用。A.4鞍点现在，考虑到积分的形式，我们被引导到N中→ ∞ 限制考虑鞍点近似，这将导致我们用其在鞍点的值替换积分的前导阶。鞍点方程m（t | t）（G+G+G）=0和 ^m（t | t）（G+G+G）=0readhki m（t | t）=i^m（t | t）（24）和m（t | t）=*Rdh d^h（2π）TRdω2πP（t |θ，h）e-我^h·他-iω（k）-1） χ（^h，t）表达式ωPtχ（^h，t）^m（t | t）oPsdh d^h（2π）TRdω2πP（s |θ，h）e-我^h·他-iωkexpnieiωPsχ（^h，s）^m（s|s）o+k，θ。我们可以在ω上进行积分，使用（24），这个给定sm（t | t）=*pkkpkkhkirdh d^h（2π）TP（t |θ，h）e-i^h·hχ（^h，t）nPtχ（^h，t）m（t|t）ok-1PsRdh d^h（2π）TP（s |θ，h）e-i^h·hnPsχ（^h，s）m（s|s）ok+θ。

（25）我们可以使用与[36]中相同的方法来解释m（t | t）：鞍点处的m（t | t）显示为条件概率，即，假设我们知道其一个邻居在时间t处违约，则节点在时间t处违约的概率。因此，我们必须有ptm（t | t）=1，请记住，我们在这个总和中还考虑了节点未在有限风险范围内违约的概率，1，T另一种看待事物的方式是，我们假设规范化ptm（t | t）=1，并将证明此类解决方案是自一致的，并且与消息传递解决方案中引入的消息一致。我们现在记住两件事。首先，在（25）分子中的积分中，s的所有分量^hss≥ t取消，如前所述，并在公式（20）中利用。其次，χ（^h，t）是标量积^h·n（t）=PT的函数-1s=t^hs。因此，在（25）中的积分中，这个和实际上是^h·n（t）=Pt-1s=t^hs，因此χ（^h，t≥ t） =χ（0，t）=1。因此m（t | s≥ t） =m（t | t），例如，例如m（1 | 2）=m（1 | 1）。从上面给出的m（t | t）的解释中可以清楚地看出这一点，因为在一个人自己的默认值之后，邻居的默认值不能影响原始节点，正如前面章节中所指出的那样。如前所述，我们在第3节中写道，m（t）≡ m（t | t≥ t） 。利用这些观测，我们可以进一步简化方程。首先我们注意到，在这些约定中。

（25）我们有xtχ（h，t）m（t | t）=1.-Xt<tm（t）+Xt<tm（t）χ（^h，t），因为如前所述，s的所有成分都消失了≥ t和χ^h，t仅取决于组件^hss≥ t、 其次，我们注意到分母xszdh d^h（2π）TP（s|θ，h）e-i^h·h（Xsχ（^h，s）m（s|s））kin（25）等于1。事实上，考虑T=2的简单情况：我们有三种可能的轨迹：o节点默认在第一时间步（T=1），对应于termZdh d^h（2π）W(-θ） e-h=h·710(-θ） 在分母中o节点默认为第二时间步（t=2），对应于术语zdh d^h（2π）（1）- W(-θ） ）W（h- θ） e-i^h·hnm（1）χ（^h，1）+（1）- m（1））oko节点在时间范围内不默认，对应于termZdh d^h（2π）（1- W(-θ)) (1 - W（h）- θ） ）e-i^h·hnm（1）χ（^h，1）+（1）- 式（6）中求和这些项，我们得到z（k，θ）=W(-θ） +Zdh d^h（2π）（1）- W(-θ） ）W（h- θ） e-i^h·hnm（1）χ（^h，1）+（1）- m（1））ok+Zdh d^h（2π）（1）- W(-θ)) (1 - W（h）- θ） ）e-i^h·hnm（1）χ（^h，1）+（1）- m（1））ok=W(-θ） +Zdh d^h（2π）（1）- W(-θ） ）e-i^h·hnm（1）χ（^h，1）+（1）- m（1））ok=W(-θ) + (1 - W(-θ） ）=1，并且推理可以在不太困难的情况下扩展到T>2。最后，给出了m（t | t）readm（t | t）=*XkkpkhkiZdh d^h（2π）TP（t |θ，h）e的鞍点方程-i^h·hχ（^h，t）Xt<tm（t）χ（^h，t）+1.-Xt<tm（t）K-1+θ，whilem（t）=*XkkpkhkiZdh d^h（2π）TP（t|θ，h）e-i^h·hXt<tm（t）χ（^h，t）+1.-Xt<tm（t）K-1+θ.

（26）平均违约概率由p（t）=*Zdh d^h（2π）TP（t |θ，h）e给出-i^h·hXt<tm（t）χ（^h，t）+1.-Xt<tm（t）k+k，θ。这些等式和它们的消息传递等价物之间有什么联系？重新计算χ（^h，t）=dew^h·n（t）Ew。因此，在展开（26）后，我们得到m（t）=*XkkpkhkiZdh d^h（2π）TP（t|θ，h）e-i^h·hk-1Xq=0K- 1q1.-Xt<tm（t）K-q×Xτ，··，τq<tqYi=1χ（^h，ti）m（τi）+θ=*XkkpkhkiZdh d^h（2π）TP（t |θ，h）e-i^h·hk-1Xq=0K- 1q1.-Xt<tm（t）K-1.-q×Xτ，··，τq<tZqYi=1dwiw（wi）m（τi）eiwi^h·n（τi）+θ=*XkkpkhkiZdh P（t |θ，h）k-1Xq=0K- 1q1.-Xt<tm（t）K-1.-q×Xτ，··，τq<tZqYi=1dwipw（wi）m（τi）δ（h-qXi=1win（τi））+θ=Xkkpkhkik-1Xq=0K- 1q1.-Xt<tm（t）K-1.-q×Xτ，··，τq<tZqYi=1dwipw（wi）m（τi）*Pt |θ，qXi=1win（τi）+θ、 可以看出与（13）相同。参考文献[1]J.Hatchett和R.K¨uhn，“经济互动对信用风险的影响”，《物理学报：数学与通则》，第39卷，第10期，第22312006页。[2] B.Karrer和M.E.Newman，“一般流行病模型的消息传递方法”，物理评论E，第82卷，第1期，第016101页，2010年。[3] A.G.Haldane和R.M.May，“银行生态系统中的系统性风险”，《自然》第469卷，第7330号，第351-355页，2011年。[4] R.C.默顿，“关于公司债务的定价：利率的风险结构*，《金融杂志》，第29卷，第2期，第449-470页，1974年。[5] P.Gai和S.Kapadia，“金融网络中的传染病”，《皇家学会学报：数学、物理和工程科学》，第466卷，第2120期，第2401-2423页，2010年。[6] D.Eglo Off、M.Leippold和P.Vanini，“信贷传染的简单模型”，《银行和金融杂志》，第31卷第8期，第2475-2492页，2007年。[7] S.Heise和R.K–uhn，“互联网络中的衍生品和信贷传染”，欧洲物理期刊B，第85卷，第4期，第1-19页，2012年。[8] F.卡奇奥利、M.什雷斯塔、C.摩尔和J.D。