带有强制遗赠的投资组合选择

通过直接代入（2.7）和（2.8），并求解简单的微分方程f或a（t），φ（t，x）=exprγ+(-r+r）γ2s（1- γ)·xγγ（4.6）同样，最优控制u*可从（4.3）中导出：u*（t，x）=-r+rs（1）- γ） （4.7）首先，我们不认为最佳比例u*事实上是恒定的。folit=1的平均增长率为- U*) + 汝*=（r）- r） s（1）- γ） +rσ=u*2s=（r）- r） s（1）- γ） 因为r>rand 0<γ<1，我们有u*∈ （0,1），这意味着这两种证券都会有投资。这是投资组合中套期保值的一个简单例子，证明了多元化的重要性。不可能，投资组合不需要任何借款（u（t）≥ 1）或卖空（u（t）≤ 0）以保持最佳比例。由于模型假设不允许价格降至0，因此永远不会有破产风险（Zt）≤ 0).在异常情况下，当r>r，u为负值时，投资者会以最佳方式卖空股票，以获得更安全、高回报的银行资产。然而，如果shortsoldstock资产产生意外的高回报，投资者就有可能破产。5.无交易成本的消费考虑了一个更具挑战性的双资产问题，类似于默顿[1]中的ed。然而，我们概括了这样一个问题，即个人也会获得大量的外部收入。强制遗赠的投资组合选择假设没有交易成本。在每一个瞬间，投资者都被允许消费她的部分资产（不管是哪一项资产，因为没有交易成本）。portfoliogrows来自资产收益率和已知的持续外部收益。

投资者现在也希望考虑她从持续消费中获得的效用，而不仅仅是最大化她的最终收益。然后，解决方案不仅必须确定每种安全性的最佳投入量，还必须确定适当的内存消耗，以实现效用最大化。设两部分控制为w=w（t，x）=（u，c）∈ U、 其中U=U（t，x）是投资于风险资产的财富的分数，c=c（t，x）是消费，两者都是在瞬间t。如消费3中所建议的，让投资者的收入为y（t）。然后，微分健康方程可以写成dzt=[Zt（r（1- u（t））+ru（t））+y（t）- c（t）]dt+Zt（su（t））dbt新的性能函数可以描述为j=E中兴通讯-ρtc（t）γdt+B（t，XT）式中，ρ是决定未来现金流现值的贴现率，B是出口时间t的遗赠函数。表示c（t）=c（t）- y（t）。然后这个问题可以重新表述为：dZt=dZ（u）t=[Zt（r（1-u（t））+ru（t））+c（t）]dt+Zt（su（t））dBt（5.1）J=E中兴通讯-ρt（`c（t）+y（t））γdt+B（t，XT）（5.2）在控制之下‘w=（u，’c）∈使用HJB方程，我们寻求φ（s，x）=supu，\'c{Ju，\'c（s，x）}：0=supu，\'c{fu，\'c（t，x）+（Lu，\'cφ）（t，x）}=supu，\'c的最优性E-ρt（`c+y）γγ+φt+[x（r（1- u） +ru）- \'c]φx+suxφ十、为了达到上确界条件，计算了关于u和c的两个第一或第二条件：φc=0=> \'c=\'c（t，x）=（φx·eρt）1/（γ）-1)- y（t）φu=0=> u=u（t，x）=-(-r+r）φxsxφxx（5.3）带强制性遗赠的投资组合选择12将u，`c替换回原始HJB方程，0=φt+rxφx-（r）- r） φx2sφxx- （φxeρt）1/（γ）-1） φx+yφx+e-ρtγ（φxeρt）γ/（γ）-1） （5.4）首先，如果φ=e-ρtφ，eρt的所有倍数都可以被取消，使得0=~φt- ρρφ+rxφx-（r）- r） φ′2x2s~φxx- （~φx）γ/（γ）-1） +y~φx+（~φx）γ/（γ）-1） γ设φ的溶液形式为φ=a（t）γ（x+N（t））γ。

这使得解可以通过将（x+N（t））的幂相等来清除额外的y（t）项。加上1/γ项，使得φ的导数看起来很好。因此，N′（t）+y（t）+rxx+N（t）必须是常数。然而，由于N（t）只依赖于t，常数必须是r，因此我们必须求解简单的微分方程y（t）+N′（t）=rN（t）（5.5）。显然，如果y（t）=0，那么N（t）=0将是问题的简单解。现在，作为t→ 由于预期未来总收入为0，这类似于没有收入的情况，或y（T）→ 0代表t∈ [t，t]。等价地，N（t）→ 0，因此N（T）=0。我主张N（t）被描述为投资者在时间t的未来收入流（在表达式x+N（t）中加上其当前收入）。因此，N（t）可以被描述为，N（t）=ZTty（s）e-r（s）-t） ds（5.6）为了证明这一点，我们首先验证了边界条件，当t=t，N（t）明显为0时。然后，利用积分符号[7]下的微分定理，N′（t）=- y（t）e-r（t）-t） +ZTtry（s）e-r（s）-t） ds=- y（t）+rZTty（s）e-r（s）-t） Dthus，给出的N（t）表达式实际上是微分方程的解。带有强制遗赠的投资组合选择=e-ρta（t）γ（x+N（t））γ回到（5.4），HJB方程可以简化为0=a′（t）- a（t）ρ+a（t）rγ- a（t）（r）- r） γ2s（γ- 1）+a（t）γ/（γ）-1)(1 - γ） 表示u=-ρ+rγ+（r-r） γ2s（1）-γ). 这是伯努利方程的形式，它有精确的解：对于u6=0:a（t）=γ - 1+经验u·（C）-t） 一,-γu1.-γ和对于u=0:a（t）=C- t+tγ1- γ1.-γ，其中Ca常数取决于遗赠函数。现在，整个问题可以用φ来解决。

因此，由于c（t）=c（t）+y（t），最优控制是c*（t，x）=a（t）1/（γ）-1） ·（x+N（t））（5.7）u*（t，x）=（r）- r） （x+N（t））xs（1）- γ） （5.8）我们需要检查问题的条件，以验证解决方案是明确的，特别是1。φ相对于x2单调递增且凹。最优消耗函数c大于0。自从γ∈ （0,1），条件1和2不满足当且仅当我们有a（t）≥ 0.因此，我们只需要u6=0：γ - 1+经验u·（C）- t） 一,- γu-1.≥ 对于u=0C，则为0≥ t（1）- γ） 对于t的所有值∈ [0，T]。为了得到一个完整的解决方案，让投资者有一个单位时间y（t）=y的康斯坦丁康，即u6=0。此外，takeB[T，ZT]=0——也就是说，在时间T时，投资者不会从任何超额资产中获得任何进一步的效用。使用（5.6）并以y（t）=y为常数，N（t）可以作为N（t）=yr（1）来求解- 呃(t)-T））。（5.9）强制遗赠的投资组合选择14另一方面，边界条件要求a（T）=0，或等效地，expu·（C）- T）1- γ= 1.- 求C的γ，我们得到C=（1）- γ） /u·log（1- γ） +t推导出a（t）的表达式并简化，我们得到a（t）=（γ）- 1 ) (1 - exp（u（T）-t） 一,-γ))u#1-γ（5.10），对于所有的u6=0都有很好的定义。证明：由于γ<1，对于u>0，井密度保持if1- exp（u（T）- t） /（1）- γ） ）（5.11）为阴性。这是正确的，因为u>0且t<t，因此使得术语eu（t-t） /（1）-γ） 大于1。对于u<0，如果（5.11）项为正值，则定义良好。然而，现在由于u>0，eu（T-t） /（1）-γ） 小于1。这意味着对于所有的ua和t<t，对于这个问题，a（t）的表达式定义得很好。备注5.1。在u=0的情况下，C=T（1- γ).

然后，a（t）=（t- t） 一,-γ≥ 0，这本身就是对时间效应的一个令人惊讶的简单表达。因此，对于遗赠函数B=0的问题，完整的解决方案是：*（t，Zt）=u（Ztr+y（1- 呃(t)-T）r（1- γ)经验u（T）-t） 一,-γ- 1.（5.12）美国*（t，Zt）=（r- r） （Xtr+y（1）- 呃(t)-T））Zts（1- γ） r（5.13）从完整解（5.12）和（5.13）中得出的一个重要观察结果是，当y=0时，最佳比例保持与从之前的r问题中得出的固定比例u相同，而这仅与最终财富有关。随着收入的增加，文件夹选择不再独立于财富和时间。这是意料之中的，因为随着更高的收入流或更大的当期收入，投资者能够接受更高风险的投资组合，以获得更高的收益。从数学上讲，这可以表示为u/y>0和u/x>0。另一方面，如果y为负，那么我们可以将带有强制性遗产的投资组合选择15作为固定的基本消费进行讨论，投资组合持有比例将更倾向于安全资产。将个人的有效未来财富表示为受无风险利率或Y（t）影响的收入流的现值是有意义的，其中Y（t）=N（t）=ZTty（t）e-r（s）-t） dt（5.14）随着t的增加，从“u”的比例中选择er的动机降低→ 因为有效的未来财富趋于0。在计算最优消费时，投资者将有效总财富视为其当前财富和有效未来财富之和。然后，这组解符合弗里德曼的永久收入假说[8]的性质。如果有效的总财富是固定的，c′*（t） c*（t）=C*（t）tc*（t） =u（1）- γ） （实验）u（T）-t） 一,-γ- 1） 表示消费相对于时间的瞬时增长率。显然，随着时间的推移，消费将会增加*（t） /c*（t） >0。

然而，更有趣的是，我们可以从背后得出一个经济意义。如果u>0，则c′*（t） /c*（t） 生成指数增长形式的图形。这意味着随着时间的推移，大部分消费增长的速度要快得多。另一方面，当u<0时，c′*（t） /c*（t） 是一种逆合一的形式，消费增长发生得更快。然后，u作为未来消费倾向的衡量指标，高回报投资选项的好处与高贴现率的缺点相比有很大的不同。6.具有交易成本的消费本节对Magill和Constantinides的论文[3]进行了阐述，并进行了轻微的修改和简化。前面的问题表明证券交易是连续的。由于偿付能力区域内的每个可能州都有一个最佳比例，因此投资组合需要进行微小的持续调整，以达到HJB方程规定的最佳控制。然后，交易的无成本成为一种可能的假设，因为即使交易机会在时间上持续可用，投资者也无法持续执行交易。因此，在这个问题中，我们引入了一个带有强制遗赠的交易对价选择，这样交易就不会持续发生。预计这一增加将导致投资者随机使用其可用的交易机会，但这是一个更现实的场景。投资者从财富Z=（Z（0），Z（0））开始，其中Z（0）是她持有的现金，Z（0）是股票财富。

然后她的两个资产满足随机微分方程dz=[rz+y（t）- c（t）- （1+χ+χv）v（t）]dtdz=[rz+v]dt+[sz]dBt（6.1），其中v（t）=z′（t）·p（t）=-z′（t）·p（t）是投资者决定的时间t的交易金额。假设函数的性能与前一个问题的性能没有变化：Jv，c=E中兴通讯-ρtc（t）γdt（6.2）设控制为w（t，x）=w=（c，v）。为了使用随机控制问题解决这个问题，让dzbe修改为todz=lim→0[rz+v]dt+[s（z+v）]dBt（6.3）备注6.1。Magill和Constantinides[3]提出的这个限制程序是解决这个问题的关键。它的美妙之处在于，解控制可以线性地进入HJB方程，但不影响扰动项。用HJB方程计算φ（s，x）=supv，c{J（s，x）}：φ（s，x）=sup{e-ρtcγ/γ+φ（rz+Y）- C- （χ+1+χv）v）+φ（rz+v）+φ1,1s（z+v）+φt}（6.4），适当的终端条件φ（t，zT）=0（6.5），其中φi=φ/Zi和φi，j=φ/zizj。关于c，v的一阶条件，我们必须有0=e-ρtc*γ-1.- φ0 = - φ（χ+1+χv）+φ+φ1,1s（z+v）*)带有强制性遗产的投资组合选择，这意味着*= （eρtφ）1/（γ）-1） 五*= （1/）{（φ（χ+1+χv）- φ） /（sφ1,1）- z} （6.6）代以c*和v*回到HJB方程（6.4）0=e-ρtγ（eρtφ）γ/（γ）-1） +φrz+φ（rz+Y）+φt- φ（eρtφ）1/（γ）-1） +（φ（χ+1+χv）- φ） z-φ1,1（φ（χ+1+χv）- φ） 受上一个问题的启发，代换φ=e-取ρtγa（t）（z+bz+N（t））γ作为解φ偏微分方程的猜想。这样，在方程中（z+bz+N（t））被取为相同的幂，brz+rz+Y+N′（t）+z（χ+1+χv- b） /z+bz+N（t）必须是常数。由于z的系数在交叉相乘后应该在两侧相同，所以这个常数是r。

然后，通过将其余的项相等，b=χ+1+χv1+（r- r） rN（t）=y（t）+N′（t）（6.7）右手方程简单地将N（t）描述为我们在上一节中展示的财富（5.6）的效果。N（t）=ZTty（s）e-r（s）-t） ds=Y（t）HJB方程可以简化为a′（t）+（1）- γ） a（t）γ/（1）-γ） +ua（t）=0，其中u=-ρ+rγ-γ（χ+1+χv）- b） 2bs（γ）- 1 )=-ρ+rγ+γ（r- r） 2（1）- γ） s从而满足终端条件a（T）=0。求解a（t）的微分方程时，该解与强制遗赠的投资组合选择的解没有变化18（5.10），a（t）=（1- γ） （exp（u（T-（t）-11-γ)u#1-γ（6.8），对于所有u6=0都有很好的定义（见上一节的演示）。然后，在z=（z，z）下的一整套解可以被刻画为φ（t，z）=e-ρtγ“（1- γ） （exp（u（T-t） 一,-γ- 1)u#1-γz+χ+1+χv1+（r- r） z+Y（t）γc*（t，z）=uz+χ+1+χv1+（r- r） z+Y（t）(1 - γ） （exp（u（T- t） 一,- γ) - 1)-1v*（t，z）=（r）- r） （γ）- 1） s·1+（r）- r） χ+1+χvz+χ+1+χv1+（r- r） z+Y（t）- Z（6.9）消费的表达式与第二个问题（5.12）的表达式没有区别，因此将省略分析。相反，我们将深入研究事务函数v*理解它。v的公式*令人惊讶的是→ 0，v*→ ∞. 这可以用v来解释*作为一种瞬间变化，以满足特定标准，从而产生期望的行为，即交易发生在随机情况下，而不是连续发生。为了进行完整的分析，我们将v除以*假设W（t）>0，则通过个体W（t）W（t）=z（t）+z（t）+Y（t）的总财富的影响。表示πi=zi/W，πy=y/W，因此，π+π+πy=1。设π=（r）-r） （1）-γ） 注意π>0，π是第一个问题中导出的一个最优控制。

这使我们能够分离v的作用*只有有效总财富在当前风险资产中的比例π。林→0χ+1+χv1+r- r） 五*W=ν（π，χ）ν（π，χ）=π（π+（χ+1+χv）π+πy）- π（χ+1+χv）=π（π+π+πy）+πχπ+πχvπ- π（χ+1+χv）=（χv+χ）π+π- （χ+1+χv）π（6.10）函数ν作为一个信号函数，只要sν6=0，v→±∞, 证券将即时交易。如果χv=χ=0，即交易成本为0，则只有当π6=π时，投资者才会表现出无交易If和带有强制遗赠19的投资组合选择。这与第二个问题中的（5.13）完全对应，在这个问题中，我们可以将opt ima l比例方程重新排列为getz（t）Z（t）=u*（t，z）=（r）- r） W（t）s（1）- γ） rZ（t）==> π=π投资组合策略将迫使π在每一时刻都与π相同，这突出了发生的大量交易，从而使该策略保持不变。在非零交易成本的情况下，分析变得更加有趣。当0=（χv+χ）π+π/π时，等于ν=0- （χ+1+χv）π=π-（χv+χ）π+χ+1+χv=π（χv+χ）（1）- π） +1（6.11）由于χVASSUME根据v的符号得出不同的值，因此必须至少有2个值不会发生变化。设它们为π（χ+χ）（1）- π） +1=Lπ(-χ + χ)(1 - π） +1=H（6.12）显然，L<H，a和L，H将生殖线分为三个区域。然后，我们需要考虑π：情况1：π<L的位置<==> 五、*> 0.如果π（风险资产的比例）太低，最优投资组合策略要求*选择π时，π立即接近L，即→ 因此，v*> 即投资将从银行转入风险资产。一旦π=L命中，ν=0，交易停止。另一方面，如果v*> 0，那么χv=χ和ν>0。然后是（6.11），π<π-（χ+χ）π+χ+1+χ=LCase 2:π>H<==> 五、*< 0.这里的proo f类似于案例1。

投资者将立即与v进行交易*< 0，直到π=H命中。案例3:L≥ π≥ H<==> 五、*= 0案例3紧接着案例1和案例2。这意味着投资者不会在区域[L，H]中交易比例π。带有强制性遗赠的投资组合选择206.2条：假设满足假设1-5和绩效函数。那么投资者总是将其投资组合比例定义为固定区域K=[L，H]，其中L，H在（6.12）中描述。投资组合比例与区域的任何偏差将立即通过交易v进行处理，从而使投资组合转向K的最近边界。可以在inDavis和Norman的论文[9]中找到提案6.2的出色视觉表现，该论文建立在Magill的工作基础上。投资组合比例nπ=z/W在区域K上充当一个随机微分过程，对于该区域，每次退出K的边界时，它都是通过最优交易控制回购的。这对应于投资者在随机的有限个t∈ [0，T]，这是一个合理的交易行为，而不是我们开始模拟的。经济含义是，投资者需要平衡其改善的多元化和交易成本。当比例在K区内时，投资者不认为有必要改变比例，使其更接近最佳多元化比例π=\'u，因为多元化的收益不受交易成本的影响。然而，如果比例离开K区域，改进后的多元化效益超过交易成本，投资者进行交易，使πi达到K的界限是有意义的。假设现金对股票的实际交易成本为λ，股票对现金的实际交易成本为δ，那么（λ+δ）/2=χ，和（λ）- δ)/2 = χ. 这表明χ是运输的平均成本，而χ是库存现金的溢价。