带有强制遗赠的投资组合选择

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英文标题：
《Portfolio Selection with Mandatory Bequest》
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作者：
Jiacheng Feng
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper, optimal consumption and investment decisions are studied for an investor who can invest in a fixed interest rate bank account and a stock whose price is a log normal diffusion. We present the method of the HJB equation in order to explicitly solve problems of this type with modifications such as a fixed percentage transaction cost and a mandatory bequest function. It is shown that the investor treats the mandatory bequest as an expense that she factors into her personal wealth when making consumption and transaction decisions. Furthermore, the investor keeps her portfolio proportions inside a fixed boundary relating to Merton\'s optimal proportion and the transaction costs.
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中文摘要：
本文研究了一个可以投资于固定利率银行账户的投资者和一个价格为对数正态扩散的股票的最优消费和投资决策。我们提出了HJB方程的方法，以明确地解决此类问题，并进行了修改，例如固定百分比的交易成本和强制遗赠函数。研究表明，投资者在做出消费和交易决策时，将强制性遗产视为一种费用，并将其计入个人财富。此外，投资者将其投资组合比例保持在与默顿最优比例和交易成本相关的固定边界内。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Portfolio_Selection_with_Mandatory_Bequest.pdf (233.04 KB)

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关键词：投资组合选择 投资组合 Optimization Quantitative Modification

MandatoryBequestJiatcheng FENGMentor投资组合选择：Menglu WangUROP+期末论文，2014年夏季摘要。本文研究了一个投资者的最优消费和投资决策，该投资者可以投资固定利率的银行账户和价格为对数正态分布的股票。我们用修正后的公式a来解决这类交易成本的问题。研究表明，投资者在做出消费和交易决策时，会将强制购买视为一种费用，并将其计入个人财富。此外，投资者在与托默顿的最佳比例和交易成本相关的固定边界内分配其投资组合比例。日期：2014年9月1日。带有强制遗赠的投资组合选择21。导言许多研究者用随机动态规划方法研究了连续时间内的最优消费组合策略。由默顿[1]率先提出，解决这类消费端口问题的主要方法是使用随机控制证明解的存在性。这些投资组合选择的大部分工作都集中在模型的内在运作和从消费中导出的效用率函数上，但通过假设它为0来忽略遗赠函数。然而，遗赠函数通常非常相关，因为它展示了控制问题的不同可能终止条件，允许建立更动态的模型。本文的目的是首先介绍解决随机控制问题后的理论，然后分析一个非常有趣的遗赠函数，类似于指标函数，投资者必须至少持有特定数量的资产。

我们发现，当增加这一强制性目标时，投资者将从其有效总财富中移除这一固定财富，并相应调整其消费和交易政策。从质量上来说，随着遗产的增加，最优消费减少，最优投资组合比例将转向安全资产。这个问题可以在金融领域找到优于基准的应用，也可以在低收入家庭的生存中理解资金管理，然而，本文没有讨论这些应用。此外，还展示了固定百分比交易成本影响的演示文稿，其中我们发现，当且仅当投资者的投资组合比例保持在某一特定区域内（约为零交易成本最佳比例），投资者不会进行证券交易。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了最优投资组合控制问题背后的一般理论。给出了主要定理的启发式证明。第3节展示了关于市场以及投资者行为的明确解释性假设，以便将投资组合问题正式化。第4节至第7节通过仔细明确地推导双资产问题的最优性方程，给出了最优消费的不同情况，其中收益率由等弹性边际效用下的随机过程产生。这些问题将建立必要的概念概念，用于解决要求投资者满足强制性遗赠交易成本的问题。论文以结束语结束，并讨论了未来可能扩展的工作。带有强制性遗产3确认的投资组合选择。

我很高兴感谢我的导师王梦露，她在指导我完成整个研究和写作过程中给予了我巨大的帮助。当然，本文中的所有错误都是我的。我还要感谢斯科特·谢菲尔德教授的宝贵讨论和建议。我感谢Pavel Etingof教授和麻省理工学院数学系对数学UROP+项目的指导，并感谢Paul E.Gray（1954）捐赠的UROP基金的帮助。2.随机控制与HJB方程假设任意时刻t为随机过程Xt∈ 关于概率空间的定义(Ohm, F、 P）可通过选择参数ut来影响∈ U Rk，这被称为控制。这里，假设t仅取决于系统当时的当前状态，也就是说，ut=u（t，Xt）是马尔可夫控制。由于UTI仅由时间t发生的事情决定，函数ω→ u（t，Xt（w））必须相对于过滤比n Ft是可测量的，因此过程utis Ft适应随机过程。让系统Xt由定义良好的随机微分方程描述，初始值为：dXt=dXut=b（Xt，t，ut）dt+σ（Xt，t，ut）dbt∈ （s，T]X=X（2.1），其中b:Rn×R×U→ Rn，σ：Rn×R×U→ Rn×m，和Bt为一维布朗运动。目标是设置控制uto，使性能函数Ju（s，x）最大化，定义为Ju（t，x）=Et，xZTtfu（s，Xs）ds+g（T，XT）（2.2）我们可以看到f:Rn×R×U→ R为收益率函数，g:Rn×R→ R t是遗赠函数，t t是偿付能力集G的第一个退出时间（G可以是整个空间）。假设f，gare连续，U紧。

主要问题是，对于每个（t，Xt），我们能找到一个最优控制u吗*= U*（t，Xt）及其相应的最优性能函数φ（t，Xt），使得φ（t，Xt）=supu（t，Xt）Ju（t，Xt）=Ju*（t，Xt）？我们引入了Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程[2]的概念，它提供了最优性能函数作为连续时间优化问题的解。首先，通过强制遗赠4di-Differential operator Lvto be（Lvf）确定Portfolio选择=Ft（t，x）+nXi=1bi（t，x，v）Fxi+nXi，j=1aij（t，x，v）Fxixj（2.3），其中aij=σ∑Tijand x=（x，…，xn）。在最优控制问题统计中，使用与上述相同的符号，定理2.1（HJB方程）。letφ（s，x）=sup{Ju（s，x）；u=u（s+t，Xs+t）}假设φ∈ C（G）∩ C（\'G）s a tis fise[|φ（α，Xα）|+Zα| Lvφ（t，Xt）| dt]<∞对于所有有界停止时间α≤ T，所有状态（T，Xt）∈ G、 和allcontrol v∈ 此外，假设一个最优马尔可夫控制*存在，然后∈对于ll（t，Xt），U{fv（t，Xt）+（Lvφ）（t，Xt）}=0∈ 对于ll（t，Xt），G（2.4）和φ（t，Xt）=G（t，Xt）∈ G（2.5）当v=u时，得到上确界*, 最优控制。相反地，设φ是C（G）中的一个函数∩ 带边界条件限制的C（`G）→Tφ（T，Xt）=g（T，Xt）·χ{T<∞}. 假设所有控制v∈ U和所有州（t、Xt）∈ G、 fv（t，Xt）+（Lvφ）（t，Xt）≤ 0，且φ是与测度有关的均匀l y积分。那么φ（t，Xt）≥ Ju（t，Xt）代表所有控制∈ U和所有s状态（t，Xt）∈ G.此外，如果存在一个控制v，使得fv（t，Xt）+（Lvφ）（t，Xt）=0（2.6），那么v=v（t，Xt）=u*是满足φ（t，Xt）=Jv（t，Xt）=supu的n最优控制∈U{Ju（t，Xt）}（2.7）带有强制性遗产的投资组合选择5备注2.2。Bellman方程是为数学优化而建立的，目的是解决在离散时间内，区间δ满足预算约束的效用最大化问题。

方程后面的思想是，强制找到一个最优策略，其性质是，无论初始状态和决策如何，剩余决策相对于当前状态都是最优的。根据这一中心思想，贝尔曼方程规定，不确定时间的值函数φ必须满足φ（t，xt）=maxu∈U{Zfu（t，Xt）dt+φ（R（Xt，U）}（2.8），其中R（Xt，U）表示应用控制U后在时间t+δx的状态变化。HJB方程是通过扩展离散时间Bellman方程和物理学中的Hamilton-Jacobi方程推导出来的。证据利用贝尔曼方程的思想推导出了HJB方程的直观草图[4]。有关完整的严格证明，请参见Oksendal[2]。设φ（s，x）=sup{Ju（s，x）}和Ju（s，x）=Et，xZTtfu（s，Xs）ds+g（T，XT）其中上确界接管了所有可能的控制，从（s，x）开始。假设在切换到最优控制u之前，选择控制v作为时间间隔（t，t+δ）。然后，将其与已建立的最优控制进行比较，必须是φ（t，x（t））≥ fv（t，x）δ+φ（t+δ，R（x，v））（2.9）φ（t+δ，R（x，v））上的泰勒展开式是φ（t+δ，t（x，v））=φ（t，xt）+φt（t，xt）δ+φ（t，xt）·x′tδ+o（δ）（2.10），其中 是相对于x的拉普拉斯算子，o（δ）是泰勒展开式中阶数大于1的项。如果我们从两边抵消φ（t，xt），除以（2.10）中的δ，取δ→ 0表示o（δ）→ 0，那么0≥ fv（t，x）δ+Lφ（t，xt）（2.11）此外，如果v是最优策略，在v=u时，等式必须保持不变。强制遗赠的投资组合选择63。假设投资者面对一个具有以下性质的资本市场：假设1。证券与市场我们假设这个市场是完全竞争的，交易是连续进行的。

有两种标的证券可以以当前价格购买和出售。这两种证券的价格{Pi（t）}可以通过随机微分方程来确定：dPidt=αi（t，Pi）dt+σ（t，Pi）dbtw，其中α是价格百分比变化的预期值，σi变化的方差，以及Bta一维布朗运动。第一（银行）证券是一种安全的投资，其单价{P（t）}为所有投资支付恒定的无风险利率r>0，并对借款收取相同的利率。银行证券的价值不会出现波动或贬值。银行证券满足dp（t）=P（t）rdt（3.1）第二种（股票）证券是一种风险投资，其单价为{P（t）}，满足方程dp（t）dt=P（t）[r+sWt]dt，其中wt表示白噪声，r表示测量平均变化率和噪声大小的常数。然后，其^o随机微分方程下的价格函数可以表示为[2]：dP（t）=P（t）rdt+P（t）sdBt（3.2），让两种证券都是完全可除的。假设风险证券的预期收益率高于安全证券是很自然的，因此r>r>0。假设2。信息基础证券的概率分布和当前价格包含任何投资者做出决策所需的所有信息。所有投资者均可免费公开和持续获取该信息。假设3。交易成本在第三和第四个问题中，买卖股票将产生交易费用。如果v表示买入（v>0）或卖出（v<0）的风险证券的价值，则交易成本被描述为溢价成本χ，衡量现金或股票是否更可取，加上费用χv与交易价值的比例。

具体来说，交易成本τ可以写成τ（v）=v（χv+χ）=|v |（χ+χ）：v>0-|v |（-χ+χ）：v<00:v=0，其中χ，χ是[0,1]和[1]中合理的小常数(-分别是1,1）。然后，单位交易成本为χ+χ和χ- χasv>0，v<0。假设4。收入和寿命投资者的寿命为m[0，T]，在此期间，她每单位时间的收入预期为y（T）。假设y（t）可从[0，t]中的任何区间积分。在t=0时，她从一个初始财富Z开始，该财富Z全部放在安全资产中。如果T、y（T）和Zare在任何时候都确定知道，投资者就会采取行动∈ [0，T]。表示Z（t）=Z是个人的总财富。在建立财富的随机微分方程之前，我们先陈述并证明以下引理。引理3.1（部分随机积分）。让Xt，Ytbe It^o进程在Rn中。然后d（XtYt）=XtdYt+YtdXt+dXt·dYtProof。应用It^o公式[5]和g（x，y）=x·y，很容易得到d（XtYt）=d（g（Xt，Yt））=Gx（Xt，Yt）dXt+Gy（Xt，Yt）dYt+Gx（Xt，Yt）（dXt）+G十、y（Xt，Yt）dXtdYt+Gy（Xt，Yt）（dYt）=YtdXt+XtdYt+dXtdYt设N（t）表示风险证券中持有的股份数量，N（t）表示银行中持有的金额，两者都是t时间t。带强制性遗赠的投资组合选择8我们首先考虑财富函数的离散时间框架：Z（t）=N（t）P（t）+N（t）P（t）=XNi（t）Pi（t）（3.3），其中Pia是假设1中描述的证券价格。求和p=Pi=0是为了简单起见编写的。在N（t）P（t）和N（t）P（t）上使用MMA 3.1，并让h→ 0，我们得到dzt=X（Ni（t）dPi（t）+Pi（t）dNi（t）+dNi（t）dPi（t））（3.4）股票数量的任何变化都不会影响总财富，因为每一笔资产的出售都伴随着另一笔价值相同的资产的购买。

那么，如果D（t）是财富对t的总调整- h到t，D（t）h=X[N（t）- N（t）- h） [Pi（t）t+h的下一个财富调整区间类似于d（t+h）h=X[Ni（t+h）- Ni（t）]Pi（t+h）=X[Ni（t+h）- Ni（t）][Pi（t+h）- Pi（t）]+X[Ni（t+h）- Ni（t）]Pi（t）取h的极限→ 0，财富变化的持续版本可以被表述出来。D（t）dt=XdNi（t）Pi（t）+dNi（t）dPi（t）（3.5）将D（t）代入（3.4），dZt的方程，dZt=N（t）dP（t）+N（t）dP（t）+D（t）dt让u是投资于风险投资的财富的比例，因此u=N（t）P（t）/Z（t）（1）- u） N（t）P（t）/Z（t）dZt=Z（t）[（1）- u） dP（t）/P（t）+udP（t）/P（t）]+D（t）dt代替dPi（t）/Pi（t）作为消费1中价格的随机公式，财富的连续随机微分方程可以表示为dzt=dZ（u）t=Zt[r（1-[t+t+t[t+t+t]。效用函数我们选择等弹性效用函数u（t，x）=sγγ，带强制性遗赠9的投资组合选择，并将γ设为（0，1）中的一个选定常数，以使效用函数保持并满足基本效用函数性质。Arrow-Pratt的相对风险厌恶度量[6]r（c）=-U′（c）/U′（c）=1- γ是常数。然后，这个效用函数是效用家族中的一员，它描述了一个具有恒定相对风险厌恶（CRRA）的投资者。该模型的一个缺点是决策不受规模的影响，因为这两种证券所承担的风险与投资者拥有的财富无关。4.没有消耗的简单问题首先呈现了一个类似于Okensdal[2]所述的简单系统。假设个人希望在两个证券市场上投资一定数量的基金。她不打算从该基金中提取或存款，因此购买的任何新资产必须通过出售其他资产来融资。

她的目标是使效用最大化，而效用仅取决于投资组合在未来t=t时的价值。假设基金在时间t的总价值为Zt，u（t）为马尔科夫控制，它决定了在时间t时投资于风险更高的投资的财富份额。在这种情况下，我们假设不存在交换成本，并且由于投资组合是自融资的y（t）=0。我们的性能函数由J=E[U（ZT）]=E[ZγT/γ给出，其中E是T=0时的期望值函数。根据假设4，财富函数满足随机微分方程dzt=dZ（u）t=Zt（r（1- u（t））+ru（t））dt+Zt（su（t））dBt（4.1）对于φ（s，x）=supuJu（s，x）使用定理2.1的HJB方程是0=supu{（Luφ）（s，x）}=φt+supu{x（r（1- u（t））+ru（t））φx+suxφx} （4.2）终端条件φ（t，x）=Zγt/γ（4.3）表示φx=φx和φxx=φx、 通过取表达式（2.3）对控制u的导数，可以得到上确界。0=x(-r+r）φx+sxuφxxu=u（t，x）=-(-r+r）φxsxφxx（4.4）带强制遗赠的投资组合选择由于φx>0且φxx<0，u确实是所有控制的上确界。然后，将控制u替换回HJB方程φt+rφx-(-对于t<tφ（t，x）=Zγt/γ对于t=t（4.5），溶液φ的形式为φ（t，x）=a（t）xγ/γ。