带有强制遗赠的投资组合选择

如果平均交易成本χ上升，区域K会变小，H会变大。更大的区域表明，由于比例过程更难离开边界，因此提升的频率降低。当χ=χv=0时，即平均交易成本为0，且投资者在某一瞬间来回交易相同金额时，不会损失任何资金，这是L=H的唯一情况，因此只有一个最佳比例点。增加χ值的主要作用是使L和H的值都降低。这是意料之中的，因为如果获得风险资产的交易成本高于获得现金的交易成本，那么投资者持有安全资产应该更有利，也更值得，对她来说，安全资产的价值相当于美元对美元。带有强制遗赠的投资组合选择217。交易成本和强制遗赠在本节中，我们着手解决强制遗赠功能的问题。第一我最初提出了一个小故事，作为这个问题的背景和动机：“一个古老的村庄有两项资产，市长必须决定投资：猪和黄金，猪的生长取决于拥有多少头猪，黄金的价值取决于市场。目前是秋季。市长可以随时与邻近村庄进行黄金和猪的交易，但她必须支付购物中心的交易成本。市长也可以指导村庄的交易吃掉一些猪，这会让她在镇上有一些人气。冬天来临时，镇长必须有一定数量的猪，供村里储存和食用，以便生存。任何额外的资产都将产生微小的影响，但对市长的受欢迎程度是积极的。

市长如何才能最大限度地提高自己的声望？”根据这个问题的公式，遗赠函数可以写成：B[T，ZT]=A′·1ZT>kw其中1是指示函数，A′是合适的常数。定义有效总财富W（t，z）=Zt+N（t）。理想情况下，我们可以将遗赠函数转换为形式w（T）γG（T）e-ρT.（7.1）那么，给定初始条件和适当的y（T）定义，随机控制问题的解应该是容易解的。注意，我们假设最优c（t）<<K，然后通过降低边际效用，持有比K大得多的财富所产生的额外效用有效地为0。LetN（t）=-K·1t=t的t∈ [0，T]（7.2）这意味着投资者在T=T时拥有K笔总财富，但在T<T时拥有0笔财富。然后，通过将适当的常数设置为G（T），N（T）选项允许（7.1）作为所需遗赠函数的替代表示。在（5.5）中N（t）的原始公式中，它被描述为解撕裂（t）=N′（t）+y（t），因此，我们需要找到一个合适的y（t）（在数学上和经济上与模型一致），以便在最终解中获得具有强制遗赠22的N（t）投资组合选择。关键思想是，N（t）可以用一条类似于高斯分布的曲线来近似，其均值t和方差σ：N（t）=- limσ→ 0K·e-（t）-T）2σ（7.3）那么，N′（T）=- limσ→ 0K·（T）- t） σ·e-（t）-T）2σ，即y（T）=- limσ→ 0K·e-（t）-σr（2）-T- tσ）asσ→ 0，r<<（T- t） /σ，我们可以忽略ry（t）=limσ→ 0K·（T）- t） σ·e-（t）-T）2σ=-N′（t）。（7.4）注意n（T）- N（a）=TZaN′（t）dt=-TZay（t）dtAsσ→ 0，存在（δ）→ 0使得| N（T- ) - N（0）|<δ，其中δ是一个小的正常数。

自N（T）- N（0）=-K、 我们可以建立一个界限-（K）- δ） >N（T）- N（T）- ) > -这表明，如果在短时间内出现正收入波动，如TZT-y（t）≈ K、 然后，这个问题就可以解决了，因为强制性的遗赠功能是用K值来保存财富-如果K是我们希望获得的价值，那么问题陈述将解释为投资者在T接近尾声时迅速取出K笔现金。任何多余的现金都会流入遗产B[T，ZT]，这会给剩余的现金带来最小但正的价值。这为我们提供了一个原始问题的可解决替代结构，即强制遗产由固定收入函数处理，其中收入函数在时间T趋于一个j olt。带强制遗赠的投资组合选择23我们现在将明确地计算更新后的等价问题。dz=[rz+y（t）- c（t）- （1+χv）v（t）]dtdz=[rz+v]dt+[sz]dBt（7.5）受性能函数jv，c的影响=中兴通讯-ρtc（t）γdt+e-ρTA′（x）- K） γ（7.6）和收入函数y（t）=limσ→ 0-K·（T）- t） σ·er-（t）-T）2σ，N（T）=0（7.7）我们需要求解两个未知函数W（T）和a（T），以确定HJB方程的解。利用（6.7）的系数、（7.4）的估计和（7.7）的终端条件，我们可以求解N（t）并导出w（t）=x+N（t）=limσ→ 0z+χ+1+χv1+（r- r） z+（K·e）-（T）-t） 2σ- K） =z+χ+1+χv1+（r- r） z- K·（1）- 1t=T）（7.8）由于伯努利方程在第5节中保持不变，a（T）不变：a（T）=γ - 1+经验u·（C）-t） 一,-γu1.-然而，这一次遗赠函数要求a（T）=a′。求Cand，然后a（t）C=（1- γ） /u·对数（uA′1/（1）-γ)+ 1 - γ） +Ta（t）=“γ”- 1+（uA1/（1）-γ)+ 1 - γ） exp（u（T）-t） 一,-γ)u#1-γ.

（7.9）最优控制u和c分别为：*（t，z）=uW（t）γ - 1+（uA1/（1）-γ)+ 1 - γ） exp（u（T）- t） 一,- γ)-1v*（t，z）=（r）- r） （γ）- 1）s·1+（r）- r） χ+1+χvW（t）- Z（7.10）由于该问题与永久收入假设[8]密切相关，因此当投资者选择带有强制遗赠24强制遗赠功能的投资组合时，预计其消费会减少。事实上，在考虑有效总财富的同时，投资者将从其当前财富中减去她在T时需要支付的金额。常数A’衡量过剩现金的重要性，以及C*/A′取决于u的符号，它描述了现在还是将来消费更好。一个奇怪的情况是，当A′下降到0以下时——也就是说，如果投资者持有的某个金额超过了法定支付金额，那么她就被激活了。当u<0时，消费可能会更低，因为贴现系数将超过投资机会。当然，我们仍然必须注意a（t）>0的初始适配条件。动作控制*另一方面，根本没有考虑到遗赠功能。投资者将选择一种交易政策，在受其有效总财富约束时，该政策将最大限度地发挥预期效用。需要注意的是，当法定遗产价值增加时，W（t）增加，π减小，而基准π不变。从命题6.2来看，风险资产的最佳比例下降，而安全资产的最佳比例相应上升。直觉上，投资者正在走上一条更安全的道路，这样她对法定遗产的满足感就更为可靠。上一节对交易成本导致的交易行为进行了详细分析。8.

结论本文利用功能强大的HJB方程，通过大量具体实例，系统地构造和分析了最优连续时间动态对开模型。这里介绍的基本方法适用于使用基本决策理论的各种经济模型。本文讨论了一类具有交易费用和遗产目标的最优消费组合问题的定性效果。最基本的变化是，投资者在做出决策时从其总财富中扣除强制性遗产，并确定固定区域的最佳投资组合比例。一个直接的结果是，投资者将减少消费，并在倾向于更安全资产的随机情况下调整其投资组合比例，这反映了她为满足遗赠目标的谨慎程度。这些调整的幅度与强制性遗产的规模直接相关。强制性遗赠下的投资组合选择本文提出的模型应该可以很容易地推广到一般的k-资产情况，以便该理论可以应用于更多样化和相互关联的资产。此外，可以实现更复杂的效用函数，使模型更具动态性。即使对模型进行了这些改进，预计本文中观察到的特性仍将保持不变。本文的一个广泛意义在于揭开表面，引出对更精细、更具活力的遗产功能的研究，以便它们可以服务于多种经济目的。参考文献[1]默顿，R.C.L.不确定性下的即时投资组合选择：连续时间案例。《经济学与统计学评论》，247-257。(1969).[2] Oks e ndal，B.随机微分方程。施普林格柏林海德堡。(2003).[3] 马吉尔，M.J.，和康斯坦丁尼德斯，G。

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