幂律互相关估计的有限样本性质

在选择估计器和参数设置方面，我们建议对两种版本的估计器使用低最小量表，因为它在偏差和方差之间提供了良好的平衡。请注意，对于T=5000，θ=0.8和误差项之间的最强相关性，估计量的均方误差分别等于0.0033和0.0036，对于原始版本和绝对值版本的估计量，smin=10，并且对于其他最小尺度，均方误差不会显著增加，因此DCCA估计量对潜在的短期记忆偏差非常鲁棒。混合相关ARFIMA过程的情况变化（表6）。令人不安的是，基于DCCA原始版本的估计无法非常频繁地估计Hxy，即使误差项之间的相关性为0.5，这是因为在多个尺度上，去趋势方差为负的情况有很多。因此，我们仅提供DCCA绝对值版本的结果。首先，bia s随着时间序列长度的增加而增加，因此估计量不一致。第二，随着smin的增加，估计量的偏差和方差以及均方误差都会增加。第三，bia s随着错误项之间相关性的增强而降低。不幸的是，这种下降只是轻微的。因此，如果估计量不等于单独赫斯特分量的平均值，那么它就不是一个很好的估计hxy的工具。4.2. 高度互相关分析对于高度互相关分析，我们主要使用各种最大尺度τmax来测试其性能。作为起点，我们使用τ*max=20，这在文献[41,42,43,44,22]中经常被提及。此外，我们检查了50和100的最大刻度。

为了获得更稳定的二元赫斯特指数估计值，我们采用刀切法，将赫斯特指数估计为使用τmin=1和τmax=5估计的赫斯特指数的平均值，τ*最大值。模拟过程与DCCA方法相同，结果汇总在表7-12中。对于相关的ARFIMA过程（表7-8），我们观察到两种版本的估计器都有向下的偏差，并且对于更强的长程互相关，偏差更严重。对于较低水平的相关性，即较低的误差项相关性，原始（基于绝对值的）方法明显优于调整后的方法。然而，误差项相关性为0.9时，差异是可以忽略的。一般来说，它认为偏差更严重，估计量的方差随着τ的增加而增加*与DCCA估计量类似，我们发现两种方法的估计量方差行为不同。对于基于绝对值的HXA，方差随着误差项的相关性而略微增加，而对于替代规格则相反，这确实更理想、更直观。这种解释与DCCA的解释相同——时间域的绝对值方法将二元赫斯特指数的估计推到独立赫斯特指数的平均值，这显然是不可取的。尽管如此，估计值的偏差和方差随着时间序列的长度而减小。HXA方法对短记忆偏差非常稳健，如表9-11中ARFIMA和AR（1）过程的组合所示。估计量的性质取决于短记忆分量的强度。

对于弱短记忆（θ=0.1），其性质实际上与之前的情况相同——偏差和方差随着τmax的增加而增加，但随着时间序列长度的减少而减少，方法的原始定义和替代定义之间的差异相同。对于更强的短记忆，我们观察到，即使估计量的方差仍然随τmax增加，偏差也会减小。这种不均衡在分析的最长时间序列长度中最为明显，其均方误差随着τmax的增加而减小。有趣的是，调整后的HXA在最长序列长度的均方误差和误差之间的最强相关性方面优于原始HXA。对于θ=0.8的强短记忆，两个估计量都有强烈的向上偏差，并且两个样本的偏差都随着时间长度的增加而增加，使得估计量不一致。然而，方差随着时间序列长度的增加而减小，因此均方误差随着时间序列长度的变化而保持相当稳定。HXAoutp的调整版本在偏差方面表现出原始的基于绝对值的版本，但在方差方面则相反。就均方误差而言，调整后的版本在短期记忆水平上优于原始版本。表12总结了估计混合相关ARFIMA过程的二元Hurst指数的结果。我们再次观察到，类似于DCCA的情况，估计量是向上的。偏差随着时间序列长度的增加而增加，使得估计器不一致。可以预期的是，偏差随着误差项之间的相关性增加而减小。然而，降幅相当温和。bia与所用最大刻度的连接因时间序列长度的不同而不同。

估计器的方差随着时间序列长度的增加而减小，随着最大s标度的增加而增大，并且在误差项之间的不同相关性水平下几乎保持不变。对于这种类型的过程，HXA很容易胜过DCCA。请注意，我们再次只报告原始程序的估计值，因为没有绝对值的方法实际上以与DCCA相同的方式崩溃。4.3. 去趋势移动平均互相关分析我们分析的最后一个估计器是DMCA，我们改变了最高移动平均窗口–κmax=21,51,101。表1 3-18总结了蒙特卡罗模拟的结果。对于基于相关ARFIMA过程的弱长程互相关过程（表13），无论时间序列长度或其他参数如何，估计器都是无偏的。对于DMCA方法的两种具体情况，估计值的方差均随应用移动平均值的长度而增大，并随时间序列长度而减小。基于绝对值的估计器的方差通常较低。同样，我们没有报告原始方法的弱相关（ρ=0.1）误差项的结果，因为它只提供了很少的实际估计。对于强长程c-ross相关序列（表14），估计值存在向下偏差。偏差和方差随着时间序列长度的增加而减小，这两种估计量都暗示了一致性。然而，在分析的时间序列长度中，收敛速度相当慢，而偏差的减少相当微弱。随着κmax的增加，偏倚也减小。

相反，方差随着κmax的增加而增加，通过均方误差测量的总影响随着时间序列长度而变化。对于基于ARFIMA和AR（1）的过程，我们观察到，对于弱短记忆（表15），短记忆偏差并不严重，而对于估计器的原始版本，存在轻微的向下偏差。估计量的方差随着移动平均窗口的增大而增大，平均s平方误差也随之增大。所有情况下，偏差、方差和均方误差均随时间序列长度而减小。对于中等和强短时记忆（表16-17），偏差显著增加，并且比DCCA和HXA方法高得多。在中等（θ=0.5）和强记忆（θ=0.8）情况下，随着最大移动平均窗口大小的增加，偏差也会随之减小。这是因为在较低的尺度上，短记忆的影响更强，因此移动平均窗口的大小更小。以同样的方式，估计值的方差随着κmax的增加而增加。总的影响导致最大移动平均值的均方误差减小。重要的是，DMCA估计值并未显示偏差随时间序列长度的增加而减少。对于混合相关ARFIMA过程（表18），我们观察到偏差和方差随着时间序列长度的增加而减小，但随着κmax的增加而增加。偏差也随着误差项之间相关性的增加而减小，而方差则略有增加。DMCA在这方面的表现明显优于DCCA和HXA。5.结论我们提出了一个广泛的蒙特卡罗模拟研究，重点是不同版本的p-lawcross-c关系。分析了三种估计量，即去趋势互相关分析（DCCA）、高度互相关分析（HXA）和去趋势移动平均互相关分析（DMCA）。

我们研究了各种潜在过程，包括长时记忆、短时记忆和幂律记忆。总结并比较这三种估计器的性能，我们发现以下几点。首先，所有方法的性能取决于参数s、τ和κ的选择。其次，DCCA和HXA方法在标准幂律互相关情况下有向下的偏差，而DMCA报告了令人满意的结果。第三，DCCA在抵抗短期记忆偏差方面优于其他两种方法，DMCA在这方面是目前为止最有效的方法。第四，在幂律相干情况下，DMCA的性能明显优于其他两种方法。因此，每种方法都更适合不同类型的过程，在选择合适的方法进行幂律交叉相关性分析时，应考虑到这一点。确认根据第FP7-SSH-612955号赠款协议（FinMaP），导致这些结果的r e搜索已获得欧盟第七框架计划（FP7/200 7-2013）的资助。感谢捷克科学基金会在项目14-11402P下提供的支持。参考文献[1]S.Shadkhoo和G.R.Jafari。时间和空间地震数据的多重分形去趋势互相关分析。欧洲物理杂志B，72（4）：679-683，2009。[2] S.Hajian和M.Sadegh Movahed。对太阳黑子数和河流流量进行多重分形去趋势Cross相关分析。Physica A，21:4942–49572010。[3] R.T.Vassoler和G.F.Zebende。DCCA互相关系数适用于空气温度和空气相对湿度的时间序列。Physica A，391:2438–24432012。[4] 康德德，李德仪，B.-H.Kwon，K。金和朴智健。去趋势交叉相关分析的性质是可吸收颗粒物和气象因素之间的时间序列。

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