块状订单的高弹性极限

，交易率以κ1/4的速率偏离最大值。然后，在定理4.1的证明中论证v erbatim，得到xhow，κ（νκ）=x+Z·κtdSκt-Z·ε↑t˙~nκ，↑t+ε↓t˙~nκ，↓Tdt- κ-1Z·1- α↑tK↑th↑t（˙~nκ，↑t） +1- α↓tK↓th↓t（˙~nκ，↓t） !！dt+o（κ）-1/2），概率一致地分布在紧集上，如κ-→ ∞.鉴于备注4.2，如果相应的交易率没有迅速膨胀，定理4.1对策略族仍然有效。在有限期内，对交易率征收的四元成本再次由价格影响的不对称性决定，除以订单的高度及其弹性。与定理4.1相比，只有收敛速度发生了变化。备注4.3。定理4.1中关于概率紧集的一致收敛性可以加强为关于Lp（P），P紧集的一致收敛性∈ [1, ∞) 如果相应的有界性假设一致成立，而不是仅局部成立。事实上，su Propose K↑, K↓是从零到过程˙~n，1的一致边界-α↑H↑,1.-α↓H↓,α↑H↑,α↓H↓以及ε↑, ε↓都是一致有界的。然后，定理4.1证明中的参数和支配收敛定理的另一个应用证明了所断言的一致Lp（P）-收敛。类似地，注释4.2的设置也遵循了这一点。定理4.1中的绝对连续策略的极限动力学表明，大宗交易或其他“更粗糙”的策略由于投资组合周转过快，在这种情况下会导致不必要的交易成本。事实上，通过[20,6,9]中的平滑版本来近似这些策略，由于价格影响降低，随着弹性的增长，执行成本也会降低。这可以在Obizhaeva和Wang[23，图4]的最佳执行路径中看到，在这种情况下，大宗交易可以逐渐被绝对连续的交易率所取代。下面的观察结果更能说明问题。

固定0<T′<T<∞ 并考虑一系列大宗交易：为了严格增加停站时间τ<τ<…<τN≤ T′，以及相应的局部有界区块交易θn相对于Fτn可测量。然后，如果φ6=0，则存在一系列绝对连续策略（φκ）κ>0，其终端收益在有效大弹性κ：P-limκ中占主导地位→∞hXOW，κT（κ）- XOW，κT（~n）i>0。证据通过线性插值近似简单策略，交易率为orderO（κ1/4），时间间隔为O（κ-1/4). 然后，相应的策略νκ具有O（1）阶的总变化量，并逐点收敛到νasκ-→ ∞. 此外，根据定义2.2和备注4.2，我们有xow，κT（κκ）- XOW，κT（~n）≤ZT（νκt）- ~nt）dSt+ZTα↑th↑tκ，↑tdκ，↑T-ZTα↑th↑t~n↑tdа↑t+ZT1/2- α↑th↑td[~n↑]T-ZTα↓th↑tκ，↓tdκ，↓t+ZTα↓th↓t~n↓tdа↓t+ZT1/2- α↓th↓td[~n↓]T-ZTε↑td（ηκ，↑T- φ↑（t）-ZTε↓td（ηκ，↓T- φ↓t） +O（κ）-概率为κ的1/2），（4.5）-→ ∞, 因为ε~n，↑- ε↑, εφ,↓- ε↓都是非负的。通过定位，我们可以得到μ、所有μκ以及α↑/H↑, α↓/H↓, ε↑, ε↓是一致且有界的。

然后（4.5）右侧的第一项根据随机积分的主导收敛理论，概率趋于零。接下来，使用α的连续性↑/H↑, 我们可以通过定义线性内插器φκ：ZTα来验证↑th↑tκ，↑tdκ，↑T-→ZTα↑th↑t~n↑T-d~n↑t+ZTα↑t2h↑td[~n↑]助教。s、 ，asκ-→ ∞.自α↑∈ [0，1/2]，这意味着（4.5）右侧第二行的限制为非负，如果至少有一次非平凡的购买，则严格为正。同样，（4.5）右边的第三行也收敛到一个非负极限，如果至少有一个非平凡的销售，这是严格的正极限。最后，利用有界被积函数的右连续性，并考虑到κ的定义，可以得出（4.5）右侧最后一行中的项趋于零。综合所有这些估计，断言如下。5投资组合选择的影响在本节中，我们应用上述极限定理，将第2节的Obizhaeva/Wangtype模型中的投资组合选择减少到第3节的Almgren/Chriss设置中的相应问题。更具体地说，我们认为Moreau等人确定的最佳交易策略。

[22]在临时交易成本较小的Almgren/Chriss模型中，具有高弹性的相应Bizhaeva/Wang模型也是最优的。为此，假设没有外部基线sp读数（ε↑= ε↓= 0），也没有永久性的价格影响（α↑= α↓= 0）s o价格过程等于基本值（s k=s）。此外，假设订单簿是对称的（K↑= K↓=: K和h↑= H↓=: h） 。总之，定理4.1中的近似阿尔姆格伦/克里斯模型中的财富动态如下所示：dXAC，κt（~n）=ΒtdSt-κKh˙˙tdt。考虑一个具有效用函数U:R的代理→ R在某个计划期T>0时，使终端财富的预期效用最大化。写下∞对于无摩擦优化器，用R表示无摩擦投资者的风险容忍过程，我们假设该过程是积极的、连续的和适应的（例如，指数效用常数，有关更多细节和直觉，请参见[18]）。假设定理4.1中的二次交易成本λ=1/κKh，以及基本价格过程的驱动系数和扩散系数dSt=uStdt+σstdwtar有效地调节了时间t、当前价格St和一些辅助状态变量yt的确定性函数，然后进行自动扩散[22，定理4.7]表明∞T- νκt）dt，νκ=∞, （5.1）在前导阶O（κ）处是最优的-1/2）。

也就是说，它支配着所有竞争家族（θκ）κ>0直到高阶o（κ-1/2）：EhUXAC，κT（θκ）我≤ 埃胡XAC，κT（νκ）i+o（κ）-1/2），如κ-→ ∞.这里，O（κ）-1/2）确实是由于小p-rice冲击而产生的“领先阶”修正，因为（νκ）κ>0在达到该阶项时实现最佳无摩擦性能[22，定理4.3]。我们现在表明，s ame家族（κ）κ>0在高弹性Obizhaeva/Wangmodels中也是最优的，在追踪有效规则无摩擦目标的竞争策略中，效用函数U是严格递增的，严格凹的，并且是连续两次可区分的。相应交易策略的可接受性可以定义为Biagini和ˋCern\'y[8]中的定义。自始至终，我们认为无摩擦问题的适定性在于一个独特的最优策略∞存在。即风险承受能力-作为当前财富函数的间接效用u的u′/u′。交易率最多为O级（κ1/4）。为此，我们首先建立了这类策略的一些性质：引理5.1。考虑以下策略家族（θκ）κ>0:dθκt=κ1/2Mt（θ∞T- θκt）dt，θκ=θ∞, （5.2）对于一些持续、积极、调整的交易利率M和遵循It^o过程的无摩擦目标策略，dθ∞t=θ∞tdt+σθ∞具有连续漂移和扩散系数的TDWT∞, σθ∞.然后，策略家族（5.2）对[0，T]表示满意（4.4）。此外，XAC，κ（θκ）-→ x+Z·θ∞tdSt，asκ-→ ∞ , 概率一致。（5.3）如果过程∞, σθ∞, M是一致有界的，M在远离零的地方是一致有界的，那么（4.4）和（5.3）中的收敛性在L（P）中一致成立。证据通过局部化，我们可以假设连续过程M，θ∞, θ∞被某个常数C>0包围，而M被某个常数M>0离零包围。

因此，通过定义θκ，可以证明{κ1/4θ∞T- κt，κ∈ (0, ∞), T∈ [0，T]}在L（P）中有界，以建立κ概率的有界性-1/4dθκ/dt在（4.4）中断言。要看到这一点，首先要注意的是[25，定理V.52]暗示|θ∞T- θκt|=中兴通讯-κ1/2RtsMrdrdθ∞s.因此，代数不等式（a+b）≤ 2a+2b、Jensen不等式、Doob极大不等式和It^o等距yieldE“supt”∈[0，T]κ1/2 |θ∞T- θκt|#≤ 2κ1/2CTZTe-2κ1/2M（T-s） ds+8κ1/2CTZTe-2κ1/2M（T-s） ds≤5CTM。因此，该家族（θκ）κ>0满意度（4.4）。与支配收敛定理一起，这立即产生了断言的第二部分。如果所有涉及的过程都是一致有界的，则不需要局部化，并且相同的过程在L（P）中一致收敛。现在，我们可以证明[22]中的策略（5.1）不仅在具有小暂时价格影响的阿尔姆格伦/克里斯模型中是最优的，而且在具有大弹性的相应Obizhaeva/Wang模型中也是最优的：定理5.2。相反，策略家族（κ）κ>0从（5.1）开始在前导顺序（κ）下是最优的-1/2）在Almgren/Chriss模型中。交易率较高的家族导致订单交易成本大于O（κ）-1/2）在极限Almgren/Chriss模型中，因此受（κ）κ>0支配，即使不考虑无摩擦优化器的位移[22，定理4.3]。由于大宗交易也是渐近次优的（参见引理4.4），这表明人们可以限制这种类型的策略，而不会在第一个渐近阶失去效用。Arigorous p屋顶超出了我们的范围。参见[22]了解有效条件。

特别是，如果风险容忍度R为常数，则基本价格过程S和状态变量y的漂移和差异系数uS（y）、σS（y）、uy（y）、σy（y）均为有界且光滑，且所有阶导数均为有界且光滑，且波动率σS（y）、σy（y）均远离零[22，定理8.1]。此外，假设效用函数U具有有界的绝对风险规避-U′/U′，以及类核蛋白κ1/2U′hXAC，κT（νκ）ihXOW，κT（νκ）- XAC，κT（νκ）i：κ>0o（5.4）以及κ1/2U′hXOW，κT（νκ）i+U′hXAC，κT（νκ）ihXOW，κT（κ）- XAC，κT（νκ）i：κ>0（5.5）是一致可积的。然后，家族（κ）κ>0在前导顺序O（κ）时也是最优的-1/2）在Obizhaeva/Wangmodel中，在满足（5.4）的形式（5.2）的所有策略家族中（θκ）κ>0。证据让（θκ）κ>0成为任何竞争策略家族。根据定理4.1，极限Almgren/Chriss模型中效用函数U的凹性和φκ的最优性XOW，κT（θκ）我≤ EhU（XAC，κT（θκ）i+EhU′（XAC，κT（θκ））（XOW，κT（θκ）- XAC，κT（θκ））i≤ EhU（XAC，κT（θκ）i+EhU′（XAC，κT（θκ））（XOW，κT（θκ）- XAC，κT（θκ））i+o（κ-1/2）。通过注释4.2和引理5.1，我们得到了κ1/2hXOW，κT（θκ）- XAC，κT（θκ）i-→ 0为κ-→ ∞, 不可能。此外，U′[XAC，κT（θκ）]-→ U′[x+RTθ∞通过引理5.1，使这两项的乘积在概率上收敛到零。再加上假设的一致可积性（5.4），这表明L（P）和E[U（XOW，κT（θκ）]≤ E[U（XAC，κT（~nκ）]+o（κ-1/2). （5.6）现在，考虑候选家族（κ）κ>0。二阶泰勒展开yieldsEhUXOW，κT（κ）i=EhU（XAC，κT（~nκ）i+EhU′（XAC，κT（~nκ））（XOW，κT（~nκ）- XAC，κT（Дκ））i+EhU′（ξ）（XOW，κT（Дκ）- XAC，κT（~nκ））i，对于XOW，κT（~nκ）和XAC之间的一些（随机）ξ，κT（~nκ）。如上所述，第一阶项为o阶（κ-1/2）。

对于二阶项，回想一下，风险规避是从上面开始的(-U′/U′≤ C）且边际效用U′在增加。从那里：EhU′（ξ）（XOW，κT（νκ）- XAC，κT（νκ））i≤ 总工程师U′[XOW，κT（κ）]+U′[XAC，κT（κ）]XOW，κT（κ）- XAC，κT（νκ）.同样通过注释4.2和引理5.1，右边的被积函数是o（κ）阶-概率为1/2）。由于（5.5）中假设的一致可积性，这种收敛性也适用于inL（P）。因此，E[U（XOW，κT（~nκ）]=E[U（XAC，κT（~nκ）]+o（κ-1/2）。将其与（5.6）相结合，得出族（νκ）κ>0的断言渐近最优性。定理5.2的前提条件只要求充分可积。因此，如果模型的所有原语都是有界的，则它们是自动满足的：推论5.3。假设订单簿的弹性K和高度h都是统一边界，并且有界远离ze ro。考虑（5.2）中的一系列政策。如果相应的交易率M i有界且有界远离零，则无摩擦目标策略θ∞以及它的漂移和差异∞, σθ∞则相应的类（5.4）是一致可积的。如果波动率σ和无摩擦风险容限过程R有界且从零开始有界，则无摩擦优化器φ∞是一个有界It^o过程，具有有界漂移和微分系数，那么（5.4）和（5.5）对于族（5.1）是u形式可积的。特别是，定理5.2适用于[22，定理8.1]的设置。推论5.3的证明。因为风险厌恶-效用U的U′/U′是有界的，并且从零开始有界，U′（x）≤ C经验(-对于某些常数B，C>0（参见[19，备注2.3]）。

结合柯西-施瓦兹不等式，可以证明(-2BXAC，κT（κ），κ>0和（κ1/2[XOW，κT（κ）- XAC，κ（θκ）]、κ>0在L（P）中有界，以证明断言的第一部分。要了解这一点，请首先调用thatXAC，κT（θκ）=x+ZTθκtdSt-ZT（˙θκt）κKthtdt。接下来请注意，由于无摩擦目标策略θ∞当交易率有界且偏离零时，根据Gronwall引理，族θκ，κ>0也是一致有界的。因此，It^o过程的漂移和扩散系数Xac，κT（θκ）是一致有界的，因此(-2BXAC，κT（θκ））来自诺维科夫病。与（κ1/2[XOW，κT（θκ））相应的L（P）-结合- XAC，κ（θκ）]源自注释4.3中的L（P）-收敛。如果波动率σS、风险容限过程R以及订单簿的阻力K和高度h是统一边界，且远离零，则上述参数尤其适用于系列（5.1）。在这种情况下，族（5.1）的一致可积性（5.5）也遵循相同的规律。参考文献[1]A.阿方西、A.弗鲁思和A.席德。具有一般形状函数的极限顺序b中的最优执行策略。定量。《金融》，10（2）：143-157，2010年。[2] R·F·阿尔姆格伦。具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行。阿普尔。数学《金融》，10（1）：1-18，2003年。[3] R·F·阿尔姆格伦和N·克里斯。清算中的价值。风险，12（12）：61–631999年。[4] R·F·阿尔姆格伦和N·克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险》，2001年3:5-40。[5] R.F.Almgre n和T.M.Li。全动态闭式解-利用市场影响进行套期保值。预印本，2011年。[6] P.银行和D.鲍姆。大型交易商金融市场中的套期保值和投资组合优化。数学《金融》，14（1）：1-18，2004年。[7] D。

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