块状订单的高弹性极限

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英文标题：
《High-Resilience Limits of Block-Shaped Order Books》
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作者：
Jan Kallsen, Johannes Muhle-Karbe
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  We show that wealth processes in the block-shaped order book model of Obizhaeva/Wang converge to their counterparts in the reduced-form model proposed by Almgren/Chriss, as the resilience of the order book tends to infinity. As an application of this limit theorem, we explain how to reduce portfolio choice in highly-resilient Obizhaeva/Wang models to the corresponding problem in an Almgren/Chriss setup with small quadratic trading costs.
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中文摘要：
我们证明了Obizhaeva/Wang的块状订单簿模型中的财富过程收敛于Almgren/Chriss提出的简化模型中的财富过程，因为订单簿的弹性趋于无穷大。作为这个极限定理的一个应用，我们解释了如何将高弹性Obizhaeva/Wang模型中的投资组合选择减少到具有小二次交易成本的Almgren/Chriss模型中的相应问题。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：Quantitative Optimization Differential Applications QUANTITATIV

块状订单的高弹性极限*Jan Kallsen+Johannes Muhle Karbe2014年9月25日摘要我们表明，Obizhaeva/Wang[23]的块状订单簿模型中的财富过程收敛于Almgren/Chriss[3,4]提出的简化形式模型中的财富过程，因为订单簿的可靠性趋于一致。作为这个极限定理的一个应用，我们解释了如何将高弹性Obizhaeva/Wang模型中的投资组合选择减少到具有小二次交易成本的Almgren/Chris系统中的Corres-ponding问题。1简介快速执行的大额订单会对市场价格产生不利影响。这种“价格影响”构成了大型机构投资者和对冲基金的主要交易成本。因此，有大量且不断增长的文献研究如何通过合理安排订单流量来降低这些成本（参见[13,12]了解最新概述）。使用最广泛的两个模型分别由阿尔姆格伦和克里斯以及奥比扎瓦瓦和王提出。Almgren和Chriss[3,4,2]提出了一个简化模型，该模型直接描述了特定功能，描述了给定秩序的临时和永久影响。该模型的具体规定非常容易处理，以实现最佳执行[4,2,27]，如果价格影响是线性的，也适用于更复杂的问题，如投资组合选择[11,10,14,22]和h边缘[5,22]。特别是，即使在非常一般的情况下，对于小的线性临时影响，也能得到完全明确的公式[22]。Ob izhaeva/Wang[23]的模型是结构性的，因为它没有直接假设一些价格影响函数，而是从对基础限额订单簿的描述开始。在今天的电子市场中，后者收集所有未完成的限额买卖订单，从而提供当前流动性的快照。

Obizhaeva和Wang假设订单是“块状”的，即流动性均匀分布在最佳买入价和卖出价之外。由于每笔交易都会侵蚀订单，这会导致另一个具有线性价格影响的模型。然而，在每次交易之后，这本书现在都以一定的弹性率恢复，导致了“暂时”的价格影响，既不是暂时的，也不是完全的。虽然风险中性的临时执行问题在这种情况下仍然是可行的[23,1,24]，但到目前为止，更复杂的优化已被证明是可行的。在本研究中，我们发现Almgren/Chriss和Obizhaeva/Wang的模型密切相关。事实上，随着Obizhaeva/Wang模型中订单簿的弹性增加，*我们感谢Yan Dolinsky、Martin Herdegen、Sebastian Hermann和Ren Liu的富有成效的讨论。+Christian Albrechts Universit–在德国基尔D-24098西环383号数学大师研讨会上，emailkallsen@math.uni-基尔。德埃斯·祖里奇，瑞士祖里奇，阿米斯特拉斯101，瑞士祖里奇，瑞士金融研究所，电子邮件：约翰内斯。穆勒-karbe@math.ethz.ch.部分由ETH基金会支持。Bertsimas和Lo[7]、Madhavan[21]以及asHuberman和Stanzl[16]同时提出并研究了类似的模型。为了与大多数文献保持一致，我们仍然坚持使用术语“Almgren/Chriss模型”。例如，比较[1,24]以获得对更一般订单簿形状的扩展。相应的财富过程收敛到阿尔姆格伦/克里斯设置中的对应过程，具有较小的线性临时价格影响。

后者是根据订单簿的可观察属性明确确定的，即i）订单簿的高度、ii）订单簿的弹性，以及iii）订单簿在买卖双方的对称性。鉴于这一极限定理，高弹性Obizhaeva/Wang模型中的优化问题可以与具有较小线性价格影响的Almgren/Chriss模型中的对应问题相关联。Weill利用Moreau等人[22]在Almgren/Chriss框架下的结果，在Obizhaeva/Wang环境下获得渐近最优的交易策略，对投资组合选择进行了说明。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了Obizhaeva和Wang的块状极限订单书模型的一般版本，特别是相应的财富动态。在第3节中，我们将讨论Almgren/Chriss类型的简化形式模型。第4节包含了我们的主要结果，表明Almgren/Chriss模型随着b锁形订单的高弹性限制而出现。最后，第5.2节讨论了该极限定理对投资组合选择的含义，即使用块形指令集进行交易，我们定义了一个过滤概率空间(Ohm, F，（Ft）t∈考虑Obizhaeva和Wang[23]提出的订单模型的一般版本。也就是说，有一种安全的资产，其价格过程标准化为≡ 1.风险资产。后者的基本价格过程被建模为连续半鞅S，与外生比例交易成本ε进行交易↓, ε↑分别用于销售和购买。这意味着，在没有大型交易商的情况下，可以以最低价出售内部设备- ε↓为St+ε购买的tand↑t时间t，r，即ε↓, ε↑它们不受买卖价差的影响。除了这种外生摩擦，大型交易也会影响市场价格。

继Obizhaeva和Wang[23]之后，这是一个具有有限体积的块状订单簿。为了使这一点更加精确，请考虑一个经过调整的、正确的连续有限变化过程所描述的交易策略↑-φ↓.块状订单簿的高度为h↑买方为吨，高度为h↓在卖方。因此，一份购买订单dа↑t提高最优惠的要价↑tdа↑t、 而目前的最佳投标价格保持不变。每笔交易完成后，买卖价格无需恢复到基本价格，而是恢复到某个参考价格，该参考价格还考虑了过去交易的永久影响。如[23]所示，这对参考价格的永久影响是线性的，由分数α给出↑T∈ [0，1/2]的最佳要价移动。因此，购买订单↑t增加ask排列ε↑t与引用q的关系为1-α↑th↑tdа↑看跌价差ε↓tbyα↑th↑tdа↑t、 每次购买后，出价和要价都意味着恢复到外生基线水平ε↓t、 ε↑两次恢复率κ↓tandκ↑t、 分别。销售订单的影响是类似的。[26]中提出了一个具有随机市场深度和弹性的类似模型。给你↑- φ↓是将φ分解为最小的非减损右连续过程φ↑, φ↓.由于价格操纵，非线性永久性价格影响通常会导致“准套利”，见H ub ermanand Stanzl[15]。给你，阿尔法↑≡ 1/2表示参考报价为中间价。

对于α↑≡ 0，一个取而代之的是有趣的dament alprice，因为它没有永久性的价格影响。因此，α↑≤ 1/2确保买入交易对买入方利差的影响不会超过对卖出方利差的影响。综上所述，参考价格如下dS~nt:=dSt+α↑th↑tdа↑T-α↓th↓tdа↓t、 （2.1）且相应的买卖价差根据ε洎演变，↓t=κ↓t（ε）↓T- εφ,↓t） dt+1- α↓th↓tdа↓t+α↑th↑tdа↑t+dε↓t、 ε~n，↓= ε↓, （2.2）dε~n，↑t=κ↑t（ε）↑T- εφ,↑t） dt+1- α↑th↑tdа↑t+α↓th↓tdа↓t+dε↑t、 ε~n，↑= ε↑. （2.3）自始至终，我们施加了以下规则性条件，这些条件尤其意味着，对于任何交易策略，参考报价和相应的买卖价差都是明确的：假设2.1。κ↑, κ↓, H↑, H↓是阳性的，α↑, α↓取[0,1/2]中的值，所有这些过程都是连续的和自适应的。ε↓, ε↑是正的，连续的半鞅。对于任何给定的交易策略↑- φ↓, 相应的买卖价差ε，↓, εφ,↑从（2.2-2.3）求解带有外生驱动项的线性SDE。因此，[25，定理V.52]表明，它们由ε~n显式给出，↓t=ε↓t+Zte-Rtsκ↓rdr1- α↓嘘↓sd~n↓s+α↑嘘↑sd~n↑s(2.4)εφ,↑t=ε↑t+Zte-Rtsκ↑rdr1- α↑嘘↑sd~n↑s+α↓嘘↓sd~n↓s（2.5）现在让我们推导出与自我融资策略对应的财富动态。自我融资条件规定，所有购买和销售必须在相应的安全账户中入账。由于订单簿是s形的，每个订单的平均执行价格是初始出价或要价与交易完成后获得的价格之间的平均值。这将导致todаt=-S k t-+ εφ,↑T-+2小时↑tdа↑Td~n↑t+Sаt-- εφ,↓T--2小时↓tdа↓Td~n↓t=-S k t-d k t- εφ,↑T-d~n↑T- εφ,↓T-d~n↓T-2小时↑td[~n↑]T-2小时↓td[~n↓]t、 （2.6）现在，转向根据参考价格Sа评估的风险头寸。

[17，I.4.45]和[17，定理I.4.52]中的部分积分yieldd（tSt）=t-dS k t+S k t-d~nt+dφ↑- φ↓,α↑H↑d~n↑-α↓H↓d~n↓t=~nt-dS k t+S k t-d~nt+α↑th↑td[~n↑]t+α↓th↓td[~n↓]t、 综上所述，上述公式导致了（纸面）财富过程的以下动态Xа=а+аSа，对应于（2.6）给出的安全账户а的自我融资策略：定义2.2。策略的（纸面）财富过程↑- φ↓在Obizhaeva/Wangmodel中，dynamicsdXOWt（~n）：=~nt-dS k t- εφ,↑T-d~n↑T- εφ,↓T-d~n↓T-1/2 - α↑th↑td[~n↑]T-1/2 - α↓th↓td[~n↓]t、 （2.7）在投标报价中，↓, εφ,↑以及（2.1-2.3）中的参考价格。3简化模型下，我们介绍Almgren和Chriss简化模型的一般版本[3,4,2]。在这个框架中，交易策略是↑- φ↓被限制为绝对连续，具有固定的周转率˙~nt=˙~n↑T- ˙φ↓t:=dt/dt，相应的财富动态由dxact（）：=tdSt给出- ε↑tdа↑T- ε↓tdа↓T- λ↑t（˙˙˙˙）↑t） dt- λ↓t（˙˙˙˙）↓t） dt。（3.1）在这里，对于（2.1）中的Obizhaeva/Wang型模型，参考价格通过p asttrades线性移动：dS~nt:=dSt+γ↑tdа↑T- γ↓tdа↓t、 （3.2）对于连续过程γ↑, γ↓≥ 0.过程ε↓, ε↑在（3.1）中，表示第2节中的外生b id ask spreadsa，这导致交易成本在卖出和买入价格中呈线性˙˙~n↓, ˙φ↑. 最后，正的连续过程λ↓, λ↑在相应的周转率上征收额外的四分之一交易成本。动态（3.1）再次受到线性价格影响的推动。事实上，假设一个单独的购买↑t在一段时间间隔内执行，dt将平均交易价格移动λ↑tdа↑t/dt，即价格影响在交易规模和交易速度上都是线性的。然后，价格影响的额外执行成本由λ给出↑t（d~n↑t/dt）dt，符合（3.1）。

价格影响纯粹是暂时的，因为每笔交易都不会通过这个渠道影响后续交易。（永久性影响通过参考报价（3.2）的变动单独建模。）因此，该模型对应于一个区块形状的订单簿，在下一笔交易进入之前，该订单簿在每次交易后完全恢复。这一启发性论点表明，它与高弹性订单有着密切的联系。然而，它并没有揭示持续贸易和有限弹性是如何相互作用的。使这种联系精确是本文的主要贡献。4高弹性渐近我们现在表明，第2节中的Obizhaeva/Wang ty pe模型中的财富过程与对应的Almgren/Chriss模型中的财富过程相似，具有较大的弹性极限，即订单从执行的交易中恢复得越来越快。为此，写下弹性κ↑, κ↓asκ↑t=κK↑t、 κ↓t=κK↓t、 对于积极、持续、适应的过程K↑, K↓与κ无关的渐近参数∈ R+将被发送到单位。因为我们想在续集中研究与块状订单书的联系，所以我们在这里重点关注线性时间价格影响。关于非线性冲击函数的扩展，请参见[2]。考虑一个绝对连续的交易策略d˙t=˙˙tdt。以下极限理论表明，在具有高弹性的Obizhaeva/Wang模型中，对应的财富过程可以用Almgren/Chriss模型的简化形式近似：定理4.1。确定初始捐赠x>0，并考虑一个绝对连续的策略D˙t=˙ntdt，持续周转率˙~n=˙↑- ˙φ↓.

然后：XOW，κ（）=x+Z·tdSt-Z·ε↑t˙~n↑t+ε↓t˙~n↓Tdt- κ-1Z·1- α↑tK↑th↑t（˙˙˙˙）↑t） +1- α↓tK↓th↓t（˙˙˙˙）↓t） !！dt+o（κ）-1） ，在概率上均匀分布在紧集上，如κ-→ ∞.也就是说，作为κ-→ ∞, 具有弹性κK的Obizhaeva/Wang模型中的财富过程XOW，κ（ν）↑, κK↓在具有临时二次影响成本λ的Almgren/Chriss模型中重组其对应物XAC，κ（~n）↑:=1.-α↑κK↑H↑, λ↓:=1.-α↓κK↓H↓= O（κ）-1） ，永久线性冲击γ↑:=α↑H↑, γ↓:=α↓H↓= O（1）和比例交易成本ε↑, ε↓= O（1）。也就是说，永久性的价格影响与订单的弹性无关。相反，随着弹性的增长，投资者的其他交易成本分为两部分。一方面，交易产生了外生基线利差。此外，投资方收取的是由I）订单簿的高度、ii）其弹性和iii）价格对买卖价格影响的不对称性决定的正交交易成本。根据订单簿的可观察属性，这表明Almgren/Chriss的交易成本降低。定理M4.1的证明。修正T>0。通过本地化，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设↑, K↓两者都以K>0为界，且过程˙~n↑:= ˙φ+, ˙φ↓:= ˙φ-以及-α↑H↑,1.-α↓H↓,α↑H↑,α↓H↓, ε↑, ε↓都一致地被某个常数C所包围∈ (0, ∞).根据定义2.2，Jensen不等式和˙~n的有界性↑, ˙φ↓, 这需要展示κ(εφ,↑T-ε↑（t）-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T{ ˙φ↑t> 0}dt，ZTκ(εφ,↓T-ε↓（t）-1.- α↓tK↓th↓t˙~n↓T{ ˙φ↓t> 0}dt-→ 0，a.s.，（4.1）asκ-→ ∞. 证明这一点的参数是两个积分的相同点，因此我们将重点放在第一个积分上。

显式表示（2.5），结合˙~n的有界性↑, ˙φ↓,1.-α↑H↑,α↓H↓, K的下限，以及一个初等积分，意味着κ(εφ,↑T- ε↑（t）-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T≤2CK。因此，通过支配收敛定理，就足以证明这个被积函数收敛到零点方向的f或每个t∈ （0，T）。因此，让我们乘以ω∈ Ohm 和t∈ [0，T]。所有未解决过程的连续性意味着，对于每一个δ>0，都存在| K↑s- K↑t|≤ δ、 为了所有的人∈ [t]- ν、 t]，（4.2）和1.- α↑嘘↑s˙~n↑s-1.- α↑th↑t˙~n↑T≤ δ、 为了所有的人∈ [t]- ν，t]。（4.3）此外，如果˙˙t>0，持续交易率在[t]上为正-ν、 t]（如有必要，在减少ν后）。因此，（2.5）中与（4.2-4.3）结合的ask排列的显式公式给出κ(εφ,↑T- ε↑（t）-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T{ ˙φ↑t> 0}≤ κCZt-νe-κK（t-s） ds+Ztt-νκe-κRtsK↑rdr1- α↑嘘↑s˙~n↑sds-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T≤杰克-κKν+Ztt-νκe-κ（K）↑T-δ） （t）-s） 一,- α↑th↑t˙~n↑t+δ！ds-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T+Ztt-νκe-κ（K）↑t+δ）（t-s） 一,- α↑th↑t˙~n↑T- δ!ds-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T=杰克-κKν+1.-α↑th↑t˙~n↑t+δK↑T- δ1.- E-κ（K）↑T-δ)ν-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T+1.-α↑th↑t˙~n↑T- δK↑t+δ1.- E-κ（K）↑t+δ）ν-1.- α↑tK↑th↑t˙~n↑T.现在，首先选择δ足够小，然后选择κ足够大。这就建立了应用支配收敛定理获得（4.1）所需的点态收敛，从而得到了估值。备注4.2。例如，在效用最大化的背景下，人们可能希望将定理m 4.1应用于一系列（κ）κ>0的交易策略，随着市场变得更具流动性以获得更高的收益κ，这些策略变得越来越活跃-→ ∞. 为此，定理4.1可以修改如下：假设˙φκt=κ1/4˙φκtdt，（4.4）对于连续的、适应的过程˙φκ，κ>0，其集合{φκt:κ∈ (0, ∞), T∈ [0，T]}是任何T>0的概率范围，即。