一类投资模型的收费公路性质与收敛速度

因此t=0是h原点时间，t→ ∞ 相当于t→ ∞.定理2.6说，u是下列g HJB方程的经典解-UT-θuxuxx+rxux=0（t，x）∈ R+×R+（3.2），其中u（0，x）=u（x）代表x∈ R+和θ=u-对于固定的t>0，rσ和u（t，·）是严格递增和严格凹进的。风险资产的最佳投资额由a（t，x）给出-θσux（t，x）uxx（t，x），t>0。（3.3）设V是U的对偶函数，即V（y）=supx≥0（U（x）- xy）对于y≥ 那么V是[0]上的一个负的、连续的、凸的和递减的函数，∞). u（t，·）的双函数v（t，·）满足五、T-θyvyy+ryvy=0（t，y）∈ R+×R+（3.4），其中v（0，y）=v（y）代表y∈ R+和v∈ C1，∞. （3.3）可以等效地写成asA（t，x）=θσyvyy（t，y），t>0，（3.5），其中y满足vy（t，y）+x=0，或y=ux（t，x）。我们有兴趣估计最优投资组合A（t，x）和默顿投资组合θσ（1）的差异-p） 当t→ ∞. 因此，我们需要估计A（t，x）-θσ(1 - p） x=θσ| yvyy（t，y）+（1- q） vy（t，y）|，（3.6），其中q=pp-1和y=ux（t，x）。很容易验证w=vyan和w=yvyy是方程Lw的解：=WT-θywyy+（r- θ） ywy+rw=0（t，y）∈ R+×R+。（3.7）注释3.2（3.6）是我们在定理3.13的基础上使用的一个关键关系，它将在下一节中导出收费公路性质和一般实用程序的收敛速度。

（3.6）的重要性在于，很难直接估计（3.6）的左侧，这是我们感兴趣的，因为u是非线性偏微分方程的解，但相对容易估计（3.6）的右侧，因为v是线性偏微分方程的解，用v表示，实用程序U的双重功能。我们首先证明了一个将用于其他结果的结果。引理3.3设w∈ C1,2（R+×R）是方程的解WT- awxx=0，w（0，x）=φ（x）。（3.8）设ψ（x）=eαxφ（x），常数α>0。假设φ∈ C（R）和limx→-∞ψ′（x）eqx=-1，|ψ′（x）|≤Keqx，x≤ 0，K，x≥ 0，（3.9）对于某些常数K≥ 1和q<1。那么我们有了x≥ 0，|（eαxw（t，x））x |≤ KL（t），|（eαxw（t，x））xx |≤ K（| q |+a√πt）L（t），（3.10），其中L（t）=eαat+e（α）-q） 至少。此外，我们还有Limx→-∞（eαxw（t，x））xe（q-α） at+qx=-1，limx→-∞（eαxw（t，x））xxe（q-α） at+qx=-q、 （3.11）其中t的收敛是一致的∈ [t，t]与任何0<t<t证明。根据泊松公式，我们得到了w（t，x）=2a√πtZ∞-∞E-(ξ-x） 4atφ（ξ）dξ。一个简单的微积分表明eαxw（t，x）=√πZ∞-∞E-η-αa√tηψ（x+a）√tη）dη（eαxw（t，x））x=√πZ∞-∞E-η-αa√tηψ′（x+a）√tη）dη（3.12）（eαxw（t，x））xx=√πZ∞-∞E-η-αa√tηη2a√t+αψ′（x+a）√tη）dη。（3.13）证明（3.10）中的第一个不等式，从（3.9）中注意到≥ 0，|ψ′（x+a）√tη）|≤ K（1+eqa）√tη），η ∈ 兰德√πR∞-∞E-η-Aηdη=ea对于常数A，我们有|（eαxw）x |≤K√πZ∞-∞E-η-αa√tη（1+eqa）√tη）dη=K（eαat+e（q-α） 在）。用（3.13）证明了（3.10）中的第二个不等式。接下来我们证明（3.11）。Sin-ce，使用（3.12），（eαxw）xe（q-α） 在+qx+1=√πZ∞-∞E-(η- 2（q）-α） a√（t）ψ′（x+a）√tη）eq（x+a）√tη）+1dη（3.14）和，对于x≤ 0,ψ′（x+a）√tη）eq（x+a）√tη）≤ K（1+e）-质量保证√tη），η∈ R、 （3.15）支配收敛定理→-∞（eαxw）xe（q-α） 在+qx+1≤√πZ∞-∞E-(η- 2（q）-α） a√t） 利克斯→-∞ψ′（x+a）√tη）eq（x+a）√tη）+1dη=0。这证明了（3.11）中的第一个极限。

同样地，注意到，使用（3.13），（eαxw）xxe（q-α） at+qx+q=√πZ∞-∞E-(η- 2（q）-α） a√（t）η2a√t+αψ′（x+a）√tη）eq（x+a）√tη）+1dη，我们可以用支配收敛定理证明（3.11）中的第二个极限。下一个结果给出了收敛速度的估计。引理3.4让引理3.3的条件满足。此外，假设ψ′（x）eqx+1≤ Keαx，x≤ 0，（3.16）对于某些常数α>0。那么我们有了x≤ 0,（eαxw）xe（q-α） 在+qx+1≤ KL（t）（eαx+exa）√t） ，（3.17）|（eαxw）xx- q（eαxw）x | e（q-α） at+qx≤ KL（t）（eαx+exa）√t） ，（3.18），其中L（t）=e（α-Q-α） at+e4+αat+2e4-2(α-q） a√tand L（t）=（α+| q |+a）√t） L（t）。证据德菲宁（x）=√πZ∞xe-ηdη，M（x）=√πZ∞x |η| e-ηdη。一个简单的微积分表明n（x），M（x）≤ e4-十、x、 （3.19）我们注意到（3.14）、（3.16）和（3.15），（eαxw）xe（q-α） 在+qx+1≤K√πZ-xa√T-∞E-(η- 2（q）-α） a√t） eα（x+a）√tη）dη+K√πZ∞-xa√te-(η- 2（q）-α） a√t） （2+e）-质量保证√tη）dη≤ Ke（α）-Q-α） ateαx+2KN(-xa√t+2（α）- q） a√t） +KeαatN(-xa√t+2αa√（t）≤ KL（t）（eαx+exa）√t） 。我们在上一篇文章中使用了（3.19）。这证明了（3.17）。LetB（η）=η2a√t+α- q、 注意√πZ∞-∞B（η）e-(η- 2（q）-α） a√t） dη=0。我们有来自（3.12）和（3.13）（eαxw）xx的公式- q（eαxw）xe（q-α） at+qx=√πZ∞-∞B（η）e-(η- 2（q）-α） a√t） ψ′（x+a）√tη）eq（x+a）√tη）dη=√πZ∞-∞B（η）e-(η- 2（q）-α） a√（t）ψ′（x+a）√tη）eq（x+a）√tη）+1dη。因此，对于x≤ 0，注意（3.16），（3.15）和（3.19），我们有|（eαxw）xx- q（eαxw）x | e（q-α） at+qx≤K√πeαxZ-xa√T-∞|B（η）|e-(η- 2（q）-α） a√t） eαa√tηdη+K√πZ∞-xa√t | B（η）|e-(η- 2（q）-α） a√t） （2+e）-质量保证√tη）dη≤ K（α+a）√πt）e（α）-Q-α） αx+Ka√商标(-xa√t+2（α）- q） a√t） +K2a√teαatM(-xa√t+2αa√t） +K | q | eαatN(-xa√t+2αa√（t）≤ KL（t）（eαx+exa）√t） 。这证明了（3.18）。接下来我们给出对偶值函数v的一些估计。引理3.5假设v∈ C（R+）和满意度→0V′（y）yq-1= -1，|yV′（y）|≤Kyq，y≤ 1，K，y≥ 1，（3.20），其中q<1。

然后我们有| yvy（t，y）|≤ KeβtL（t），|yvyy（t，y）|≤ K（1+| q |+a）√πt）eβtL（t），（3.21）表示y≥ 1安德利米→0vy（t，y）eλtyq-1= -1，利米→0vyy（t，y）eλtyq-2= 1 - q、 （3.22）其中t的收敛是一致的∈ [t，t]与任何0<t<tandα=+rθ，a=√θ,β = -aα，λ=θq（q- 1) - rq。证据设w（t，x）=e-（αx+βt）v（t，ex）。那么w是方程（3.8）的一个解，初始条件为w（0，x）=φ（x）=e-αxV（ex）。自（α）- q） a=λ- β和yvy=eβt（eαxw）x，yvyy+yvy=eβt（eαxw）xx，（3.23）应用引理3.3给出（3.21）和（3.22）。备注3.6注意，（3.20）中的第一个条件可以用石灰代替→0y1-qV′（y）=-对于某个正常数k，如果k6=1，我们可以用V除以k，然后计算新的V。由于最优交易策略对标度目标函数的不变性，收费公路性质不变。还请注意，可以删除（3.20）中的第二个条件。事实上，对于任何y>0和y≥ y、 V的凸性和非负性意味着V（y/2）≥ V（y/2）+V′（y/2）（y/2）- y/2）≥ V′（y/2）y/2- V′（y）y/2，加上V的递减性质，给出0≤ -yV′（y）≤ 2V（y/2）- V′（y/2）y代表y≥ y> 0。这与（3.20）中的第一个条件相结合，意味着第二个条件。推论3.7假设U是连续可微且严格凹的，且满足极限→∞许′（x）1-q=k，（3.24），其中q<1，k为正常数。那么（3.20）就成立了。证据因为U是严格凹的，V由（2.4）定义，所以我们有V∈ C.表示byI=（U′）-1.那么V（y）=U（I（y））- yI（y）和V′（y）=-I（y）表示y>0。（3.20）中的第一个条件相当于limx→∞许′（x）1-q=1或k，如果使用比例（见备注3.6）。备注3.8条件（3.24）相当于tolimx→∞U′（x）xp-1=k1-p、 其中p=1+1/（q）- 1） ，这意味着u的边际效用与电力公司xp的边际效用成渐近比例。

此外，如果U是两次连续可微的，那么通过应用L\'H^opital规则，我们得到k=limx→∞U′（x）1-qx-1=极限→∞(1 - q） U′（x）-qU′（x）-十、-2= (1 - q） k limx→∞-xU′（x）U′（x）,这表明由R（x）定义的U的相对风险规避系数：-xU′（x）/U′（x），收敛到1- p随着财富的增加而渐近增加。通常情况下，情况并非如此，请参见下一个示例。例3.9对于常数0<p<1，定义一个点x=exp（1/（1））- p） ）和d a功能+→ R+byU（x）=x（1）-p） e，x≤ \'x，xpln x，x>\'x.那么我们有u′（x）=(1-p） e，x≤ \'x，xp-1（pLnx+1），x>xandU′（x）=0，x<x，xp-2（p- 1） Lnx+2p- 1） ，x>x。很容易检查U是否是满足假设3.1的效用函数。U的相对风险规避系数由r（x）=（0，x<x）给出，-p（p-1） Lnx+2p-1p ln x+1，x>\'x.因此limx→∞R（x）=1- p、 另一方面，对于任何q<1，我们有xu′（x）1-q=x（p-1)(1-q） +1（pLnx+1）1-QforX≥ \'x，如果q<p/（p），则收敛到0-1） 及∞ 如果p/（p-1) ≤ q<1。因此，不存在（3.24）成立的q<1。引理3.10假设引理3.5的条件满足。此外，假设V′（y）yq-1+ 1≤ Kyα，y≤ 1，（3.25）对于某些正常数K和α。那么我们就有了≤ 1.vyeλtyq-1+ 1≤ 吉隆坡（t）yα+ya√T, （3.26）|yvyy+（1）-q） vy | eλtyq-1.≤ 吉隆坡（t）yα+ya√T. （3.27）证据。通过应用引理3.4，证明类似于引理3.5。备注3.11与备注3.6一样，条件（3.25）可替换为V′（y）yq-1+k≤ Kyα，y≤ 1，对于一些正常数k，k和α。

此外，如果limitlimy→0y-αV′（y）yq-1+k= 对于某些正常数α、K和K，K（3.28）存在，然后（3.25）成立。推论3.12假设（3.20）和（3.25）成立，那么对于|t=aα，我们有|vy（|t，y）+eλtyq-1| ≤Lyq-1+α，y≤ 1，L，y≥ 1.（3.29）|yvyy（\'t，y）+（1- q） vy（\'t，y）|≤Lyq-1+α，y≤ 1，L，y≥ 1.（3.30）式中，l=K max{2eλ′tL（\'t），2eλ′tL（\'t），eβ′tL（\'t）+eλ′t，（2+2 | q |+a）√π\'t）eβ\'tL（\'t）}。证据结论来自引理3.5和3.10。下一个定理给出了默顿投资组合最优投资的收费公路性质和收敛速度，这是本节的主要结果。定理3.13假设V∈ C（R+）和（3.20）保持不变。然后我们有，对于x>0，limt→∞A（t，x）=θσ（1）- p） x，（3.31），其中p=qq-1.此外，如果（3.25）保持常数0<α≤ 1.- q、 然后A（t，x）-θσ(1 - p） x≤ D（x）e-rα1-qt（3.32）表示t>\'t，其中d（x）=（θL/σ）{er\'t+2erα1-q\'t[2+2（L+x）e-λ′t+（2L）1-qαeλ1-qα）`t]α+q- 1q-1} 推论3.12给出了、`t和L。证据根据（3.21），（3.22），对于任何固定的t>0，我们都可以得到thatlimy→0vy（t，y）+yq-tyq 1eλ-1=0，利米→∞（vy（t，y）+yq-1eλt）=0。对于任何固定的>0，都有δ=δ（）>0，因此| vy（t，y）+yq-1eλt|≤ yq-1+ δ, Y∈ R+。（3.33）定义新的（t，y）=±（vy（t，y）+yq-1eλt）+（yq）-1eλ（t）-t） +1）+δe-r（t）-t） 对于（t，y）∈ [t，t]×R+，任意t>t。当t满足以下方程和边界条件时WT-θywyy+（r- θ） ywy+rw=r（t，y）∈ （t，t）×R+，w（t，y）>0，y∈ R+，lim infy→0w（t，y）>0，极限信息→∞w（t，y）>0，t∈ [t，t]。（3.34）根据最大值原理，我们得出了所有（t，y）的w（t，y）>0的结论∈ [t，t]×R+，哪个imp位于| vy（t，y）+yq-1eλt|≤ （yq）-1eλ（t）-t） +1）+δe-r（t）-t） （3.35）适用于所有（t，y）∈ [t，t]×R+。

注意，对于x>0且y=ux（t，x），我们有vy（t，y）=-x，从（3.35），|（ux（t，x））q-1eλt|≤ x+（（ux（t，x））q-1eλ（t）-t） +1）+δe-r（t）-t） 。取=eλt，我们得出结论|（ux（t，x））q-1eλt|≤ C（x）（3.36）代表t≥ t、 其中C（x）=2x+eλt+2δ（eλt）。类似地，从（3.21）和（3.22）中，我们得到了limy→0yvyy（t，y）+（1）- q） vy（t，y）yq-1=0，利米→∞（yvyy（t，y）+（1）- q） vy（t，y））=0。对于任何固定的>0，都有δ=δ（）>0，因此|yvyy（t，y）+（1- q） vy（t，y）|≤ yq-1+δ，y∈ R+。定义新的（t，y）=±（yvyy（t，y）+（1- q） vy（t，y））+（yq-1eλ（t）-t） +1）+δe-r（t）-t） 对于（t，y）∈ [t，t]×R+。然后是满意度（3.34）。最大值原理意味着|yvyy（t，y）+（1- q） vy（t，y）|≤ （yq）-1eλ（t）-t） +1）+δe-r（t）-t） （3.37）对于所有（t，y）∈ [t，t]×R+。对于固定x>0，通过（3.36），我们得到A（t，x）-θσ(1 -p） x= （θ/σ）|ux（t，x）vyy（t，ux（t，x））+（1- q） vy（t，ux（t，x））|≤ （θ/σ）（（（ux（t，x））q）-1eλ（t）-t） +1）+δ（）e-r（t）-t） )≤ （θ/σ）（（C（x）e）-λt+1）+δ（）e-r（t）-t） ）（3.38）≥ t、 让我们→ ∞ 然后呢→ 0，我们导出了收费公路属性（3.31）。接下来假设（3.25）对于常数0<α成立≤ 1.- q、 对于任何固定的>0，定义=（L）α。设t=\'t，则（3.29）意味着| vy（\'t，y）+eλtyq-1| ≤ max{yq-1，Lyq-1+α，L}，Y∈ R+。因此（3.33）与δ（）=L+L1匹配-qαq-1+αα. （3.39）因此，我们得到了常数C（x）C（x）=2x+eλ′t+2δ（eλ′t）=2（L+x）+eλ′t+（2L）1的显式形式-qαeλ（1+1）-类似地，（3.37）满足（3.39）给出的δ。设=L（C（x）e-λ′t+1）er（t-“\'t”）αq-1.我们从（3.38）和0<α<1中获得- 问：是吗A（t，x）-θσ(1 - p） x≤ (θ/σ)2L（C（x）e-λ′t+1）α+q- 1q-1erαq-1（t）-\'t）+Le-r（t）-“\'t”）≤ （θ/σ）（2L（C（x）e）-λ′t+1）α+q- 1q-1erα1-q\'t+Ler\'t）e-rα1-qt。将C（x）代入上述不等式，我们得到（3.32）中的D（x）。

备注3.14在定理3.13的证明中，很明显，正利率r在建立收费公路性质（3.31）和收敛速度（3.32）中起着关键作用。Back等人（1999年）也强调了这一点，“经济增长反映在利率或贴现债券价格上，而不是独立性，对结果至关重要”。定理3.13表明收敛速度为rα/（1）-q） 最大误差为D（x），可通过表达式计算。对于一个特定的效用函数，我们可以给出比定理3.13中给出的更精确的误差估计。下一个例子说明了这一点，并展示了对偶方法在找到HJB方程的解方面的有用性，这将很难用试错法解决。示例3.15定义eU（x）=H（x）-3+H（x）-1+xH（x）（3.40）表示x>0，其中h（x）=-1 +√1+4x1/2.一个简单的微积分给出U′（x）=H（x）和U′（x）=-√2(-1 +√1+4x）-3/2（1+4x）-1/2，表示U严格递增，严格凹进。此外，H（0）=limx→0H（x）=∞,H(∞) = 0和limx→∞xH（x）=∞, 这给了limx→0U（x）=0（我们可以定义U（0）=0），U(∞) = ∞, U′（0）=∞ 还有你(∞) = 因此U是一个效用函数。此外，U的相对风险规避系数由r（x）=-xU′（x）U′（x）=1 +√1+4x,这表明U不是HARA实用程序。因为R是一个递减函数，其极限为1/4as x→ ∞, U代表的是一个投资者，随着财富的增加，他将增加投资于therisky资产的财富比例，这是一种现实的经济行为。为了获得其他信息，包括收费公路的财产，我们需要做进一步的分析。U的对偶函数由V（y）=s upx定义≥0（U（x）- xy）。

因为最优点x表示方程U′（x）- y=H（x）- y=0，我们有x=y-2+y-4andV（y）=y-3+y-1.用q=-3和K=2和（3.28）在α=2和K=1时成立。定理3.13表明收费公路性质（3.31）和收敛速度（3.32）成立。由于双值函数v是线性偏微分方程（3.4）的解，我们可以将其转化为一个简单的热方程，然后找到封闭形式的解。特别地，如果我们让α=+rθ=√θ, β = -aα，w（t，z）=e-（αz+βt）v（t，ez），那么w是方程wt的解-awzz=0，初始条件为w（0，z）=e-αzV（ez）与V（y）=-yq/q-y\'q/\'q和q=-3，\'q=-1.我们可以使用泊松公式找到闭式解w（t，z），然后得到v（t，y）。线性偏微分方程（3.4）的解由v（t，y）=-qyqe-rqt+θq（q-1） t-“qy”qe-r\'qt+θ\'q（\'q-1） t.将vyand vyy代入（3.6）我们得到A（t，x）-θσ(1 - p） x=θσ| q- “q|e”-r\'qt+θ\'q（\'q-1） ty\'q-1.（3.41）此外，由于y是vy（t，y）+x=0的解，我们需要解方程-E-rqt+θq（q-1） 泰克-1.-E-r\'qt+θ\'q（\'q-1） ty\'q-1+x=0。根据q=-3，\'q=-1，我们gety=2xe（r+θ）t+pe2（r+θ）t+4xe3（r+2θ）t. （3.42）最后，将y替换为（3.41）将导致A（t，x）-θσ(1 - p） x=θσ4x1+p1+4xe（r+4θ）t≤θσ√xe-（r+2θ）t.（3.43）我们发现D（x）=（2θ/σ）√x、 还要注意，定理3.13中的收敛速度c等于c=r/2，（3.43）中的收敛速度是r/2+2θ，大于c。

这表明，通过直接计算，可以得到比OREM 3.13中给出的更快的收敛速度。此外，我们还可以通过计算u（t，x）=infy>0（v（t，y）+xy，从而得出方程vy（t，y）+x=0和u（t，x）=v（t，y）+xy=y（y）来推导基本HJB方程的经典解-4e3（r+2θ）t+3y-2e（r+θ）t+3x）=y(-Y-2e（r+θ）t+x+3y-2e（r+θ）t+3x）=（y-1e（r+θ）t+2xy），其中y>0由（3.42）给出。我们在（3.40）中找到了一个非常复杂的效用函数U的原始HJBequation的封闭形式经典解。4原始和Du有效条件在本节中，我们放松了V的可微性条件。由于ψ（x）=V（ex）不可微，我们首先用不涉及ψ导数的等价表达式重写（3.12）。eαxw=√πZ∞-∞E-η-αa√tηψ（x+a）√tη）dη（4.1）（eαxw）x=√πZ∞-∞E-η-αa√tηη2a√t+αψ（x+a）√tη）dη（4.2）回想一下，效用U满足假设3.1，对偶函数V在R+上是非负的、连续的、递减的和凸的。定理4.1假设对于某些q<0，V满足limy→0V（y）yq=-q、 （4.3）然后收费公路财产（3.31）持有。此外，如果存在正常数K，α和δ，那么V（y）yq+q≤ Kyα，y≤ δ、 （4.4）然后收敛速度（3.32）保持不变。证据由于V不可微，我们不能直接应用定理3.13。然而，我们知道，对于t>0，v（t，y）在（0，∞) 如果v（t，y）的条件（3.20）和（3.25）在某些t>0时保持不变，则最优投资的收费公路性质和收敛速度保持不变。接下来，我们分别根据（4.3）和（4.4）证明了条件（3.20）和（3.25）在某些t>0时适用于v（t，y）。假设（4.3）成立。让=-第二季度。然后存在一个δ>0，使得对于0<y<δ，0<V（y）<-2qyq。为了你≥ δ, 0 ≤ V（y）≤ V（δ）。