一类投资模型的收费公路性质与收敛速度

函数V是[0]上的连续递减凸函数，∞), 令人满意的(∞) = 0和V（y）≤ 对于某些常数C>0且q=pp，C（1+yq），y>0（2.5）-1< 0.用u（t，x）表示0的（2.2）的值函数≤ T≤ T和x≥ 0，定义为U（t，x）=supπE[U（XT）|XT=x]。HJB方程由下式给出：Ut+supπ∈K{πTb（t）xux+|σ（t）tπ| xuxx}+rxux=0（2.6），对于x>0和0<t<t，终端条件u（t，x）=u（x），其中U这是u对t的部分导数，ux和ux的定义类似。双过程Y满足SDEdYt=Yt(-rdt- （σ（t）-1νt+θ（t））TdWt），Y=Y，（2.7），其中，ν是渐进可测的∈~K，Rn中K的正极锥，a.s.fort∈ [0，T]a.e.和θ（T）=σ（T）-1b（t）。对于任何可容许的控制过程π，过程XtYt是asuper鞅，因此以下预算约束成立：E[XtYt]≤ xy，0≤ T≤ T.对偶极小化问题由infνE[V（YT）]定义。用v（t，y）表示0的双值函数≤ T≤ T和y≥ 0，定义为V（t，y）=infνE[V（YT）|YT=y]。双HJB方程是线性偏微分方程五、t+|θ（t）| yvyy- ryvy=0，y>0，0≤ t<t（2.8），终端条件v（t，y）=v（y），其中^θ（t）=θ（t）+σ（t）-1π（t）和π（t）是f（∧π）=θ（t）+σ（t）的唯一极小值-1π|大于π∈假设2.3^θ在[0，T]上是连续的，并且存在一个正常数θ，使得|^θ（T）|≥ θ表示所有t∈ [0，T]。备注2.4如果b（t）的所有成分均为正，则假设2.3自动满足，因为b（t）代表股票超额收益，K是整个空间Rn（无交易约束）或整个空间Rn+负部分的n（卖空约束）。正极锥K是{0}或Rn+，对于allt，最优解^π（t）=0。

因此，^θ（t）=θ（t）是[0，t]上的非零连续向量值函数，θ是[0，t]上|θ|的最小值。（2.8）的解用费曼-卡克定理有如下表示：v（t，y）=E[v（YT）=E[v（yy）]，（2.9），其中y=exp（RTt）(-R-|^θ（s）|）ds-RTt^θ（s）TdWs）。或者，v可以表示为v（t，y）=Z∞-∞其中K（t，z；s，ξ）=p4πα（t，s）exp-4α（t，s）(-r（s）- （t）- α（t，s）+z- ξ)α（t，s）=Rst |^θ（η）| dη≤ t<s≤ T和x，ξ∈ R、 引理2.5V在[0，T]×（0，∞) 是（2.8）的经典解，令人满意≤ v（t，y）≤ C（1+yq），t∈ [0，T]，y>0对于某些常数C>0，取决于T。此外，f或t∈ [0，T），v（T，·）是严格递减的，严格凸的，当y→ 0和y→ ∞:v（t，0）=v（0）v（t，∞) = 0vy（t，0）=e-r（T）-t） V′（0）vy（t，∞) = 0，其中V′是V的右方向导数。证据v可以写成v（t，y）=Z∞-∞K（t，ξ；t，0）V（ye）-ξ） dξ。由于V是一个连续递减凸函数，K是（2.8）的基本解，我们得到V在[0，T]×0上是连续的，∞), C1，∞在[0，T）×（0，∞), 以及减少固定t的d凸度∈ [0，T]，因此vy（T，y）≤ 0和vyy（t，y）≥ 此外，因为v是线性偏微分方程的经典解五、t+|θ（t）| yvyy- ryvy=0，y>0，0≤ t<t，应用强最大值原理，见Bian等人（2011年，引理3.5），我们可以证明，对于固定t，v（t，y）在y中严格递减且严格凸∈ [0，T）。接下来我们展示v作为y的极限性质→ 0和y→ ∞ 对于t∈ [0，T]。为了表示v（t，0）=v（0），我们注意到v（ye-ξ） 是非负的，并且随着y的增加而增加→ 0时，单调收敛定理（MCT）确定了d esir ed极限。

这里我们使用了关系∞-∞K（t，ξ；t，0）dξ=1。显示v（t），∞) = 我们可以说y>1，得到yq<1作为q<0，这就得到了0≤ V（叶）-ξ) ≤C（1+e）-qξ），支配收敛定理（DCT）暗示→∞v（t，y）=0。表示vy（t，0）=e-r（T）-t） V′（0）我们写了V（t，y+h）- v（t，y）h=Z∞-∞K（t，ξ；t，0）g（ξ，y，h）dξ，其中g（ξ，y，h）=（V（ye）-ξ+he-ξ) - V（叶）-ξ） ）/h.由于V是凸的，并且随着h的减小，我们得到g（ξ，y，h）也随之减小↓ 0和g（ξ，y，h）≤ 0代表所有h≥ MCT显示vy（t，y）=Z∞-∞K（t，ξ；t，0）limh↓0g（ξ，y，h）dξ=Z∞-∞K（t，ξ；t，0）e-ξV′（ye）-ξ） dξ。因为V是凸的，所以V′在增加，V′（ye-ξ) ≤ V′(∞) = 0和V′（ye）-ξ） 正在逐渐减少↓ 再次应用MCT，我们得到vy（t，0）=Z∞-∞K（t，ξ；t，0）e-ξlimy↓0V′（ye-ξ） dξ=e-r（T）-t） V′（0）。最后，为了展示vy（t，∞) = 0我们注意到对于y≥ 1,0 ≤V（叶）-ξ） y≤C（1+e）-qξ）y≤ C（1+e）-qξ）。应用我们得到的DCT（t，∞) = 酸橙→∞v（t，y）y=Z∞-∞K（t，ξ；t，0）limy→∞V（叶）-ξ） ydξ=0。我们已经批准了所有的限制。我们现在可以构造HJB方程（2.6）的经典解。定理2.6假设K是一个闭凸锥，假设2.1和2.3成立。然后存在一个函数w∈ C（[0，T]×0，∞)) 这是区域S:={（t，x）：0中HJB方程（2.6）的经典解≤ t<t，0<x<-vy（t，0）}并具有代表性w（t，x）=v（t，y（t，x））+xy（t，x），0≤ x<-vy（t，0）v（t，0），x≥ -vy（t，0），（2.11）其中y∈ C1，∞（S） 满意度（t，y（t，x））+x=0。（2.12）对于（t，x）∈ 函数w在x中严格递增且严格凹，对于固定t∈ [0，T）和满意度w（T，x）=U（x）和0≤ x（t，w）≤ 对于某些常数C，C（1+xp）。此外，HJB方程（2.6）中的最大值在π处*（t，x）=-（σ（t）t）-1^θ（t）wx（t，x）xwxx（t，x）∈ K.（2.13）证据。对于（t，x）∈ [0，T]×[0，∞) 定义新的（t，x）=infy>0{v（t，y）+xy}。

（2.14）如果x≥ -vy（t，0）然后v（t，y）≥ v（t，0）+vy（t，0）y≥ v（t，0）- XYY 7→ v（t，y）+xy在y=0且w（t，x）=v（t，0）时在（2.14）中达到其最小值。如果0<x<-vy（t，0），则在点y（2.12）处达到最小值。设y（t，·）为-vy（t，·），即。，-vy（t，y（t，x））=x，y（t，-vy（t，y））=y，表示固定t∈ [0，T）.y（T，x）在引理2.5的S上有很好的定义∈ C1，∞（[0，T）×（0，∞))vyy（t，y）>0，逆函数y∈ C1，∞（S） 通过隐函数定理和w（t，x）=v（t，y（t，x））+xy（t，x）。请注意，如果x=-vy（t，0）那么-vy（t，y（t，x））=-vy（t，0），意味着y（t，x）=0。所以w（t，·）在x=-vy（t，0）（如果vy（t，0）是有限的）。对于0<x<-vy（t，0），因为y（t，x）>0，vyy（t，y（t，x））>0表示固定的0≤ t<t，函数w（t，·）严格递增，严格凹。直接计算产生WT-|^θ（t）|wxwxx+rxwx=0。我们通过Bian等人（2011，引理3.7）得出结论。w是HJB方程（2.6）的经典解，哈密顿量的最大值在π处*（t，x）和c*（t，x）。此外，从引理2.5我们得到了0≤ x（t，w）≤ C（1+xp）对于某些常数C>0。备注2.7如果您满意(∞) = ∞ 那么V（0）=∞ V′（0）=- ∞ . 案例x≥ -vy（t，0）不可能发生，w是（t，x）的HJB方程的经典解∈ [0，T）×（0，∞). IfV（0）<∞ 我们可能有V′（0）=-∞ （例如，U（x）=-E-αx，V（0）=0和V′（0）=-∞) orV′（0）>-∞ （例如，U（x）=x∧ H、 V（0）=H和V′（0）=-H） 。定理2.6证实了（t，x）的HJB方程（2.6）存在经典解w∈接下来的验证定理表明，值函数u确实是HJB方程（2.6）的光滑经典解，具有最佳反馈控制π*.定理2.8设w如定理2.6所示，u为值函数。

如果x≥ -vy（t，0），然后u（t，x）=w（t，x）=v（t，0），最优控制由π给出*对于t，s=0≤ s≤ T如果0<x<-vy（t，0）然后u（t，x）≤ [0，t]×（0，∞). 此外，如果SDE（2.1）将非负强解“X”与（2.13）中定义的反馈控制“π”混合，则满足以下两个条件之一：1。（解的有界条件）w（s，`Xs）对t有界≤ s≤ T.a.s。；2.（控制下的指数力矩条件）’π满足EhexpRT |πTsσ（s）| ds我∞,然后u（t，x）=w（t，x），最优控制由π给出*s=\'πs{t≤s≤τ*},τ在哪里*是由τ定义的停止时间*= inf{s≥ t:\'Xs≥ -vy（s，0）}∧ Tand 1是一个指示器，如果事件发生，则等于1，否则等于0。证据为了x≥ -vy（t，0）如果我们选择π，我们必须有V（0）fine*= 那么T时的财富由xt=er（T）给出-t） x≥ -呃(T)-t） vy（t，0）=-V′（0）。请注意(-V′（0））=infy≥0（V（y）- V′（0）y）=V（0）=U(∞). 因此（t，x）≥ E[U（XT）]≥ U(-V′（0））=V（t，0）。不等式u（t，x）≤ v（t，0）和U（XT）一样明显≤ V（0）表示所有XT。我们已经证明了当x≥ -vy（t，0）值函数u（t，x）=w（t，x）=v（t，0）与最优控制π*≡ 0.对于0<x<-vy（t，0）和任何可行控制π，以及相应的财富过程X和初始条件Xt=X，定义一个停止时间τ=inf{s≥ t:Xs≥ -vy（s，0）}∧ 然后是T≤ s<τ我们有Xs<-vy（s，0）和dw（s，Xs）=(Ws+wxπsbXs+wxxπsσXs）ds+wxπsbXsdWs。由于w是HJB方程（2.6）的非负解，我们知道上面的漂移系数是非正的，这意味着w（s，Xs）是[t，τ]上的超鞅。我们有[w（τ，Xτ）|Ft]≤ w（t，x）。（2.15）如果τ=T thenE[U（XT）| Ft]=E[w（T，XT）|Ft]≤ w（t，x）。如果τ<T，则Xτ=-vy（τ，0）。我们知道区间[τ，T]上的最优控制由π给出*≡ 值函数由u（τ，Xτ）=w（τ，Xτ）=v（τ，0）给出。

因此，对于区间[τ，T]上具有相应财富X的任何可行控制π，我们必须有[U（XT）| Fτ]≤ w（τ，Xτ）。（2.16）结合（2.15）和（2.16）我们有[U（XT）| Ft]=E[E[U（XT）|Fτ]|Ft]≤ E[w（τ，Xτ）| Ft]≤ w（t，x）。因为π是任何可行的控制，我们已经证明了u（t，x）≤ w（t，x）。同样，对于0<x<-vy（t，0）和反馈控制‘π，以及相应的富裕过程‘X和初始条件‘Xt=X，确定停止时间τ*= inf{s≥ t:\'Xs≥ -vy（s，0）}∧ 那么w（s，\'Xs）是[T，τ]上的局部鞅*].如果解的有界性条件满足，那么w（s，`Xs）是[t，τ]上的鞅*],它给出了[w（τ）]*,\'Xτ*)|Ft]=w（t，x）。（2.17）如果我们选择控制π*s=\'πs{t≤s≤τ*}与相应的财富过程X*然后，使用（2.17），我们得到了[U（X*T） |Ft]=w（T，x）无论τ*= T或τ*< T这就给出了所需的结论u（t，x）=w（t，x）。如果满足控制的指数矩条件，则我们可以应用局部化方法和一致可积性来证明w（s，`Xs）是[t，τ]上的鞅*] 因此（t，x）=w（t，x），参见Bian等人（2011，定理4.1）中的详细证明。接下来我们给出一些例子来说明定理2.6和2.8。假设财富过程由dxt=Xt（rdt+bπtdt+σπtdWt）（2.18）给出，X=X，而eb=u-r、 r，u，σ为正常数，W为标准布朗运动，π为渐进可测控制过程。这是（2.2）的一个特例，其中K=R和它的正极锥K={0}。例2.9假设U（x）=pxp，其中0<p<1是一个常数。V（y）=-qyqf对于y>0，其中q=pp-1是一个负常数。双HJB方程（2.8）的解由V（t，y）=V（y）exp给出（q（q）- 1)θ- r） （T）- （t）,式中θ=b/σ。

方程（2.12）的解由y（t，x）=xq给出-1exp(-qθ+rq- 1） （T）- （t）.HJB方程（2.6）的光滑解由（2.11）给出：w（t，x）=v（t，y（t，x））+xy（t，x）=U（x）exp(-θpp- 1+r（p- 1） ）（T- （t）.HJB方程中哈密顿量的最大值达到（见（2.13））π*（t，x）=θ（1）- p） σ。代入π*（t，x）在方程（2.1）中，我们得到满足线性SDEdXt=Xt的财富过程xta（r+θ1）- p） dt+θ1- pdWt.上述SDE有一个强解，且控制的指数矩条件满足。定理2.8证实了价值函数u=w。备注2.10示例2.9是著名的默顿最优投资组合选择问题。为了解HJB方程（2.6），文献中的标准方法是利用电力效用U的标度特性，猜测形式为w（t，x）=U（x）f（t）的解，然后解一个普通微分方程得到f（t）。借助定理2.6，我们不需要猜测解的形式，并且可以用对偶控制方法直接找到解。例2.11假设U（x）=H∧ x、 其中H是一个正常数。U的对偶函数由V（y）=H（1）给出- y） 为了0≤ Y≤ 1和0代表y≥ 1.

du al Hjbe方程（2.8）的解由v（t，y）给出-惠-r（T）-t） Φ-θ√T- tlny+rθ√T- T-θ√T- T+ HΦ-θ√T- tlny+rθ√T- t+θ√T- T,式中θ=（u）-r） /σ和dΦ是标准正态变量的累积分布函数。自（t，y）=-他-r（T）-t） Φ-θ√T- tlny+rθ√T- T-θ√T- T,方程（2.12）的解由y（t，x）=exp给出-θ√T- tΦ-1（xHer（T-t） ）+（r-θ） （T）- （t）.候选最优值函数由（2.11）给出：w（t，x）=HΦΦ-1（xHer（T-t） ）+θ√T- T, 0≤ x<He-r（T）-t） ，H，x≥ 他-r（T）-t） 。在{（x，t）区域：0<x<He-r（T）-t） ，0<t<t}，我们知道w是HJB方程（2.6）的经典解，HJB方程中的哈密顿量的最大值达到（见（2.13））π*（t，x）=他-r（T）-t） xσ√T- tφΦ-1（xHer（T-t） ). （2.19）替换反馈控制π*（t，x）进入方程（2.1），我们得到财富过程x*tsatis fiesa非线性SDEdXt=rXtdt+He-r（T）-（t）√T- tφΦ-1（XtHer）T-t） )（θdt+dWt）。定义Zt=f（t，Xt），其中f（t，x）=Φ-1（xHer（T-t） ）。伊藤引理=θ√T- t+2（t- t） Ztdt+√T- tdWt。ZT给出了解决方案=√T- TZ√T+θT+WtZ=Φ-1（xHerT）。因此，byX给出了候选最优财富过程*t=He-r（T）-t） Φ（Zt）。从0开始≤ x（t，w）≤ H对于所有t和x，满足解的有界条件。定理2。8确认值函数u（t，x）=w（t，x）和x*是最佳财富过程。备注2.12请注意，最佳财富X*tat时间0<t<t是一个连续的随机变量，而最佳终端时间X*这是一个伯努利随机变量，取值为0和H。我们有p（X*T=0）=Φ-Φ-1（xHerT）- θ√T和w（0，x）=E[U（x*T） ]=HΦΦ-1（xHerT）+θ√T.很容易检查值函数w（0，x）和破产概率P（x*T=0）是H的递增函数，这表明收益和风险正相关。

通过改变H，我们可以在平面上绘制一条曲线，其中一个轴是预期财富，另一个轴是破产概率，这与哈里·马科维茨在1952年提出的著名的均值-方差有效前沿相同。例2.13假设u（x）=x、 0≤ x<HH（x/H）p，x≥ H、 （2.20）其中H>0和0<p<1。Up是一个满足U（0）=0，U′（0）=1和U的连续递增凹函数(∞) = ∞, U′(∞) = 0，U在x=H时是不可区分的，在[0，H]和跛行间隔上也不是严格相关的↓0U（x）=x∧ H.我们可以将U解释为投资者的效用，该投资者希望将绝对投资组合财富最大化至阈值H，然后当投资组合财富大于H时，将U解释为标度幂效用。对偶函数为nByv（y）=H1- ppp1-派普-1{0<y≤p} +H（1）- y） 1{p<y≤1}.一些长而简单的计算表明，对偶HJB方程的解由v（t，y）=H给出ppppy-ppeα（t）p2pΦ(-c+α（t）pp）+Φ（c）-Φ（c）-yΦ（c+α（t））+yΦ（c+α（t））,其中p=1- p、 c=α（t）ln y-α（t）和c=c-α（t）lnp及其对y的偏导数由vy（t，y）=H给出Φ（c+α（t））- Φ（c+α（t））-（y/p）p-1eα（t）p2（p-1)Φ(-c+α（t）p1- p）.最后，我们可以通过w（t，x）=v（t，y（t，x））+xy（t，x）构造HJB方程的光滑解w，其中y（t，x）是方程vy（t，y）+x=0.3收费公路性质和收敛速度的唯一解。在本节中，我们讨论了当t→ ∞ . 对于具有电力效用的默顿问题，最优策略是将固定比例的财富投资于风险资产，称为默顿投资组合。

一般来说，很难找到一个通用设施的最佳策略，但是，如果该设施在财富水平非常高的情况下表现出电力设施的行为，那么，只要投资期限足够长，无论初始财富水平如何，下面的默顿策略仍然可以大致达到最佳值。这被称为收费公路财产，在Huang和Zariphopoulou（1999年）中进行了研究。这里我们不仅用对偶方法给出了一个新的简单证明，而且给出了收敛率的估计。默顿问题告诉我们，最优策略是将固定比例的财富投资于幂效用函数的风险资产。通常很难找到满足（4.6）和（4.7）的一般公用事业的最佳策略，这表明，如果一个人可以建立Turnpike财产，因为他不必找到最佳策略，并且通过以下Merton策略，只要投资期限足够长，仍然可以大致实现最佳价值，这一点很重要。为了简化讨论并强调基本观点，我们在本文的其余部分假设市场由一个利率为r的无风险资产和一个价格满足dS=uSdt+σSdW的风险资产组成，其中W是标准布朗运动，r，u，σ是满足u>r的正常数。考虑以下效用最大化问题：u（t，x）=sup E[u（XT）|XT=x]，其中u满足以下假设：假设3.1 u是[0]上的连续凹增函数，∞), 满足u（0）=0和u（x）≤ C（1+x’p），x≥ 0（3.1）表示某些常数C>0和0<p<1。设u（τ，x）=u（t，x），其中τ=t- t、 时间到了。在本节和下一节中，我们继续用u代替u，用t代替τ，并理解t是一个时间变量。