一类投资模型的收费公路性质与收敛速度

设K=max(-2q，V（δ））和x=lnδ，wehave0≤ ψ（x）：=V（ex）≤Keqx，x<x，K，x≥ x、 （4.5）使用（4.2），我们得到（eαxw（t，x））xe（q-α） 在+qx+1≤√πZ∞-∞E-(η- 2（q）-α） a√（t）η2a√t+αψ（x+a）√tη）eq（x+a）√tη）+qdη。到（4.5），如果x≤ 0ψ（x+a）√tη）eq（x+a）√tη）≤ K（1+e）-质量保证√tη），对于任何η。应用支配收敛定理，我们得到→0vy（t，y）eλtyq-1+ 1= 利克斯→-∞（eαxw（t，x））xe（q-α） 在+qx+1= 0.亨塞利米→0vy（t，y）yq-1+eλt= 0表示任何t>0。这证明了（3.20）对于任何t>0（见备注3.6）。为了证明收敛速度（3.32），我们再次只需要证明条件（3.25）成立。假设（4.4）成立。设置x=min（lnδ，lnδ）和K=max(-2q，V（δ），K）。然后|ψ（x）eqx+q |≤Keαx或x≤ x、 为了x≤ 我们有（eαxw）xe（q-α） 在+qx+1≤K√πZx-xa√T-∞η2a√t+αE-(η+2(α-q） a√t） eα（x+a）√tη）dη+K√πZ∞十、-xa√Tη2a√t+αE-(η+2(α-q） a√（t）1+| q |+e-质量保证√tηdη≤ K（α+| q |+a）√πt）e（（α）-Q-α)-(α-q） 吃αx+K（1+| q |）2a | q|√tM（x）- xa√t+2（α）- q） a√t） +K2a√te（α）-(α-q） ）atM（x- xa√t+2αa√t） +K（1+| q |）N（x）- xa√t+2（α）-q） a√（t）≤ KL（t）（eαx+exa）√t） 式中，L（t）=（α+| q |+a）√πt）e（（α）-Q-α)-(α-q） ）at+（1+| q |+1+2 | q | 2a | q|√t） e4-xa√t、 我们在上一个不等式中使用了（3.19）。注意vy（t，y）yq-1+eλt=eλt[（eαxw（t，x））xe（q-α） 在+qx+1]时，我们选择t=`t并证明（3.25）（见备注3.11）。我们给出了效用U的一个条件，它暗示了条件（4.3）和4.4。推论4.2假设在0<p<1的情况下，U满足极限→∞U（x）pxp=1。（4.6）然后收费公路财产（3.31）持有。如果你满意，对于一些0<p<1，0<a<p，L>0，X>（Lp（p- α） ）α，| U（x）pxp- 1| ≤ 九、-α、 （4.7）对于x≥ X.然后收敛速度（3.32）保持α=α/（1）- p） q=p/（p）- 1).证据我们只需要用q=pp表示（4.3），（4.4）保持-1.定理4.1给出了所需的结论。

因为U是R+上的凹函数，R+是U在x上的超微分∈ R+是一个convexcompact集合，由U（x）={ξ：U（y）≤ U（x）+ξ（y）- x） ，y∈ R+}。U和条件（4.6）的递增性质意味着U（x）是R+和0.6的子集∈ U（x）代表所有x∈ R+。（如果0∈ U（\'x）代表一些\'x∈ R+，然后是U（x）≡ U（`x）代表所有x≥ 与（4.6）相矛盾的x）由（4.6）可知，对于任何0<<1，存在X，因此（1- ）pxp≤ U（x）≤ （1+）pxp或x≥ X。U在X的超微分由U（X）=[a，b]对于某些0<a≤ b<∞. 注意，U（x）是凹的。对于y<a，我们有，对于x≤ X，thatU（X）- xy≤ U（X）+a（X）- X）- xy≤ U（X）- Xy，这意味着v（y）=maxx≥X{U（X）- xy}≤ 马克斯≥X{（1+）pxp- xy}=-q（1+）-P-1yq，前提是y<min（a，（1+）Xp-1），其中q=pp-1< 0. 把yqon两边分开，让lettingy→ 0然后→ 0，我们有→0V（y）yq≤ -q、 类似地，使用（1- ）pxp≤ U（x）代表x≥ X，我们已经知道了→0V（y）yq≥ -q、 我们已经批准了（4.3）。假设（4.7）。允许U（X）=[a，b]对于某些0<a的情况≤ b<∞. 对于y<a，x≤ 十、 我们有你（X）- xy≤ U（X）- Xy。因此我们得到，对于y<min{a，Xp-1+Lp（p- α） Xp-1.-α} V（y）=maxx≥X{U（X）- xy}≤ 马克斯≥X{（1+Lx）-α） pxp- xy}=-qx（y）p+Lp（1+α）- p） x（y）p-α、 式中y=x（y）p-1+Lp（p- α） x（y）p-1.-α、 和x（y）≥ 根据这个关系，我们得出结论：X（y）-α≤ yα1-pandx（y）pyq=（1+Lp（p- α） x（y）-α)-Q≤ 1+L1- p（p- α） （1+Lp（p- α） X-α)-qx（y）-α.因此，V（y）yq+q≤ -q（x（y）pyq- 1） +Lp（1+α）- p） x（y）p-αyq≤Lp（p- α） （1+Lp（p- α） X-α)-q+Lp（1+α）- p） [1+L（p- α)1 - p（1+Lp（p- α） X-α)-q]x（y）-α≤Lp（1+Lp（p- α） X-α)-q[（p- α) + (1 + α - p） （1+L（p- α)1 - p） ]yα1-p、 v（y）yq+qc的下界可以类似地导出。设α=α/（1）- p） 。我们有（4.4）。

备注4.3（4.6）可替换为limx→∞由于标度目标函数的最优交易策略的不变性，对于某些正常数k，U（x）/xp=k（见Remark3.6和推论3.7）。在这种情况下（4.7）被|U（x）/xp取代- k|≤ 九、-x的α≥ X.存在满足（4.6）和（4.7）的更广泛类别的效用函数U，例如，在（3.40）s中定义的U满足p=3/4、k=1和α=1/2的两种条件，从观察结果中可以很容易地看出→ ∞, H（x）~ 十、-1/4和U（x）~ （4/3）x3/4+x1/4。事实上，如果我们定义（x）=U（x）为0≤ x<K，x的xp/p≥ K、 其中，0<p<1，K>0，U满足假设2.1。有很多这样的功能U。其原因是（4.6）和（4.7）仅在财富水平非常高时对效用的限制行为进行限制，但将自由留给其他水平的财富。定理4.4假设V满足→0V（y）英寸y=-1.（4.8）然后收费公路财产（3.31）持有。另外，如果有正常数K，α和δ使得| V（y）+lny |≤ Kyα，y≤ δ、 （4.9）则收敛速度（3.32）成立。证据我们需要展示在q=0的情况下，对于某些t>0的情况，v（t，y）保持的条件（3.20）和（3.25）。Assu me（4.8）。让=。当存在一个δ>0时，对于0<y<δ，0<-lny<V（y）<-ln y.设δ=min（°δ，1）。为了你≥ δ, 0 ≤ V（y）≤ V（δ）。LetK=max（，V（δ））和x=lnδ≤ 0，我们有0≤ ψ（x）：=V（ex）≤-Kx，x<x，K，x≥ x、 （4.10）我们有，由（4.1）eαx+βtw（t，x）x+1=√πZ∞-∞E-（η+2αa）√（t）ψ（x+a）√tη）x+1dη。为了x≤ -1.我们一直都有ψ（x+a）√tη）x≤ K（1+a）√t |η|），η.支配收敛定理→0v（t，y）ln y=limx→-∞eαx+βtw（t，x）x=-1.这意味着→0vy（t，y）y-1= -1对于任何t>0。此外，假设（4.9）成立。

设置δ=最小值（°δ，1，δ）和K=最大值（，V（δ），K），然后为x≤ x:=lnδ，|ψ（x）+x |≤ Keαx，还要注意eβt（eαxw）x+1=√πZ∞-∞η2a√t+αE-（η+2αa）√（t）ψ（x+a）√tη）+（x+a√tη）dη。如果η≥十、-xa√t、 然后我们有| x+a√tη|≤ |x |+x- x+a√tη≤ 2 | x |+a√tη代表x≤ 因此| eβt（eαxw）x+1 |≤K√πZx-xa√T-∞η2a√t+αE-（η+2αa）√t） eα（x+a）√tη）dη+Z∞十、-xa√Tη2a√t+αE-（η+2αa）√t） （1+2 | x |+a）√tη）dη≤ 吉隆坡（t）eαx+exa√T对于一些L（t）。我们选择了t=`t并完成了证明。我们给出了效用U的一个条件，它暗示了条件（4.8）。推论4.5假设满足→∞U（x）lnx=1。（4.11）然后收费公路属性（3.31）保持p=0。如果U满足，对于某些α>0，L>0，X>（αL）α，|U（X）- ln x-1| ≤ 九、-x的α（4.12）≥ 然后收敛速度（3.32）保持不变。证据该证明与推论4.2的证明相同。区别在于用ln x替换pxpb。定理4.6假设V满足，对于一些0<q<1，V（0）<∞, 酸橙→0V（y）- V（0）yq=-q、 （4.13）然后收费公路财产（3.31）持有。此外，如果存在正常数K，α和δ，那么V（y）- V（0）yq+q≤ Kyα，y≤ δ、 （4.14）然后收敛速度（3.32）保持不变。证据我们只需要为v（t，y）显示（3.20），（3.25），在一些t>0和0<q<1时保持不变。假设（4.13）。自V（0）以来∞ V是一个非负的递减函数，我们有0≤ ψ（x）=V（ex）≤V（0）表示所有x。

一个简单的演算表明√πZ∞-∞E-(η- 2（q）-α） a√（t）η2a√t+αV（0）等式（x+a）√tη）dη=0和√πZ∞-∞E-(η- 2（q）-α） a√（t）η2a√t+αqdη=1。因此（eαxw（t，x））xe（q-α） 在+qx+1=√πZ∞-∞E-(η- 2（q）-α） a√（t）η2a√t+αψ（x+a）√tη）- V（0）等式（x+a）√tη）+qdη。条件（4.13）意味着f或a固定>0存在x，对于所有x<x，ψ（x）- V（0）eqx+q< .因此，对于任何η，如果x+a√那么tη<Xψ（x+a）√tη）-V（0）等式（x+a）√tη）+q< 如果x+a√tη≥ 十、 然后ψ（x+a）√tη）- V（0）等式（x+a）√tη）+q≤ 2V（0）e-q（x+a）√tη）+q≤ 2V（0）e-qX+q.上述估计、支配收敛定理和（4.13）给出了所需的极限：limy→0vy（t，y）eλtyq-1=极限→-∞（eαxw（t，x））xe（q-α） at+qx=-1.我们已经批准了收费公路项目（3.20）。此外，如果（4.14）保持不变，则设置x=min（lnδ，x）和K=max（K，，2V（0）e）-qX+q），我们有（eαxw）xe（q-α） 在+qx+1≤√πZx-xa√T-∞E-(η- 2（q）-α） a√（t）η2a√t+αKeα（x+a）√tη）dη+√πZ∞十、-xa√te-(η- 2（q）-α） a√（t）η2a√t+αKdη≤ L（t）（eαx+exa）√t） ，对于一些L（t），这意味着（3.25）。我们已经证明了收敛速度（3.32）。我们给出了效用U的一个条件，它暗示了条件（4.13）。推论4.7假设U满足，对于某些p<0的情况，U(∞) < ∞, 利克斯→∞U（x）- U(∞)pxp=1。（4.15）然后收费公路财产（3.31）成立。如果你满意，对于一些p<0，α>0，L>0，X>（p-α） （p-α-1） p（p-1） ）α，| U（x）- U(∞)pxp- 1| ≤ 九、-α、 为了x≥ 然后收敛速度（3.32）保持不变。证据该证明与C orollary 4.2的证明相同。我们只需要注意V（0）=U(∞)和（1+）pxp≤ U（x）- U(∞) ≤ (1 - ）pxp或x≥ X是由于p<0。其余的都遵循同样的推理规则。备注4.8我们给出了保证收费公路性质和收敛速度的一些充分条件。如果U不满足这些条件，那么我们无法直接确定tur npike属性是否成立，并且需要使用其他方法来检查它。

一个例子是U（x）=x∧ 当x≥ H、 收费公路财产所需的条件。从例2.11中，我们知道，therisky资产的最佳投资金额等于（参见（2.19），并且回想一下，t是本节中的展望时间）A（t，x）=He-rtσ√tφΦ-1（xHert）如果xert≤ 否则为H和0。因此A（t，x）=0表示t→ ∞ 收费公路的财产也不存在。另一个例子是U（x）=1- E-X不满足（4.15）。我们在下一个例子中表明，收费公路不存在。例4.9假设U（x）=1- E-x或x≥ 0和-∞ 对于x<0。U的对偶函数由V（y）=（1+y（lny）给出- 1） ）1{0<y≤1}. 我们有V′（y）=y-1{0<y<1}。Fr om（2.9）我们发现vyy（t，y）=E[V′（yy）~y]=E[y{yy<1}y]其中y=exp-（r+θ）t- θ√tZZ是一个标准的正态变量。这就导致了a（t，x）=θσyvyy（t，y）=θσE[1{yy<1}y]。最后，由于y~y<1和Z>k的等价性：=θ√t（lny）- （r+θ）t），我们有a（t，x）=θσZ∞柯-（r+θ）t-θ√tz√2πe-zdz=θσe-rtΦ(-K- θ√t） 它倾向于0作为t→ ∞. 收费公路的财产不适用。注意，U不是通常意义上的指数效用函数，因为它只定义在正实线上，而不是整个实线上。最优投资组合A（t，x）既依赖于t又依赖于x，而不是像标准指数效用函数那样仅是t的函数。还要注意的是，U的相对风险厌恶系数是R（x）=x，这是一个递增函数，表明U是一个Harar效用，代表一个投资者，随着财富的增加，他将减少投资在风险集合中的财富百分比，这种经济行为显然违反了收费公路的属性。5结论在本文中，我们讨论了具有类似幂函数效用的长期投资者的收费公路性质和收敛速度。我们首先扩展了Bian等人的结果。

（2011）向更一般的公用事业公司展示，并建设性地证明投资问题的HJB方程存在一个平滑的解决方案。我们通过解决一个终端财富最大化问题，并为HJB方程提供一个封闭形式的光滑解，证明了该结果的有效性。然后，我们证明了本文关于效用的对偶函数可微且其导数满足某些增长和极限条件时的tur-npike性质和收敛速度的主要结果。我们用一个相反的例子来说明这些结果。最后，我们列出了一些充分条件，以保证效用函数及其对偶函数的tur-npike性质和收敛速度，同时消除了效用函数的微分性和严格凹性的通常假设。正如评论者所评论的，通过双重价值函数对收费公路财产的评估完全取决于本文中财富过程和几何布朗运动资产价格过程的结构。有趣的是，对于更一般的资产价格过程，如随机波动和L’evy过程，收费公路性质和收敛速度是否仍然成立。这些悬而未决的问题需要进一步的研究和调查。致谢。作者非常感谢匿名审稿人，他的建设性建议和建议帮助改进了前两个版本的论文。参考文献[1]Back，K.，Dybvig，P.H.，罗杰斯，L.C.G.，1999年。投资组合收费公路，金融研究回顾12，165-195。[2] 卞，B.，苗，S.，郑，H.，2011。一类非光滑效用最大化问题的光滑值函数，暹罗J.金融数学。2, 727-747.[3] J.C ox，J.，黄，C.，1992年。一个连续时间投资组合收费公路定理，J。

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