一类投资模型的收费公路性质与收敛速度

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英文标题：
《Turnpike Property and Convergence Rate for an Investment Model with
  General Utility Functions》
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作者：
Baojun Bian, Harry Zheng
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  In this paper we aim to address two questions faced by a long-term investor with a power-type utility at high levels of wealth: one is whether the turnpike property still holds for a general utility that is not necessarily differentiable or strictly concave, the other is whether the error and the convergence rate of the turnpike property can be estimated. We give positive answers to both questions. To achieve these results, we first show that there is a classical solution to the HJB equation and give a representation of the solution in terms of the dual function of the solution to the dual HJB equation. We demonstrate the usefulness of that representation with some nontrivial examples that would be difficult to solve with the trial and error method. We then combine the dual method and the partial differential equation method to give a direct proof to the turnpike property and to estimate the error and the convergence rate of the optimal policy when the utility function is continuously differentiable and strictly concave. We finally relax the conditions of the utility function and provide some sufficient conditions that guarantee the turnpike property and the convergence rate in terms of both primal and dual utility functions.
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中文摘要：
在本文中，我们的目标是解决长期投资者在高财富水平下拥有幂型效用所面临的两个问题：一个是收费公路性质是否仍然适用于不一定可微或严格凹的一般效用，另一个是收费公路性质的误差和收敛速度是否可以估计。我们对这两个问题都给出了肯定的答案。为了得到这些结果，我们首先证明了HJB方程存在一个经典解，并给出了该解的对偶函数表示。我们用一些用试错法难以解决的非平凡例子来证明这种表示法的有用性。然后，我们结合对偶方法和偏微分方程方法，直接证明了收费公路的性质，并估计了当效用函数连续可微且严格凹时，最优策略的误差和收敛速度。最后，我们放松了效用函数的条件，并给出了一些充分条件，以保证收费公路性质以及原始和对偶效用函数的收敛速度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Turnpike_Property_and_Convergence_Rate_for_an_Investment_Model_with_General_Util.pdf (330.5 KB)

2022-5-6 23:17:17 上传

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关键词：收费公路 投资模型 Presentation Differential Quantitative

具有一般效用函数的投资模型的收费公路性质和收敛速度*Harry Zheng+摘要在这篇论文中，我们的目标是解决一个长期投资者在财富水平较高的情况下所面临的两个问题：一个是收费公路财产是否仍然具有不一定可区分或严格凹形的一般效用，另一个是收费公路财产的误差和收敛速度可以估计多少。我们对这两个问题都给出了肯定的答案。为了得到这些结果，我们首先证明了HJB方程有一个经典解，并给出了该解的对偶函数表示。我们用一些用试错法很难解决的非平凡例子来证明这种表述的有用性。然后，我们结合对偶方法和部分微分方程方法，直接证明了收费公路的性质，并估计了当效用函数连续可微且严格凹时，最优策略的误差和收敛速度。最后，我们给出了效用函数的条件，并提供了一些有效条件，以保证收费公路的性质以及在纯效用函数和双效用函数方面的收敛速度。非严格凹效用函数，HJB方程的光滑解，对偶表示，收费公路性质，收敛速度。果冻等级D9，G1*同济大学数学系，上海200092。bianbj@tongji.edu.cn，作者的研究得到了国家自然科学基金11371280号和71090404号的资助。+通讯作者。英国伦敦皇家学院数学系SW7 2BZ。电话：+44 207594 8539。

Hzheng@imperial.ac.uk.1引言turnp-ike属性是金融经济学中的一个经典问题，许多研究人员已经对离散时间和连续时间模型进行了讨论，参见Back等人（1999）和Huang and Zariphopoulou（1999）的论述和文献。众所周知，相对风险规避效用为常数时，投资于风险资产的最佳财富比例是常数。收费公路物业公司表示，如果投资期限足够长，在投资期开始时，对于任何类似于电力公司的效用函数，相同的交易策略都是近似最优的。这种现象的经济学直觉是“当利率严格为正时，当投资期限增加时，任何收益从上方有界的未定权益的现值可以任意变小。因此，投资者在其投资期限开始时，将其财富集中于购买收益从上方无界的未定权益。因此，它是其效用的共有属性。”当财富进入实体时，这一功能决定了他的最佳投资策略。”，见考克斯和黄（1992）。对于幂效用为xp/p的默顿问题，其中p<1是常数，dx>0是投资组合财富，t时刻风险资产的最佳投资量由θx/（σ（1）给出- p） ），财富的恒定比例，其中θ是夏普比率，σ是资产可用性。

对于一般效用U，在t时刻风险资产的最佳投资量由a（τ，x）=-θσux（τ，x）uxx（τ，x），（1.1），其中τ=T- t是到达投资期t的时间，u是非线性偏微分方程（PDE）的解（见（3.2））的值函数，其符号随初始条件u（0，x）=u（x）而改变，前提是u对τ和x是连续可微分的。我们说收费公路性质适用于iflimτ→∞A（τ，x）=θσ（1）-p） x（1.2）表示所有x>0。收费公路性质（1.2）意味着，只要到达地平线的时间τ足够长，在初始财富xas的任何水平上，公用事业U的最优策略与电力公用事业的默顿最优策略相同。在portfoliomanagement中拥有收费公路资产是非常可取的，因为它使投资决策过程简单高效。文献中研究收费公路性质的标准假设之一是，效用u是连续可微且严格凹的。Cox和Huang（1992）使用概率方法证明，如果边际效用（U′）的倒数成立，收费公路属性成立-1满足某些条件。

Huang和Zariphopoulou（1999）利用HJB方程的粘性解方法，建立了边际效用U′在高财富水平下表现为电力效用，并满足其他一些条件时的收费特性。Jin（1998）讨论了一个最优投资和消费问题，并证明了当（U′）为时，收益率在平均收敛（土地收敛）意义下成立-1在起源处是“有规律变化的”，详见上述论文，以及其他模型（主要是离散时间模型）的参考文献。文献中另一个明显缺失的特征是，即使已知tur-npike性质成立，也没有关于收敛率的讨论，也就是说，如果以下不等式成立A（τ，x）-θσ(1 - p） x≤ D（x）e-cτ（1.3）表示一些正常数c和D（x）（见（3.32））。（1.3）的意义在于，它给出了收费公路性质的错误估计，并有助于确定投资期的长度，以达到用默顿最优策略替换最优策略的特定精度。问收费公路性质（1.2）是否仍然适用于一般公用事业（严格递增、连续和凹，但不一定连续可微分和严格凹），以及是否可以建立误差估计（1.3），并计算收敛速度和误差大小，这是很自然和有趣的。我们在这篇论文中的主要贡献是对这两个问题给出积极的回答。据我们所知，在研究收费公路性质的文献中，使用闭合形式c和D（x）进行的误差和收敛性分析是第一次。

在证明这些结果的过程中，我们证明了HJBE方程经典解的存在性，并找到了该解在对偶函数中的表示形式，这是一个独立的兴趣，可以应用于解决许多效用最大化问题的随机控制方法。收费公路性质的讨论可以分解为两个问题：一个是固定的或区域的效用最大化，另一个是投资期限趋于固定时最优策略的限制过程。随机控制理论是效用最大化的标准方法之一。它将动态规划原理和伊藤引理应用于值函数的线性偏微分方程（称为HJB方程）的推导。如果e上的HJB方程有光滑的经典解，可以使用验证定理来确定值函数和最优反馈控制。对于随机控制理论及其在效用最大化中的应用的出色阐述，s ee Fleming and Soner（1993）和Pham（2009）及其引用。价值函数的光滑性是一个非常理想的性质，因为它自然会导致价值函数及其导数的反馈最优控制，尤其是与收费公路性质有关，因为需要研究最优策略的限制行为。然而，除非施加一些条件，例如，财富过程的扩散系数的非椭圆度，否则不能期望HJB方程有一个经典解，这通常是不满足的。众所周知，对于电力公司的HJB方程，值函数有一个封闭形式的解。

当效用是严格凹的、连续可微的、满足某些增长条件，且交易约束集是封闭凸锥时，价值函数是HJB方程的经典解，见Karatzasand Shreve（1998）。对于满足U（0）=0和U的一般连续递增凹效用U(∞) = ∞, Bian等人（2011年）证明，HJB方程存在经典解，如果在最优控制下满足指数矩条件，则值函数是光滑的。为了研究收费公路性质（1.2）和收敛速度（1.3），我们首先将卞等人（2011）的结果推广到更一般的实用程序。我们删除了条件U(∞) = ∞ 正如我们需要解决的那样，效用表现为巨大财富的负权力效用。我们证明了HJB方程存在一个经典解w，并且对于[0，t）×0的子集S中的所有（t，x），w有一个表示w（t，x）=v（t，y（t，x））+xy（t，x），∞), 其中v是对偶HJB方程的光滑解，y（t，x）是方程vy（t，y）+x=0的解（见定理2.6）。然后，我们验证了如果满足解的有界条件或控制的指数矩条件（见定理2.8），wis确实是值函数u。我们用几个例子来说明dual值函数技术。第一个问题是梅顿问题，表明无需使用试错法即可导出值函数（参见示例2.9）。第二个问题是在完全市场模型下用鞅方法研究的一个最终财富最大化问题。我们通过将定理2.6应用于特定的效用函数U（x）=x，得出了相同的结果∧H（见示例2.11）。第三个是具有复杂效用函数的收费公路问题（参见示例3.15）。

示例2.11和3.15中的值函数非常重要，如果不使用建议的求解程序，很难猜测它们的形式。利用HJB方程光滑解u的存在性及其与对偶HJB方程解v的对偶表示，用偏微分方程方法研究了收费公路的性质和收敛率。值函数u是非线性偏微分方程（见（3.2））的解，很难估计。我们将A（τ，x）等效为asA（τ，x）=θσyvyy（τ，y），其中y=ux（τ，x）和v是线性偏微分方程的解（见（3.4）），并且相对容易分析，因为v用v表示，v是U的连续递减凸函数（见备注3.2）。这种转换对于基于ofU的收敛速度的估计至关重要。由于与原始值函数相比，双值函数更易于使用，因此我们在V上施加一些有效条件，以确保收费公路性质和收敛率，然后证明当U在大财富水平上表现为幂效用时，这些条件是满足的（见推论3.7）。定理3.13是本文的主要结果。它指出，如果V是连续可微且令人满意的→0V′（y）yq-1= -对于某些q<1（见（3.20）和备注3.6），则收费公路属性（1.2）适用于p=q/（q）-1） （见（3.31））。此外，如果V满足V′（y）yq-1+ 1≤ 对于一些正常数K，当y接近0时（见（3.25）），则收敛速度（1.3）保持不变（见（3.32））。V的可微性假设可以得到证实。如果V（y）表现为- 当y接近0时，某些q<1时的yq/q，或等效地，当x非常大时，某些p<1时的U（x）表现为xp/p。如果上述极限行为被某些生长条件进一步加强，则收敛速度（1.3）成立。

这些结果在定理3.13和凸分析的次微分演算的帮助下得到了本质上的证明。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们证明了HJB方程经典解的存在性，并给出了解的表示（定理2.6）和验证定理（定理2.8），并举例说明，包括默顿问题（例子2.9）和财富最大化问题（例子2.11）。在第3节中，我们讨论了双重效用连续可微且满足某些增长条件的假设下的收费率性质和收敛率。我们用一个非平凡的例子（例3.15）来说明主要结果（定理3.13）。在第4节中，我们放松了对偶效用的可微性条件，并证明了一些充分条件，这些条件保证了收费公路性质以及原始和对偶效用函数的收敛速度。我们还举了一些例子（备注4.8和示例4.9）来说明收费公路财产可能无法持有的时间。在第5节中，我们得出结论。2平滑的HJB解决方案和价值函数考虑了一个由一个k账户和n个股票组成的金融市场。n个风险资产的价格过程S=（S，…，Sn）由DST=diag（St）（u（t）dt+σ（t）dWt），0建模≤ T≤ t初始价格S=S，其中x是x的转置，diag（St）是一个n×n矩阵，带有对角元素Sit，所有其他元素0、u和σ是时间t的确定连续向量值和非奇异矩阵值函数，分别代表股票收益率和波动率，W是复杂概率空间上的n维标准布朗运动(Ohm, F、 P），由W生成的自然过滤{Ft}加上所有P-空集。无风险利率是一个用r表示的正常数。

财富过程X满足随机微分方程（SDE）dXt=Xt（（πTtb（t）+r）dt+πTtσ（t）dWt），X=X，（2.1），其中b（t）=u（t）- r1是股票超额收益率，1是一个包含所有分量的向量，π是一个满足πt的渐进可测控制过程∈ K、 一个封闭的凸圆锥体，位于北卡罗来纳州福特∈ [0，T]a.e.πT表示投资于风险资产的财富X的比例。如果相应的财富过程X对于所有T a.s.都是非负的，则过程π称为可容许的。在我们的符号中，我们将时间T写在确定性函数（例如，b（T），σ（T））的括号中，以及随机过程（例如，St，πT）的下标中。效用最大化问题由满足（2.1）、（2.2）的upπE[U（XT）]定义，其中U是满足以下条件的效用函数。假设2.1 U是[0]上的一个连续递增凹函数，∞), 满足U（0）=0和U（x）≤ C（1+xp），x≥ 对于某些常数C>0和0<p<1，为0（2.3）。备注2.2与Bian等人（2011年）相比，我们已经删除了条件U(∞) = ∞,对于有限的公共设施，如U（x）=-E-αx大于0或U（x）=x∧ H>0时。我们用C表示一般的正常数。由于所有其他条件与卞等人（2011）中的条件相同，因此该论文的大部分结果仍保持当前设置。我们陈述了主要结果，但仅对不同的部分进行了说明，并将读者推荐给卞等人（2011）以获得所有其他部分的详细证明。U（0）=0可替换为U（0）>-∞.U的对偶函数由v（y）=supx定义≥0（U（x）- xy）（2.4）代表y≥ 0