资本配置的序贯蒙特卡罗采样器

预期短缺：ρ（X）=ESα（X）==> CESi（Xi）=E[Xi | X≥ V aRα（X）]。证明见[33]，第6.3节和其中的参考文献。备注2.5即使X的分布不是连续的，命题2.4仍然有效，但应满足其他技术条件（见[44]和[26]）。2.1层次结构中的欧拉分配这里我们将欧拉分配的概念扩展到银行结构中，如表1.1所示。假设一家银行的结构如图2.1所示，由K个业务单元（B.U.）和每个B.U.（l=1，…，K）中的dlEvent类型（E.T.）组成。在这种情况下，我们定义d=PKl=1LAS应分配资本的单元格总数，X=Pdi=1XIT银行损失，X[l]=Pdlm=1XM，l=1。。。，K.在伦敦大学的损失。。假设银行资本由ESα（X）给出（如定义2.1中所述），那么欧拉原理表明，对于每个B.U.l=1，…，B.U.级别的资本应由E[X[l]|X>V aRα（X）]给出。。。，K.基于copula的风险模型5BankB下资本配置的ToSMC采样器。U.2E。T.1 E.T.2E。T.1B。U.1E。T.2 E.T.3B。尤克。T.2E.T.3E。T.1 E.T.4b b bFig。2.1分层银行结构，k B.U.将第1个单位的计算资本分配到其E.T.我们可以假设该资本是一个（同质）风险度量，定义为ρ（X[l]）=E[X[l]|X>V aRα（X）]。然后，根据欧拉原理，很容易检查第l个B.U.中的第m个E.T.的分配[Xm | X>V aRα（X）]。读者应该注意到，同样的分配可以通过以下方式“启发式”得出。首先，总资本ESα（X）直接分配给每个DE.T.。然后，对于第1个B.U.而言，资本计算为dlE分配的总和。T.在这个单位。

虽然结果可能是相同的，但我们强调第一种方法，因为它是欧拉原理的直接应用（两次）。3从资本配置到条件预期在本节中，我们探讨了以下事实，即使用两种最重要的风险度量来衡量OpRisk，刚刚在欧拉分配原则下描述的资本分配框架可以重新定义为条件预期的计算。这实际上是一个非常有吸引力的结果，因为这意味着可以使用下文详细介绍的专门蒙特卡罗抽样解决方案来估计资本的分配。自始至终，我们假定边际损失过程是连续的随机变量。因此，所有的边际逆分布函数（分位数函数）都是F-1定义明确，且持续不断。此外，可以应用Sklar定理说明损失向量X的依赖结构将由copula函数C唯一确定（有关copula理论的一些结果，请参见附录B）。形式上，向量X的联合cdf和pdf可以写成fx（X）=P[X≤ 十、除息的≤ xd]=C（F（x）。。。，Fd（xd））和fx（x）=cF（x）。。。，Fd（xd）dYi=1fi（xi），其中C和C分别是copula和copula密度。从命题2.4中，我们可以看到基于VaR和基于ES的分配都可以计算为公式cρi（Xi）=E[h（X）|g（X）的期望值∈ A] ，（3.1）对于以下h、g和A的选择：。对于VaR：h（X）=Xi，g（X）=Pdi=1Xi，A=hV aRα（Pdi=1Xi），V aRα（Pdi=1Xi）i；2、对于ES：h（X）=Xi，g（X）=Pdi=1Xi，A=hV aRα（Pdi=1Xi）+∞.6 Rodrigo S.Targino等人指出，在任何实际情况下，α将被选择为接近一个，并且两个条件事件的概率都非常小，即P[g（X）∈ A]≈ 0

更准确地说，这一事件将有可能发生-在ES情况下为α，在VaR情况下为概率零（无论α的选择如何），因为设定的Ais只是一个点。因此，在实践中，在VaR的情况下，可以使用 通过将条件事件设置为-A的球由B给出（A） 根据B（A） =hV aRα（Pdi=1Xi）- , V aRα（Pdi=1Xi）+如果有一些小的阳性反应 在零点附近， ∈n、 e.（0+）。[25]和[18]都提倡这种方法。从风险管理的角度来看，h和g的许多其他选择可能会令人感兴趣。例如，如果有人对衡量投资组合中边际尾部事件的影响感兴趣，可以计算形式E[Pdi=1Xi | Xk>varα（Xk）]的预期，其中h、g和A的选择微不足道。在实践中，除了依赖结构和边际分布（例如[3]）的非常特殊的选择外，（3.1）中的预期的分析表示将不可用，我们需要在一些数值近似中进行排序，以在实践中评估此类数量。有几种与此任务相关的算法，因此，在介绍基于顺序蒙特卡罗（SMC）采样器的解决方案之前，我们回顾了文献中的一些最新建议。3.1计算罕见事件条件预期的模拟方法为了确定在整个工作中使用的符号，在本节中，我们描述了一个基于蒙特卡罗的通用估计量，然后详细介绍了一些与我们提出的方法进行比较的专门方法。重要的是要认识到蒙特卡罗、重要性抽样和基于序贯蒙特卡罗抽样的解决方案之间的差异。

这些是不同类别的解决方案技术，将在下文详细介绍。一般期望E[h（X）|g（X）∈ A] 通过使用条件分布fX（x | g（x）中的一组N加权样本{x（j），W（j）}Nj=1，pnj=1W（j）=1，可以通过蒙特卡罗模拟进行近似∈ A） 。那么，期望值的近似值是[h（X）|g（X）∈ A]≈NXj=1W（j）h（x（j））。例如，如果我们可以直接从X | g（X）的分布中取样i.i.d.实现∈ A（例如，使用拒绝方案）我们将得到W（j）=1/N。不过，一般来说，上述条件分布中的样本并不容易获得，我们需要使用重要抽样分布（与拒绝步骤相结合），相应地计算权重以消除偏差。在这两种情况下，都可以使用拒绝机制，只接受满足条件事件的粒子。然而，如果真的这样做，会导致非常大的排斥率，随着条件反射事件变得越来越少或维度d变得越来越大，这种排斥率会表现得很差。在此设置中，我们感兴趣的调节事件可以定义为[X]∈ GX]，其中GX:={x∈ Rd:g（x）∈ A} ，（3.2）自g（X）起∈ A.<==> 十、∈ GX。考虑到我们的多元损失模型的唯一特征是a总体（通过参数联合分布，显式或隐式地），区域GXin Rd与[0,1]d中的某个区域保持密切关系。如果我们定义：=U∈ [0,1]d：F-1（u）。。。，F-1d（ud）∈ GX（3.3）然后它保持∈ GX<==> U∈ 顾。因此，与无条件多元分布的模拟类似，从X | g（X）∈ A.我们可以。从C中产生一个加权样本{u（j），W（j）}Nj=1，使得u（j）=（u（j）。。。，u（j）d）∈ GUfor allj=1。。。，N2.

返回加权样本{x（j），W（j）}Nj=1，其中x（j）i=F-1i（u（j）i），对于i=1。。。，d、 j=1。。。，N.copula相关风险模型下资本分配的SMC采样器7请注意，我们可以计算关于X的条件预期，如下[h（X）| g（X）∈ A] =EhhF(-1） （u）。。。，F(-d） d（ud）|U∈ 图形用户界面（3.4）≈NXj=1W（j）hF(-1） （u（j））。。。，F(-d） d（u（j）d）. （3.5）显然，如果所有的边际分位数函数-如果已知，那么所提议的方法的困难在于从受约束的copula中采样。Arbenz、Cambou和Hoffert在[1]中独立提出了在约束copula空间中执行采样程序的想法（参见第3.3节中的算法概述），其中重要采样分布旨在针对u | u的分布∈ 顾。在本文中，我们不是针对美国的稀有地区∈ GUwe建议在一个特别设计的SMC取样器程序中，以较少的稀有区域为目标，该程序在第4节和第5节中进行了精确说明。在介绍这些专门算法之前，请简要评论精算文献中基于替代重要性抽样（is）的方法。在这一阶段，我们观察到有许多不同类型的罕见事件模拟算法可用，具体类型的选择主要取决于如何定义样本空间中的“罕见事件”概念。尽管以下关于基于IS的替代解决方案的简要讨论并没有直接针对资本分配中面临的同一类型的多变量罕见事件问题，但它们对讨论具有参考价值，尤其是在相对误差的概念方面。我们还注意到，有几类渐近近似结果可用于资本分配的近似。

例如，为了估计二元结构中形式（3.1）的期望值，[9]假设g（X）的大值对应于h（X）的高值（在它们的情况下h（X）=Xi）。在这些约束条件下，作者使用极值理论（EVT）的结果导出（3.1）的估计量，并研究其一些性质。我们请感兴趣的读者参考[9]中的参考文献，了解此类渐近近似的进一步背景，相反，我们继续关注基于抽样的解决方案。3.2相关蒙特卡罗和重要性抽样方法在高斯连接函数[25]的特殊情况下，提出了一种近似条件期望的IS方案。对于同一系列模型，[43]最近提出了一种基于傅里叶变换的方法来计算边际风险贡献。在[32]中，作者发展了一类满足有界相对误差条件的基于IS的估计量。特别是，他们在单变量框架中估计尾部事件，通过基于指数族构造的分布，这将保证估计尾部泛函中的有界相对误差。他们开发的这类方法围绕着目标分布尾部的指数倾斜，在精算文献中也称为埃舍尔变换或平移。此外，在[32]中，有人认为，对于尾部事件，方差或标准误差是评估算法性能时需要考虑的一个不那么令人满意的数量，而不是以平均值（如相对误差）来衡量的版本。因此，[32]建议考虑相对误差，即估计器标准误差偏差与其平均值之比。

在第5.3节中，我们将在提出的SMC算法的背景下对此概念进行一些讨论。[32]中提出的方法选择IS分布，通过将问题重写为Renyi广义收敛性最小化的解决方案，使稀有概率的相对误差最小化。在几个简单的单变量例子中，我们可以证明，如果以这种方式选择，相对误差是有界的。这很有趣，因为它与其他基于is的方法相反，后者寻求最小化重要性抽样权重方差。[1]最近开发了与我们提出的SMC取样器解决方案最接近的基于IS的解决方案。在详细介绍我们的方法之前，我们先介绍一下这个问题。3.3 Arbenz-Cambou-Hoffert算法与本文提出的采样方法一样，最近在[1]中开发的方法涉及从约束copula给出的目标分布进行采样。这一点尤其重要，因为它为采样带来了方便的有界状态空间，因为当无约束时copula的支持度为[0,1]，因此受约束copula将位于这个超立方体的子空间上。8 Rodrigo S.Targino等人。与我们提出的解决方案不同，[1]的方法涉及开发一个针对受限copula分布的重要抽样（IS）方案。然而，与我们的方法不同的是，他们的方法不涉及任何中间序列的约束区域，这些区域平滑地通向罕见的事件约束。相反，他们试图直接逼近最佳重要性抽样方案。这通常是一项非常具有挑战性的任务，他们有一些有趣的见解。

因此，我们在下文简要介绍了他们的方法，因为这将与我们开发的方法形成直接比较。在[1]中，他们工作的目的是从无条件copula生成一个样本，其中大多数粒子满足（3.3）等条件。为了生成这些样本，重要抽样分布被设计为条件连接的混合。更正式地说，IS分布定义为fv（u）=ZC[λ]（u）dF∧（λ），（3.6），其中C[λ]是u的分布，条件是其至少一个分量超过λ，即C[λ]（u）=P[u≤ UUd≤ ud | max{U，…，ud}>λ]。在[1]中介绍的主要算法中，重要度分布的样本是通过喷射生成的，但也提出了“条件采样算法”。总的来说，他们提出的方法的一个吸引人的方面是，它没有明确地使用copula密度。在copula密度计算成本很高甚至未知的情况下，这可能是有利的。然而，与所有蒙特卡罗方法一样，我们认为，所提出的方法也有缺点，可以通过开发约束copula空间中的顺序蒙特卡罗采样器（SMC采样器）解决方案而不是IS解决方案来克服。在简化U的联合行为的假设下，给出了F∧的最佳分布，但一般来说，选择混合分布F∧的唯一限制是P[∧=0]>0。

从X | X>B中取样，提出的算法之一如下所示。算法1：来自[1]的IS-ACH算法。输入：N：FV的期望样本量；F∧：混合分布（如（3.6）所示）；对于j=1。。。N样本∧（j）~ F∧；样本u（j）~ C直到max{u（j），…，u（j）d}>∧（j）；定义x（j）i:=F-1iu（j）i对于i=1。。。，D计算重要性权重w（j）：=w（u（j）），如第5节[1]中所述；计算归一化重要性权重W（j）=W（j）PNj=1w（j）；定义{eu（jk）}eNk=1为{u（j）}Nj=1的子集，即Pdi=1ex（jk）i>B；最终结果：加权随机样本（随机样本大小）：u（j），W（j）eNj=1；关于算法1，需要强调几点。首先，让E[NV]表示来自C的期望绘图数，以使样本满足max{u，…，ud}>∧。可以很容易地证明（见[1]，引理4.2）E[NV]=Z1- C（λ1）dF∧（λ），其中1=（1，…，1）∈ Rd.因此，要从FV中生成固定大小N的样本，有必要从C中（平均）采样N×E[NV]次。该算法的另一个重要方面是了解以非零权重获得的“粒子”（样本）数量。由于p:=p[λ=0]必然是正的，我们可以确保FvN中的一些样本实际上来自无条件copula C，这意味着p×0.99×100%的粒子预计不会满足条件Pdi=1Xi>V aR0。99（Pdi=1Xi）。对于λ>0，预期会出现相同的行为，在实践中导致toeN（如算法1最后一步中所定义）小于N，并且在与资本配置相关的情况下，这种差异可能是显著的，在资本分配问题中，这种情况在计算成本和效率方面可能是一个严重的问题，这将在第7节中讨论。接下来，我们将介绍一类与所讨论的基于IS的解决方案完全不同的方法。

这些将基于一类算法，该算法将IS解决方案扩展到顺序设置，在统计学文献中称为顺序蒙特卡罗采样器（SMC采样器）。为了理解SMC采样器，我们首先将SMC算法称为SMC算法，然后将其推广到SMC采样器算法类。copula相关风险模型下资本配置的SMC采样器94通过中间集合序列达到罕见事件使用中间集合近似条件密度fX | g（X）的想法∈A（x）是从无条件分布fX（x）开始采样，并通过“不太罕见”集将加权粒子移向稀有条件集。使用上一节中的符号，对于固定函数g和集合a，让{At}Tt=1e一系列嵌套集合收缩为a，即，At 在-1在↓ A、 当t→ T.这个集合序列定义了一个区域序列（如前所述）：GXt:={xt∈ Rd:g（xt）∈ 在}，GUt：=美国犹他州∈ [0,1]d：F-1（ut，1）。。。，F-1d（ut，d）∈ GXt.虽然这是真的∈ GXt<==> 美国犹他州∈ 内脏，含ut=（ut，1，…，ut，d）：=F（xt，1）。。。，Fd（xt，d）我们将在续集中看到，在有界空间[0，1]dwe中工作将在算法设计中具有一些优势。在这个设置中，我们的目标最终是从条件连接词c（uT | uT）中获得（加权）样本nu（j）T，W（j）ToNj=1∈ 然后通过边缘逆cdf进行转换，以便从fX（x | x）获得加权样本∈ GXT）。按照第5.2节中使用的符号，我们定义了每个时间步（水平）t=1。。。，T作为πT（ut）：=c（ut）1{ut∈GUt}（ut）P[ut∈ [内脏]。（4.1）4.1 Copula约束几何在我们形式化从约束Copula中采样的算法之前，我们将研究Copula空间中约束区域的一些性质，定义在（3.2）和（3.3）中，对于g（X）=Pdi=1xind A=[B+∞).