资本配置的序贯蒙特卡罗采样器

其想法是，对限制区域的了解可以帮助我们设计更有效的采样方案。对于不同的限制条件，可以进行类似的分析。在Rd中，我们的兴趣是研究Pdi=1xi=B的点，这些点与[0,1]中的点相同，比如Pdi=1F-1i（ui）=B。很容易看出，这些曲线中的每一条（在Rdor[0,1]d中）都位于a和d中- 一维空间。形式上，这些曲线通过以下映射SEGx定义：=（（x，…，xd）-1) ∈ 研发部-1:（x，…，xd）-B，1-D-1Xi=1Xi），eGU：=U-d:=（u，…，ud）-1) ∈ [0,1]d-1:Uud-1，r（u）-d）, （4.2）其中r（u）-d） ：=FdB-警察局-1i=1F-1i（用户界面）.首先，请注意，如果g是一个一般的连续函数，所有的边缘CDF都是F。。。，F连续那么曲线Egu（定义类似于（4.2））将是连续的。此外，区域GUin（3.3）不是不相交集的并集，而是一个连续区域。在特定情况下，这些区域的一些其他属性可能会被导出。例如，我们知道在线性情况下（g（X）=Pdi=1Xi），[0,1]中的曲线将通过这些点F（B），0。。。，0,0，F（B），0。。。，0, ...,0, ..., 0，Fd（B）.另一个关于曲线的有趣信息是由曲线给出的，如下一个建议所示。命题4.1（4.2）中定义的曲线在（u，…，ud）处是凸的-1，r（u）-d） ）ifhu-Dr（u）-d） u-di>0，U-D∈ 研发部-1，其中hx，yi是x和y的内积f是原始spacex10中f.10 Rodrigo S.Targino等人10 20 40 50 6020 40 60 80 100约束的Hessian矩阵。2 Copula空间中的0.4 0.6 0.8 1.00.2 0.4 0.6 0.8约束10 20 30 50 6020 40 60 80 100原始空间中的约束x1x20。2 Copula空间中的0.4 0.6 0.8 1.00.2 0.4 0.6 0.8约束210 20 30 50 6020 40 60 80 100原始空间x1x20中的约束。2 0.4 0.6 0.8 1.00.2 0.4 0.6 0.8 Copula空间中的约束2图。

4.1参数为2的Frank copula，对数正态边际cdf，两者都具有相同的u=3，σ=0.4，σ=0.6。（顶层）原始空间中的约束，对于B=0,23,46（底层）Copula空间中的约束[0,1]，对于等价级别。在特殊情况下，r（u-d） ：=FdB-警察局-1i=1F-1i（用户界面）Hessianmatrix的一般术语如下所示：Ruj英国（u-d） =fdB-警察局-1i=1xifj（xj）fk（xk），J6=k，j，k=1。。。，D- 1.Ruj（u-d） =fdB-警察局-1i=1xifj（xj）+fdB-警察局-1i=1xifj（xj）[fj（xj）]，j=k，j=1。。。，D- 这里，我们再次使用符号xi=F-1i（用户界面）使上述公式更具吸引力。根据命题4.1，在d=2和X的特殊情况下≥ 0（例如，代表损失）仅由签准（B）确定的图形凹度-x） f（x）+f（B-x） f（x）。这是因为分母是密度函数（非负）的幂，而它是非负的。在图4.1中，我们可以看到，对于不同的约束级别，[0,1]中的曲线呈现不同的形状，从凸区域到凹区域不断变化。5序贯蒙特卡罗方法（SMC）在本节中，我们将介绍称为序贯蒙特卡罗（SMC）的一般算法类，以及罕见事件模拟的一个重要变体，SMC采样器方法类。这一系列蒙特卡罗算法是用来逼近由概率密度函数序列构成的积分序列的。

当然，当兴趣仅存在于一个分布中时，调整是可能的，例如中间事件序列中的终端分布，如第4节中介绍的想法所示。近年来，SMC方法已经出现在工程、概率和统计学领域。这些方法的变体有时出现在粒子过滤或相互作用粒子系统的名称下，例如[40]、[20]、[16]，其理论性质已在[13]、[16]、[11]、[30]中进行了广泛研究。关于该主题的最新调查，重点是经济、金融和保险应用，读者可参考[12]和[18]。有关金融环境中罕见事件的应用，请参见[10]。copula相关风险模型下资本配置的SMC采样器11标准SMC方法的一般背景是，人们想要近似（通常是自然发生的）概率密度函数（pdf）序列eπtT≥1该序列中每个功能的支持定义为支持eπt= Et和Et的维数形成一个递增序列，即dimEt-1.< 暗淡的Et. 例如，读者可以想到E=Rd。。。，Et=Rd×t，这正是整个工作中要使用的顺序。我们还可以假设，eπ仅已知一个归一化常数，eπt（x1:t）=Z-1teft（x1:t），其中x1:t:=（x，…，xt）∈ Et=Rd×t。如第3.1节所述，eπt的近似值由随机样本（也称为“粒子”）的加权和给出。在程序上，我们初始化算法，从分布eπ中采样一组N个粒子，并将归一化权重设置为W（j）=1/N，对于所有j=1。。。，N如果不能直接从eπ中取样，则应从重要性分布eq中取样，并相应地计算其权重（参见算法2）。

然后通过三个主要过程：突变、校正（增量重要性加权）和重采样，粒子依次在序列中的每个分布eπ中传播。在第一步（突变）中，我们从时间t开始传播粒子- 1到时间t，在第二次（校正）中，我们计算粒子的新重要性权重。这种方法可以看作是一系列的IS步骤，其中每个步骤的目标分布为iseft（x1:t）（eπt的非标准化版本），重要性分布由eqt（x1:t）=eq（x）tYj=2Kj（xj）给出-1，xj），（5.1）其中Kj（xj）-1、·）是从时间t开始传播粒子的机制- 1到t，称为突变阶段。该算法的工作方式如下：算法2：标准SMC算法。输入：是密度均衡（正向）变异核Kt（xt）-1，xt）Tt=1；对于j=1。。。，N来自x的样本x（j）~ eq（·）（突变步）；计算权重w（j）=ef（x（j））eq（x（j））；计算归一化权重W（j）=W（j）PNj=1w（j）（校正步骤）；对于t=2。

，T doj=1。。。，N样本x（j）t来自XtXt-1=x（j）t-1.~ Kt（x（j）t-1、·（突变步骤）；创建向量x（j）1:t:=（x（j）1:t-1） ，x（j）t）；计算权重w（j）t=eft（x（j）1:t）eqt（x（j）1:t）=w（j）t-1ft（x（j）1:t）eft-1（x（j）1:t-1） Kt（x（j）t-1，x（j）t）|{z}增量权重：eα（x（j）1:t）；end计算归一化权重W（j）t=W（j）tPNj=1w（j）t（校正步长）。最终结果：加权随机样本x（j）1:t，W（j）tNj=1近似eπt，对于所有t=1。。。，T如果x（j）1:t，W（j）tNj=1是SMC算法返回的一组加权粒子，nnxj=1W（j）t~n（x（j）1:t）-→ Eeπt[~n（X1:t）]：=ZEt~n（X1:t）eπt（X1:t）dx1:t，（5.2）eπt–几乎可以肯定为N→ +∞, 对于任何测试函数，使得eπtexists下的期望值。备注5.1读者应注意，对于通用SMC算法的实现，eπtup到标准化常数的知识是有效的，因为eπtandeft和eπtandeft的权重标准化版本是相同的。12 Rodrigo S.Targino等人[21]对SMC方法中变异核（SMC重要性分布）的最佳选择进行了广泛研究，并对最小化增量重要性抽样权重方差的最佳选择进行了良好的教程回顾。文献中还提供了SMC算法的一系列已知概率属性，用于保险背景下关于这些属性的教程参见[18]。这包括SMC算法的中心极限定理结果、渐近方差表达式、有限样本偏差分解、混沌传播以及有限样本浓度不等式边界的详细信息。

还有一些关于SMC算法的教程，如[21]和[16]的书长覆盖率。5.1重采样和移动粒子在实践中，前一节中介绍的通用算法最终（随着t的增加）将只基于几个不同的粒子，即几乎所有其他粒子都具有可忽略的权重。这种现象被称为粒子简并。为了克服这个问题，当系统太简并时，可以在校正步骤后对所有粒子x1:t重新采样，选择概率与W（j）t成正比的第j个粒子。在[31]中，建议使用有效样本量（ESS）来测量样本简并度，其中：=NXj=1（W（j）t）-1只有当ESSt<M时，才应执行重新采样步骤——根据经验，我们可以设置M=N/2。需要注意的是，在这一步之后，我们需要为所有粒子设置W（j）t=1/N，因为它们是均匀分布的。尽管重采样步骤缓解了简并问题，但在取样器的每个阶段，其连续重新应用都会产生所谓的样品贫化，即不同粒子的数量非常少。在[24]中，有人建议添加一个带有任何内核的移动，以使目标分布相对于它保持不变，从而使系统恢复活力。例如，该核可以是马尔可夫链核，它将从目标分布的等权重样本开始，然后在Metropolis Hastings接受-拒绝机制的单个步骤下对它们进行扰动。

这将保留目标分布，并为粒子云增加多样性。更准确地说，我们可以应用任何内核M（x1:t，x）*1:t）这使得eπt移动粒子x1:ttox*1:t（恒星将表示“移动”步骤后的粒子），即eπt（x）*1:t）=ZM（x1:t，x*1:t）eπt（x1:t）dx1:t。构造这样一个核M的两种最简单的方法是使用吉布斯采样器或Metropolishistings（M-H）算法。为了使用吉布斯抽样算法，完整条件分布eπt（x1:t，i | x1:t，1，…，x1:t，i-1，x1:t，i+1。。。，x1:t，d），对于i=1。。。，d、 必须按比例了解，而M-H则不需要。另一方面，在M-H算法中，需要设计适当的密度Q（x1:t，x）*1:t）移动粒子x1:tOx*1：针对它的某些组件，例如xttox*t、 Gibbs采样器的算法为3。有关Metropolis Hastings和/或CMC方法的更多详细信息，请参见[22]。算法3：吉布斯取样器算法。输入：完整的条件pdf:eπt（x1:t，1 | x1:t，2，…，x1:t，d）。。。，eπt（x1:t，d | x1:t，1，…，x1:t，d）；来自eπt:x1:t=（x1:t，1，…，x1:t，d）的样本；样本x*1:t，1~ eπt（x1:t，1 | x1:t，2，…，x1:t，d）；样本x*1:t，2~ eπt（x1:t，2 | x*1:t，1，x1:t，3。。。，x1:t，d）；。。。样本x*1:t，d~ eπt（x1:t，d | x）*1:t，1。。。，十、*1:t，d-1) ;结果：eπt:x的新样本*1:t=（x）*1:t，1。。。，十、*1:t，d）；将重采样和“移动”步骤纳入通用SMC算法中，会产生“重采样移动”算法，该算法首次出现在[24]中，随后在SMC文献中广泛使用。SMC算法的通用类虽然在实践中广泛使用，但不能直接应用于本工作中解决的问题，因为序列（4.1）中的所有分布都是在相同的支持下定义的，即Et=E，而不是Et=E×。。。

根据刚刚描述的SMC算法的要求。copula相关风险模型下资本配置的SMC采样器13为了克服这个问题，下一节将介绍这种方法的一个特殊变体，名为SMC采样器。5.2 SMC Sampler提出了SMC类算法，相比之下，我们现在提出的SMC类算法涉及与SMC算法相同的机制，也在每次迭代中使用变异、校正和重采样阶段。然而，SMC采样器算法的类别在确定采样分布序列的空间中有着重要的不同。与第5节不同，我们现在感兴趣的是近似概率分布的一般序列{πt}Tt=1，即supp（πt）=supp（πt-1） =E对于所有t=1。。。，T（人们可能再次想到E=Rd）。在这里，我们还可以假设我们的目标分布仅已知一个归一化常数，即πt（xt）=Z-1英尺（xt）。为了清楚起见，放大空间中的功能将用aupper tilde、aseft:Et表示-→ R.[37]和[17]中提出的想法是将这个问题转化为一个类似于通常公式的问题，其中目标分布序列{eft}Tt=1定义在产品空间上，即supp（eft）=e×e×。。。x E=Et。ft（路径空间中的密度）的构造为：eft（x1:t）=ft（xt）eft（x1:t）-1 | xt），对于t=2。。。，T（5.3），其中eft（x1:T-1 | xt）是空间Et上的概率分布-1.无论如何∈ E.与（5.1）类似，我们可以在时间t进行重要性分布的构造。如[37]和[17]所述，这是一个明智的选择-1 | xt）由eft（x1:t）给出-1 | xt）=t-1Ys=1Ls（xs+1，xs），其中每个LSI表示（人工）后向马尔可夫核的密度。

需要注意的是，通过构造，eft（x1:t）允许ft（xt）作为边缘，因为ZEFT（x1:t）dx1:t-1=ft（xt）Zt-1Ys=1Ls（xs+1，xs）dx1:t-1=英尺（xt），t>1。此外，如果EFTADMITS FTA为边缘，则放大密度的标准化常数将与原始密度相同：Zeft（x1:t）dx1:t=Z Zeft（x1:t）dx1:t-1dxt=Zft（xt）dxt=Zt。现在我们回到上一节的SMC框架，我们可以很容易地编写SMC算法（算法4）。此外，第5.1节中的重采样移动策略仍然可以使用。5.2.1反向内核选择引入内核序列{Lt-1} Tt=2在SMC采样器中创建了一个新的自由度，与通常的SMC算法相比，后者只需设计前向变异核{Kt}Tt=1。在本节中，我们将讨论在给定核{Kt}Tt=1的情况下，如何优化反向核{Lt]的选择-1} Tt=2。用qt（xt）表示时间t的边际重要性分布，由qt（xt）=Zeqt（x1:t）dx1:t给出-1=Zq（x）tYj=2Kj（xj-1，xj）dx1:t-1.（5.4）在我们知道如何精确计算qt的情况下，我们可以通过加权样本{x（j）t，W（j）t}来近似目标分布，其中xt~ qt和WT是WT的标准化版本：=ft（xt）qt（xt）。从QT的定义可以看出，如果很容易从qand和所有内核中取样，那么从QT中取样是很简单的。另一方面，如果我们是14 Rodrigo S.Targino等人算法4:SMC采样器算法，QT的密度将是可处理的。输入：是密度q，（正向）变异核Kt（xt）-1，xt）Tt=1，（人工）向后内核书信电报-1（xt，xt-1)Tt=1，移动内核Mt（bxt，xt）；对于j=1。。。，N来自x的样本x（j）~ eq（·）（突变步）；计算权重w（j）=ef（x（j））eq（x（j））；计算归一化权重W（j）=W（j）PNj=1w（j）（校正步骤）；对于t=2。

，T doj=1。。。，N样本x（j）t来自XtXt-1=x（j）t-1.~ Kt（x（j）t-1、·（突变步骤）；使用（5.3）和（5.1）计算权重w（j）t=eft（x（j）1:t）eqt（x（j）1:t）=w（j）t-1ft（x（j）t）Lt-1（x（j）t，x（j）t-1） 英尺-1（x（j）t-1） Kt（x（j）t-1，x（j）t）|{z}增量权重：α（x（j）t-1，x（j）t）；计算归一化权重W（j）t=W（j）tPNj=1w（j）t（校正步长）；如果ESSt<N/2，那么对于j=1，。。。，N doResamplebx（j）t=x（k）twith prob。W（k）t（重采样步骤）；样本x（j）t~ Mt（bx（j）t，·）（移动步）；设置W（j）t=1/N；endendendResult：加权随机样本x（j）t，W（j）tNj=1近似πt，对于所有t=1。。。，T能够解决边缘化积分（t- 1维）——在实践中，这种情况很难出现。向后核的引入{Lt-1} Tt=2帮助我们（在大多数实际情况下）避免计算qt。另一方面，自从Eqt和Eqt分别承认FTA和QTA边缘，Lemma5。2告诉我们需要付出的代价：重要性权重方差的增加。幸运的是，同样的引理为我们提供了一些关于如何优化选择反向内核的见解。引理5.2设f（x，x）和g（x，x）是supp（f）的两个概率密度 补充（g）。