具有固定名义利率的ASR合同的最优执行

因为这个问题是一个纯粹的最优执行问题，只依赖于过去（qn）, 一), 我们可以假设购买这些股票的成本是迷- qn锡+ l迷- qn,功能在哪里l 代表一种风险流动性溢价，用于说明执行成本和时间之后执行过程中的风险（见下面的备注2和[9,10,13]）。银行面临的优化问题由sup（v，n）给出)∈AE-经验-γF- Xn-迷- qn锡- l迷-qn,其中A是一组可接受的策略，定义为：A=n（v，n)v=（vn）0≤N≤N-1is（F）-自适应，ρVn+1≤ 越南≤ ρVn+1，n是a（F）-停止时间取N值∪ {N} o，其中γ是银行的绝对风险规避参数。备注2。为了与预期效用框架保持一致，惩罚函数l 应该与q股的不同价格联系起来（实际上是qS的形式）+l（q） ）。表达l 已在[9]中的连续时间模型中给出。如果我们假设在tn之后执行如果参与率不变，我们也可以考虑l 与参与率ρ（见[10]）清算相关的风险：l（q） =L（ρ）ρ| q |+γσ6ρV | q |，其中V是市场交易量过程的平均值。这是我们在本文中考虑的功能——另请参见[13]。合同中有时会施加此类约束。3.定价和最优策略3。1贝尔曼方程解决这个问题需要确定银行的最佳执行策略和最佳停止时间。为此，我们使用动态规划。

我们介绍了值函数（un）0≤N≤定义人：un（x，q，S，A）=sup（v，n)∈阿内“-经验-γF- Xn，x，vn-范，A，Sn- qn，q，vn!Sn，Sn- l范，A，Sn- qn，q，vn!!!#,式中，Anis是时间tN的容许策略集，定义为：An=n（v，n)v=（vk）n≤K≤N-1is（F）-自适应，ρVk+1≤ vk≤ ρVk+1，na（F）-停止时间取（N）中的值∪ {N} )∩{n，…，n}o，其中状态变量定义为0≤ N≤ K≤ N和k>0，通过：Xn，x，vk=x+k-1Xj=nvjSn，Sj+1δt+LvjVj+1！Vj+1δtqn，q，vk=q+k-1Xj=nvjδtSn，Sk=S+σ√δtk-1Xj=nj+1An，A，Sk=nkA+kk-1Xj=nSn，Sj+1。备注3。事实上，当n=0时，函数unis独立于A。然后可以直接证明值函数由命题1：命题1的递归方程表征。富国家族（un）0≤N≤上面定义的是贝尔曼方程的唯一解：un（x，q，S，A）=-经验-γF- 十、-FA- Qs- lFA- Q如果n=n，则为最大值联合国，n+1（x，q，S，A），-经验-γF- 十、-FA- Qs- lFA-Q如果n∈ N、 ■un，N+1（x，q，S，A）否则，其中■un，N+1（x，q，S，A）=supρVn+1≤五、≤ρVn+1Ehun+1Xn，x，vn+1，qn，q，vn+1，Sn，Sn+1，An，A，Sn+1i、 我们现在的目标是简化这个问题，以便用数值计算出一个解。“解决方案”指的是两种不同的东西：（i）最优执行和最优停止的最优策略；（ii）ASR合同的价格。对于第二个问题，我们使用了差异价格的概念（见下文）。3.2为了建立一个更简单的方程组，我们引入了变量的变化：un（x，q，S，a）=-经验(-γ (-x+qS- θn（q，S，A）））然后，函数（θn）用命题2：命题2的递推方程表征。

（θn）nsatis fies：θn（q，S，A）=F沙特阿拉伯- 1.+ lFA- Q如果n=n，最小值θn，n+1（q，S，A），F沙特阿拉伯- 1.+ lFA- Q如果n∈ N、 θN，N+1（q，S，A）否则，式中θN，N+1（q，S，A）=infρVn+1≤五、≤ρVn+1γlogE“exp-γqσ√δtn+1- LvVn+1Vn+1δt-θn+1q+vδt，S+σ√δtn+1，nn+1A+n+1S+n+1σ√δtn+1!!#!.备注4。如上f或u所述，θ独立于A，我们写θ（q，S）而不是θ（q，S，A）。变量的这种变化以及相关的递归方程表明，问题的维数可以从5降到4。事实上，变量x不再出现在函数（θn）n中。在[14]中，同样在[12]中，作者设法将问题的维数从5降到3，对于股份数固定的ASR合同。他们确实分别考虑了推理和推理- S而不是这对夫妇（A，S）。在固定的概念ASR的情况下，由于Payoff（术语fa）中的额外凸性，这种降维不再可能，需要解决的问题是维度4。为了找到最优策略，该方法首先递归求解（θn）n的方程∈ N、 如果θN，N+1（q，S，A）>F，则执行该选项沙特阿拉伯- 1.+ lFA- Q. 在不行使期权的情况下，最优策略是按v的大小排序*δt，其中v*是θn，n+1.3.3价格和策略定义中的最小值：stakeIn的影响除了问题维度的降低，前面介绍的变量变化的主要利益在于函数（θn）和ASR合同的差异之间的联系。根据定义，ASR合同的差异是提供给银行的现金（正或负）金额，以区分接受和不接受ASR合同。

从数学上讲，它由∏：=infnp定义sup（v，n）)∈啊-经验-γp+F- X0,0，vn-FA0，S，Sn- q0,0，vn!S0，Sn- lFA0，S，Sn-q0,0，vn!!!#≥ -1o。价格和函数（θn）之间的联系由以下命题给出：命题3。π=θ（0，S）。当∏为正时，这意味着执行成本和银行承担的风险成本大于银行与合同中嵌入的期权相关的潜在收益。相反，如果∏为负值，银行会对期权进行充分估值，以补偿执行成本和与执行策略相关的风险。备注5。实际上，当一家公司想要回购股票时，愿意参与交易的银行之间会发生竞争（银行为∏≤ 0). 然而，与其提出最多相当于-第二，银行建议对平均价格进行折扣。优化问题是：sup（v，n)∈AE“-经验-γF- X0,0，vn-F（1）- β） A0，S，Sn-q0,0，vn!S0，Sn-lF（1）- β） A0，S，Sn- q0,0，vn!!!#.从数学角度来看，这个问题与原来的问题非常相似。然而，最大回扣是β*定义为β*:= sup（β≤ 1 | sup（v，n)∈AE“-经验-γF- X0,0，vn-F（1）- β） A0，S，Sn- q0,0，vn!S0，Sn-lF（1）-β） A0，S，Sn- q0,0，vn!!!#≥ -1） ，无法直接计算。nalso函数（θn）能够理解执行策略和停止时间选择的不同影响。为此，让我们扩展θn的表达式（为了简单起见，我们省略了上标）。

正如附录B所证明的，我们有：θn（q，S，A）=inf（v，n）)∈γlogE“exp-γσ√δtn-1Xj=nqj-jn迷j+1 |{z}风险项I+nn（A）- S） 扇子|{z}传播术语！-N-1Xj=nLvjVj+1！Vj+1δt |{z}流动性项I- l迷-qn|{z}运动后风险流动性术语！！#！。为了理解不同的影响，我们必须区分期权行使前和行使后的情况。时间之前, 银行在市场上回购股票。至于所有执行问题，有一个执行成本部分和一个风险部分：（i）银行根据其对市场的参与率支付执行成本（这是“流动性条款i”），以及（ii）银行面临价格波动。然而，由于支付的形式，风险部分被边缘化。当股价上涨时，银行以更高的价格购买股票，但可购买的股票数量（FA）减少。同样，反过来说，当股价下跌时，银行会以更低的价格购买股票，但购买的股票数量会增加。与固定数量的ASR合同的情况相反，在固定名义ASR的情况下，套期保值只是部分的：“风险期限I”不能使用适当的策略设置为0。时间过后, 执行成本类似，但风险不再部分对冲：这是“行权后风险流动性术语”（需要选择l 请参阅备注2）。上述分析与回购股份的执行过程有关。就期权而言，当S低于A时，银行有行使期权的动机，因为随着A向S移动，A会机械地上升。现在不行使期权的成本不知何故由“利差条款”决定。因此，我们看到，当S低于a时行使，以最终交付更少的股份，与不过早执行，以（部分）对冲与执行过程相关的风险之间存在权衡。

这意味着，当股价下跌时，为了减少对冲而加快购买过程，当股价上涨时，则会减慢购买过程（甚至是出售股票）。4.数值方法和实例4。1.基于树的方法为了数值求解这个问题，我们引入了基于树的方法。该方法使用atree对价格差异进行建模。对于树中的每个节点，通过时间索引和价格S进行索引，我们将计算网格上函数θn（·，S，·）的值。树的结构我们认为创新（n）n≥1具有以下分布：n=+2有概率+1有概率0有概率，-1.概率，-2.概率。我们为n介绍∈ {0，…，N}，对于ζ∈ {0，…，4n}函数Θζn定义为：Θζn（q，A）=θnq、 S+σ√δt（ζ）- 2n），A.根据命题2，函数族Θζn满意度：ζn（q，A）=FS+σ√δt（ζ）- 2n）A- 1!+ lFA- Q如果n=n，最小值ζn，n+1（q，A），FS+σ√δt（ζ）- 2n）A- 1!+ lFA- Q如果n∈ N、 ΘζN，N+1（q，A）否则，其中ΘζN，N+1（q，A）=infv∈[ρVn+1，ρVn+1]γlogE“exp-γqσ√δtn+1- LvVn+1Vn+1δt-Θζ+（n+1+2）nq+vδt，nn+1A+n+1S+σ√δt（ζ）- 2n）+n+1σ√δtn+1!!#!.这种方法不同于[12]中使用的方法，在[12]中，节点由排列索引- A.选择的分布与标准正态分布的前四个矩相匹配：E[n]=0En= 1En= 0En= 3.功能Θζnn、 ζ在网格上递归计算。每个索引（n，ζ）对应于五项树的一个节点。（q，A）-grid的结构在树的每个节点上，我们计算（q，A）的Θζn（q，A）的值∈ Gq×GA，其中Gq是formnknq的网格-1qmax | k∈ {0，…，nq- 1} 这里是f-ormnS+ξ的网格克纳-1.-σ√Nδt | k∈ {0, . . .

，不- 1} o.对于每个网格，我们需要选择网格中的点数（nqand nA）和网格的宽度（链接到qmax和ξ）。交付的股份数量与比率有关。因此，它不是有界的，我们需要为a选择一个最小值Nσδt，考虑A的值在一系列形式中是很自然的-ω√σ√Nδt，S+ω√σ√Nδt其中ω是我们想要保持的标准偏差数。实际上，我们选择ξ=√ω=3，即大约2.6个标准差。然后，qmax考虑一个值qmax是很自然的，这与A的下界一致财政司司长-ξσ√Nδt.在我们的数值方法中，我们考虑了网格上执行策略的优化，即：△ζN，N+1（q，A）=minqtarget∈[q+ρVn+1δt，q+ρVn+1δt]∩GqγlogE“exp-γqσ√δtn+1- L目标- qVn+1δtVn+1δt- Θζ+（n+1+2）nqtarget，nn+1A+n+1S+σ√δt（ζ）- 2n）+n+1σ√δtn+1!!#!.备注6。实际上，如果（Vn）是一个常数过程，最好在q网格上有ρVδt和ρVδt。为了计算上一个等式中的最小值，因此为了计算Θζn，n+1（q，A），我们需要Θζ+（n+1+2）n的值qtarget，A′forA′=nn+1A+n+1S+σ√δt（ζ）- 2n）+n+1σ√δtn+1。由于A′不必位于网格GA上，我们使用自然三次样条插值，如果必要，我们在域外线性外推f函数（对于A）。确定最优策略使用上述递归方程，我们可以近似函数（θn）n的值。此外，在时间的每一步，对于我们计算其值的元组（q，S，A）的每一个组合，我们可以很容易地计算出最优策略。我们得到q*目标来自允许计算Θζn，n+1（q，A）的最小化程序。如果Θζn，n+1（q，A）>FS+σ√δt（ζ）- 2n）A- 1!+ lFA- Q,如果我们被允许运动，那么我们就行使选择权。

否则，我们将发送一份大小为q的订单*目标- 向市场提问。4.2示例4。2.1参考场景我们现在转向数值方法在示例中的实际应用。我们考虑以下参考案例，它对应于CAC 40指数的主要或股票的四舍五入值。本案例将在本文其余部分使用。股票参数oS=45EURσ=0.6EUR·天-1/2，相当于大约等于21%的年波动率V=4000万股·天-1.oL（ρ）=η|ρ| 1+φ，η=0.1欧元·存量-1·天-1和φ=0.75。ASR合同参数oT=63天提前行使期权的一组可能日期为N=[22,62]∩ N.oF=90万欧元。银行参数o参与率受ρ=-25%，ρ=25%。o风险规避率γ=2.5×10-7EUR-1.o l 如备注2所述。换句话说，在期权被行使后，我们假设执行以25%的恒定参与率进行。数值方法的参数oqmax=2500000支股票。onq=201.oξ=3，对应于ω 2.6标准偏差nA=21。我们首先从三个例子开始，对应于价格的三条轨迹。图1中的第一个例子对应于一个增长趋势，因此股价高于平均水平。如前一节所述，在这种情况下，没有理由提前行使期权（点对应于行使期权的日期）。0 10 20 30 40 600 5 10 15 20时间库存q（百万股）30 40 50 60价格最优策略图1：价格主要上涨时的最优策略。第二个例子，如图2所示，对应于股票价格围绕其平均值振荡。我们看到，正如预期的那样，当股价下跌时，购买过程会加速，当股价上涨时，购买过程会减速。

我们甚至看到，随着价格上涨，购买过程可能会变成销售过程。其基本原理是套期保值，可以在我们称为“风险期限I”的术语中看到：Pn-1j=nqj-jn迷j+1。随着价格的上涨，我们预计最终将购买的股票数量会增加（也就是说) 减少行使日期（即tn) 比最初想象的要晚。因此迷为了达到相同的风险水平，q必须下降。在第二个例子中，我们还看到期权在接近到期时行使。0 10 20 30 40 50 600 5 10 15 20时间库存q（以百万股计）30 40 50 60价格最优策略图2：价格主要波动时的最优策略。由于最优策略会导致买卖股票，了解当我们迫使银行使用只买策略时会发生什么是很有趣的。如果我们施加ρ=0，我们将得到图3中的最佳策略，该策略在本质上是不同的。0 10 20 30 40 50 600 5 10 15 20时间库存q（以百万股计）30 40 50 60价格购买-仅策略无约束策略图3：价格主要波动时的最优策略（ρ=0）。我们考虑的第三个轨迹对应于价格下降（见图4）。在这种情况下，银行相当迅速地购买股票，并尽快行使期权，尽管它尚未购买所需数量的股票。通过行使期权，该行希望实际上避免A股的自然减少，从而导致其必须购买的sh股数量增加。0 10 20 30 40 50 600 5 10 15 20时间库存q（以百万股计）30 40 50 60价格最优策略图4：价格主要下跌时的最优策略。除了最优策略外，我们还可以在参考案例中计算已执行的ASR合同的价格∏。

这里，这个价格是负的，因为我们发现∏=-10669023 -1.185%F.这意味着，在效用方面，与ASR合同的期权性部分相关的收益足够重要，足以补偿（在效用方面）合同的执行成本和风险。在我们强制使用只购买策略的情况下，我们得到∏=-10330135 -1.148%F.4.2.2比较静力学为了了解主要参数的作用，我们进行了比较静力学。我们通过参数η关注股票的流动性，通过σ关注股票价格的波动性，以及风险规避参数γ。执行成本的影响考虑到执行成本，我们考虑我们的参考案例，参数η有3个值：0.01、0.1和0.2。我们关注第二个价格轨迹（图5），因为它很好地展示了η的作用：股票的流动性越高，出于对冲目的，股票的往返次数就越多。0 10 20 30 40 50 600 5 10 15 20时间库存q（以百万股计）30 40 50 60价格ETA=0.01eta=0.1eta=0.2F/A图5：价格主要波动时的最佳策略，不同的η值。价格差异如下：η0.01 0.1 0.2∏F-1.254% -1.185% -1.117%正如预期的那样，股票的流动性越高，差异性就越低：购买过程本身的成本确实更低，往返股票对冲风险的成本也更低。让我们来看看波动的影响。我们考虑参考案例中的三个参数σ值：0.3、0.6和1.2。这关系到两个方面。一方面，股票的波动性越大，我们称之为“风险期限I”和“行权后风险流动性期限”的期限的大小就越重要。