具有固定名义利率的ASR合同的最优执行

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英文标题：
《Optimal execution of ASR contracts with fixed notional》
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作者：
Olivier Gu\\\'eant
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Be it for taking advantage of stock undervaluation or in order to distribute part of their profits to shareholders, firms may buy back their own shares. One of the way they proceed is by including Accelerated Share Repurchases (ASR) as part of their repurchase programs. In this article, we study the pricing and optimal execution strategy of an ASR contract with fixed notional. In such a contract the firm pays a fixed notional $F$ to the bank and receives, in exchange, a number of shares corresponding to the ratio between $F$ and the average stock price over the purchase period, the duration of this period being decided upon by the bank. From a mathematical point of view, the problem is related to both optimal execution and exotic option pricing.
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中文摘要：
无论是为了利用股票低估的优势，还是为了将部分利润分配给股东，公司都可以回购自己的股票。其中一种方式是将加速股份回购（ASR）作为回购计划的一部分。本文研究了具有固定名义利率的ASR合同的定价和最优执行策略。在这种合同中，公司向银行支付固定的名义上的美元F$，作为交换，公司收到相当于购买期内美元F$与平均股价之间比率的若干股份，购买期的持续时间由银行决定。从数学角度来看，该问题既与最优执行有关，也与奇异期权定价有关。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Optimal_execution_of_ASR_contracts_with_fixed_notional.pdf (269.69 KB)

2022-5-7 00:26:16 上传

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关键词：名义利率 ASR Shareholders Mathematical Quantitative

具有固定概念的ASR合同的最优执行*Olivier Guéant+无论是为了利用股票低估的优势，还是为了将部分利润分配给股东，企业都可以回购自己的股份。他们采取的一种方式是将加速股份回购（ASR）作为回购计划的一部分。在本文中，我们研究了具有固定概念的ASR合同的定价和最优执行策略。在这种合同中，公司向银行支付固定的名义F，并作为交换，收到与购买期内的平均股价之间的比率相对应的若干股份，该期间的期限由银行决定。从数学角度来看，该问题与最优执行和期权定价有关。关键词：最优执行，ASR合同，最优停止，随机最优控制，效用差异定价。1简介企业回购自身股份的传统方式是通过公开市场回购计划（OMR）。然而，如[4]所述，在他们宣布打算回购股份后，有相当一部分公司没有承诺他们的初始计划。股票价格或流动性的意外冲击可能确实会促使回购计划放缓、推迟甚至取消。为了做出可信的回购股份承诺，越来越多的投资者加快了与投资银行的股份回购合同。加速份额*这项研究是在欧洲金融研究所赞助下，由汇丰银行法国分行资助的研究计划“Marchés FinanciarsáHautefreéquence”的支持下进行的。

作者想感谢Nicolas Grandchamp des Raux（汇丰法国）、Charles Albert Lehalle（CFM）、Jiang Pu（欧洲金融研究所）和Mathieu Rosenbaum（UPMC）就这个话题进行的讨论。+巴黎狄德罗大学、数学研究院、雅克·路易斯·利昂斯实验室、，gueant@ljll.univparis-狄德罗。FRP私下协商回购和自行投标仅占回购总额的百分之几——见[7]。回购合同有几种类型，我们传统上区分固定股数的ASR和固定名义ASR。对于固定股数（Q）的ASR，合同如下：1。在时间t=0时，银行从s股东（通常是机构）处借入Q股，并将该股交给该公司，以交换固定金额的Q股，其中Q股为时间t=0时股票的市值（MtM）价格。然后，银行必须在市场上逐步回购Q股，将Q股返还给初始股东，并从空头仓位转换为流动仓位；2.银行是一个多头期权，有支付Q（Aτ）-S） （该公司缺少该选项），其中ATI是0到t之间的平均价格（实际上是收盘价的平均值或每日VWAP的平均值），其中τ由银行在一组特定日期τ中选择，τk。因此，公司最终平均支付已回购Q股的价格Aτ。在固定的名义ASR和名义F的情况下，合同如下：1。在t=0时，银行从股东处借入Q股——通常Q=αFS，其中α∈ [0,1]通常在80%左右，并将固定金额F交换给企业；2.合同中嵌入了一项期权：当银行在日期τ行使该期权时（该日期由银行在一组指定日期τ中选择。

，τk），有一个转移因子τ- Q银行和公司之间的股份，因此公司获得的实际股份数量为FAτ。因此，该公司支付F，并最终获得SFAτ股份。如上所述，本行还将逐步在市场上购买股票，将Q股返还给初始股东。这些合约的定价和对冲都是数学问题，用经典的衍生品定价理论无法令人满意地解决。当t=0时，银行持有该股票的空头头寸，并将在几周到几个月的时间内在市场上购买野兔。因此，公共关系问题同时也存在于预付ASR和固定股数的情况下。在许多情况下，尤其是在欧洲，股份不是在合同开始时交付的，而是在合同结束时交付的。虽然在这种情况下股份回购不会加速，但如果我们忽略融资和利率问题，合同的定价和对冲是相同的。在t=0后，通常有几周的潜伏期，在此期间不能行使期权。如上所述，我们只讨论p前援助合同。后付费合同也存在。α的选择很小，因此转移几乎总是从银行转移到企业，即FAτ≥ 问：在下文中，我们隐含地假设结算是从银行到企业的。最优执行问题和期权定价问题：对于固定股份数量的ASR，现金结算的具有Bermudean行权日期的奇异期权；对于固定名义ALAR，物理结算的具有Bermudean行权日期的奇异期权。忽视GYA和次优GYA之间的相互作用会导致错误定价。

此外，由于这些期权的名义/名义价值较大，因此必须考虑执行成本，我们根据文献提出了一个关于最优执行的框架，以最优地定价和执行这些合同。文献中已经使用最优执行工具解决了名义价值较大的衍生产品的定价问题。罗杰斯和辛格[19]认为，执行成本在执行量上不是线性的（与执行量成比例），而是严格凸的，以考虑流动性影响（与交易成本定价的文献相反，例如参见[17]）。他们考虑了一个目标函数，该函数将执行成本和到期时的均方套期保值误差均化。在这个接近平均方差的框架中，他们得到了当非流动性成本很小时，普通期权最优套期保值策略的一个封闭形式近似值。此外，Li和Almgren[18]受到最近在几只美国股票上观察到的锯齿模式（见[15,16]）的激励，认为这是一种既有永久性影响又有暂时性影响的模型。在他们的模型中，他们假设执行成本是二次的，并考虑了常数Γ近似。利用另一个目标函数，他们得到了看涨期权套期保值策略的封闭形式表达式。最后，盖恩特和普在[11]中提出了一种方法，在基于效用的框架下，在对市场影响的一般假设下，对普通期权进行定价和对冲。

他们特别考虑了实物结算和现金结算两种情况。然而，ASR合同的情况比普通期权的情况要复杂得多，因为支付不是典型的欧洲支付，而是一种具有亚洲和伯穆德特征的奇异支付，而且因为要解决的问题既是期权定价/对冲问题，也是最佳执行问题。经济学家们已经讨论了ASR合同在不同的回购方式中的作用（例如参见[4,7]）。然而，有关加速股份回购合同的数学文献相当有限，而且是最近才出现的。关于这个主题的第一篇论文是Jaimungal、Kinzebulatov和Rubisov[14]的一篇有趣的论文。作者关注的是固定股数的ASR合同。为了找到最优购买策略，他们提出了一个连续时间模型，该模型具有以下特点：股票价格采用扰动几何布朗运动建模（扰动考虑了永久市场影响），执行成本与原始Almgren-Chriss模型相同[1,2]，可能的锻炼日期范围为[0，T]（因此该产品是美国的，而不是伯穆丹）。对于风险中性的代理人，最优策略见[14]，尽管作者在[5,6]中增加了库存惩罚。[14]的主要兴趣在于，作者设法将问题简化为三变量偏微分方程，而初始问题是在维度5中。特别是，它们表明，行权边界仅取决于到期时间以及股票价格与其自成立以来的平均价值之间的比率。Guéant、Pu和Royer也在不同的模型中考虑了固定股数的ASR合同（见[12]）。在这个离散时间模型中，在预期效用框架中考虑了一个风险规避主体。

如[14]所述，永久性市场影响被认为是正常的，但股票价格被认为是正常的，而不是对数正常的。此外，如[9]所示，执行成本的一般形式是允许的，执行日期是一组固定的日期之一。与[14]一样，[12]中的模型可以归结为一组包含三个变量的方程：时间、要购买的股票数量，以及当前股票价格与时间t=0后的平均价格之间的差异。文献[12]提出了一种基于快速树的数值方法。我们在本文中提出的模型受[12]的启发。特别是，我们使用了相同的预期实用程序框架。然而，由于我们关注的是固定概念ALSAR合同的具体情况，因此不可能再将问题简化为三维问题。特别是，无法使用[12]中提出的原始基于树的方法来数值逼近最优策略。在第2节中，我们介绍了无永久市场影响的模型框架。如[12]中所述，该模型是离散时间的，我们最终用递归Bellman方程对最优购买/对冲策略进行了表征。在第3节中，我们将介绍这些贝尔曼方程，以及变量的变化，以降低问题的维数（从5降到4）。我们还介绍了ASR合同的不同之处。在第4节中，我们提出了一种涉及树和样条线的数值方法来近似问题的解，并给出了一些例子。

永久市场影响的介绍见附录A.2模型和贝尔曼方程的设置。我们从投资银行为客户回购股份的角度考虑固定名义ASR的定价和定价。在本文中，ASR合同的概念A将用F表示，合同的到期日将用T表示。我们考虑的模型是一个离散时间模型，其中每个时间段（长度δt）对应一天。换句话说，如果间隔[0，T]对应于N天，我们假设在T=0<…<tn=nδt<…<tN=Nδt=t。为了引入随机变量，我们引入了概率空间Ohm, （Fn）0≤N≤N、 P,如果过滤满足通常的假设。所有随机变量都将在此概率空间中定义。就价格而言，我们从初始价格开始，我们认为价格的动态由以下公式给出：N∈ {0，…，N- 1} ，Sn+1=Sn+σ√δtn+1，其中n+1是Fn+1-可测的，其中随机变量（n）被假定为i.i.d.，平均值为0，方差为1。我们还假设这些变量有一个定义在R+上的矩生成函数。树不是重组的，但节点数是时间段数的三次函数。合同的机制在上一节解释。模型中可以引入[8]中所述的线性永久市场影响——见附录A。

然而，我们相信，在ASR合同的情况下，交易中几乎没有信息，因此几乎没有永久性的市场影响，因为回购计划通常在实际发生之前宣布。根据所考虑的加速Sh are回购合同的确切支付，SNAP可被视为该期间的每日VWAP[tn-1.tn.（n）≥ 1） ，或第n天的收盘价。进入ASR合同中支付定义的平均价格过程由（An）n表示≥1:An=nnXk=1Sk。为了购买股票，我们假设银行每天都会发送一份当天执行的订单。在时间tn时，银行发送的订单的大小由vnδt确定，其中流程（vn）被认为是适应的。因此，在市场上回购给初始股东的股份数量由以下公式得出：（q=0qn+1=qn+vnδt）。银行为回购股份支付的价格[tn，tn+1]被假定为Sn+1plus执行成本；执行成本由函数L建模∈ C（R，R+）满足以下假设：oL（0）=0，oL严格凸，偶且在R+上增加，oL渐近超线性，即：limρ→+∞L（ρ）ρ=+∞.银行持有的现金由p过程（Xn）0建模≤N≤定义人：X=0Xn+1=Xn+vnSn+1δt+LVN+1Vn+1δt，其中Vn+1δt是该时期的市场容量[tn，tn+1]。我们假设过程（Vn）是F-可测的。备注1。在应用中，L通常是一个幂函数，即L（ρ）=η|ρ| 1+φ，φ>0，或形式为L（ρ）=η|ρ| 1+φ+ψ|ρ|，φ，ψ>0的函数。换句话说，每股执行成本的形式为η|ρ|φ+ψ，其中ρ是参与率。

Almgren等人在[3]中估算了这种形式的临时市场影响函数的系数。σdep的值以S代表的值结束。如果S为VWAP建模，我们隐含地假设银行已发送VWAP订单。如果S模型关闭价格，我们隐含地假设银行已发送目标关闭订单。为了使该模型切合实际，我们还假设，与可用流动性相比，银行不能买卖太多股份。换句话说，我们施加ρVn+1≤ 越南≤ ρVn+1，其中ρ可以是任意一个符号。然后我们引入一个非空集N {1，…，N- 1} 对应于银行可以选择行使该选项的时间（以骰子为单位）/∈ N因为银行在时间T没有选择：如果事先没有进行结算，则在时间T进行结算）。实际上，这个集合的形式通常是{n，…，n- 1} 其中n>1。当银行决定行使期权时，或在到期时，如果期权尚未行使，则进行合同结算。我们用n表示∈ N∪{N} 这一次与和解相对应。在时间tn, 银行送货员-Q向公司出售股份，然后银行必须恢复流动头寸。总的来说，银行将不得不购买风扇- qn时间过后的股份.