具有固定名义利率的ASR合同的最优执行

另一方面，σ越大，银行的期权越有价值。在价格方面，我们看到第一个影响占主导地位，因为∏是σ的一个增加的作用。我们还发现σ是ASR合同价格的一个非常重要的驱动因素。σ0.3 0.6 1.2∏F-2.163% -1.185% -0.605%的风险规避效果我们继续进行风险规避。我们考虑我们的参考情况，参数γ有4个值：0,2.5×10-9, 2.5 × 10-7和2.5×10-图6显示了γ对价格主要波动的第二条股价轨迹的最优策略的复杂影响。我们看到的第一件事是，当γ=0时，银行每天购买几乎相同数量的股份，这些变化是由于拟购买的目标股份数量的变化（asA振荡）。同样重要的是要理解，银行bu的股份代替等待的原因是，我们考虑在执行日期后以25%的参与率执行。在风险规避代理人的情况下，我们看到不同的行为取决于风险规避的水平，因为有几种不同的影响。这种随机性确实存在于执行过程和购买股票的数量中。一方面，风险规避鼓励在S低于A时行使期权，以降低后一种风险。然而，在一定程度上减少了前一种风险被部分对冲的时间。对冲更重要的风险类型取决于γ的价值。这就是为什么我们在最优策略中观察到如此多的差异。

因此，选择与银行想要承担的风险相对应的γ值非常重要。0 10 20 30 40 50 600 5 10 15 20时间库存q（以百万股计）30 40 50 60价格伽马=0伽马=2.5E-9gamma=2.5E-7gamma=2.5E-6F/a图6：在不同的γ值下，当价格主要振荡时的最佳策略。我们可以把结果推广到γ=0的情况。这是涉及预期效用的模型中的一个经典问题。在优化执行（例如在Almgren-Chriss模型中）和资产管理（例如在Markowitz方法中，或在Merton模型中）中经常遇到这种情况。然而，非常清楚的是γ对ASR合同价格的影响：银行越厌恶风险，就越不重视与企业签订ASR合同。γ 0 2.5 × 10-92.5 × 10-72.5 × 10-6∏F-1.499% -1.490% -1.185% -0.468%结论本文是对一篇关于定价的新文献的贡献，该文献的灵感来自于非最优执行的文献。具体而言，我们在本文中提出了一个模型，用于描述和计算银行与企业签订固定名义ASR合同的最佳策略。我们的离散时间模型能够模拟与ASR相关的执行问题与作为合同一部分的亚洲/伯穆德安期权之间的相互作用，而经典方法将这两个问题分开。除了提供非最佳策略外，我们还为合同确定了一个不同的价格。

我们开发的用于近似解的数值方法在实践中运行良好，提供了优化策略和价格。附录A：引入永久性市场影响在上述设置中，市场影响只是暂时的，归结为执行成本。在这里，我们简要介绍了如何推广之前的模型，以便引入线性形式的永久市场影响（参见[8]了解线性形式市场影响的基本原理）。在本附录中，我们假设Sn+1是第n天的收盘价，ASR合同支付的平均价格是收盘价的平均值。投资组合的动态是相同的：（q=0qn+1=qn+vnδt）。然而，价格的动态受银行策略的影响：N∈ {0，…，N- 1} ，Sn+1=Sn+σ√δtn+1+kvnδt，其中附加术语意味着当银行购买股票时价格上涨，当银行出售股票时价格下跌，如经典的Almgren Chriss fr amework中所述。我们确实认为，在ASR合同的情况下，交易几乎没有永久性影响，因为回购合同通常是提前宣布的。平均价格仍然是N=nnXk=1Sk。如果我们假设大小vnδt的顺序在区间[tn，tn+1]上均匀执行（在连续时间Almgren-Chriss模型中），这将导致现金账户的以下动态：Xn+1=Xn+Sn+1vnδt- LVN+1Vn+1δt-k（qn+1）- qn）-σvnδt√′n+1，其中（（k，′k））kare i.i.d.随机变量，矩母函数定义在R+，E[（k，k）]=0和V[（k，k）]=√√.备注7。术语k（qn+1）-qn）来自这样一个事实，即为股票支付的价格的预期值是Sn和Sn+k（qn+1）之间的平均值-qn）。

噪声项σvnδt√′n+1对应于这样一个事实，即当价格n+1为收盘价时，我们在一天内逐步且均匀地执行。永久性的市场影响也必须考虑在股票上市后支付的价格. 为此，我们更换l（q） 由l（q） +kq。因此，银行面临的优化问题变成了：sup（v，n)∈AE“-expF- Xn-迷- qn锡-K迷- qn- l迷- qn!#.这个问题可以用Bellman方程递归求解：un（x，q，S，A）=-经验-γF- 十、-FA-Qs-KFA- Q- lFA- Q如果n=n，则为最大值联合国，n+1（x，q，S，A），-经验-γF- 十、-FA-Qs-KFA- Q- lFA- Q, 如果n∈ N、 ■un，N+1（x，q，S，A）否则，其中■un，N+1（x，q，S，A）=supv∈热润+1Xn+1，qn+1，Sn+1，An+1i、 如果我们定义（x，q，S，A）=-经验(-γ (-x+qS- θn（q，S，A）），命题2中θn的递推方程变成：θn（q，S，A）=F沙特阿拉伯- 1.+KFA- Q+ lFA- Q如果n=n，最小值θn，n+1（q，S，A），F沙特阿拉伯- 1.+KFA- Q+ lFA- Q如果n∈ N、 θN，N+1（q，S，A）否则，式中θN，N+1（q，S，A）=infρVn+1≤五、≤ρVn+1γlogE“exp-γqσ√δtn+1+kvqδt+σvδt√′n+1+kvδt- LvVn+1Vn+1δt- θn+1q+vδt，S+kvδt+σ√δtn+1，nn+1A+n+1S+n+1kvδt+n+1σ√δtn+1！！！#！。在这种情况下，S和A需要使用样条曲线近似。

因此，从数值的角度来看，这个问题稍微复杂一些，但我们的框架甚至可以用于建立永久性市场影响模型的情况。附录B：命题2的证明：n=n的情况很简单。当n<n和n/∈ N、 我们有：θN（q，S，A）=γ对数- supρVn+1≤五、≤ρVn+1E联合国+1Xn，x，vn+1，qn，q，vn+1，Sn，Sn+1，An，A，Sn+1!- x+qS=infρVn+1≤五、≤ρVn+1γlogE“exp-γ-Xn，x，vn+1+x+qn，q，vn+1Sn，Sn+1- qS- θn+1qn，q，vn+1，Sn，Sn+1，An，A，Sn+1!!#!= infρVn+1≤五、≤ρVn+1γlogE“exp-γ-v（S+n+1）√δt）δt- LvVn+1Vn+1δt+（q+vδt）（S+σn+1）√δt）- qS- θn+1q+vδt，S+σ√δtn+1，nn+1A+n+1S+n+1σ√δtn+1!!#!=θn，n+1（q，S，A）。对于最后一个案例，我们以同样的方式进行。命题3的证明：根据定义，我们-exp（γ∏）=u（0，0，S）=-exp（γθ（0，S））。结果就是这样。θn表达式的证明：我们有：un（x，q，S，A）=-经验(-γ (-x+qS- θn（q，S，A））=sup（v，n)∈阿内-经验-γ-Xn，x，vn-范，A，Sn- qn，q，vnSn，Sn- l范，A，Sn- qn，q，vn= sup（v，n）)∈阿内-经验-γ-Xn，x，vn+ qn，q，vnSn，Sn+范，A，Sn安，A，Sn- Sn，Sn- l范，A，Sn- qn，q，vn.现在，根据定义：-Xn，x，vn+ qn，q，vnSn，Sn= -十、-N-1Xj=nvjSn，Sj+1δt-N-1Xj=nLvjVj+1Vj+1δt+qn，q，vnSn，Sn= -x+qS+σ√δtn-1Xj=nqn，q，vjj+1-N-1Xj=nLvjVj+1Vj+1δt.因此：θn（q，S，A）=inf（v，n）)∈γlogE“exp-γσ√δtn-1Xj=nqn，q，vjj+1+扇，A，Sn安，A，Sn- Sn，Sn-N-1Xj=nLvjVj+1Vj+1δt- l范，A，Sn- qn，q，vn!!#!.现在，简单的计算结果是：An，A，Sn- Sn，Sn=nn（A）-（S）- σ√δtn-1Xj=njnj+1。因此，我们得到：θn（q，S，A）=inf（v，n）)∈γlogE“exp-γσ√δtn-1Xj=nqn，q，vj-jn范，A，Snj+1+nn（A）- S） 范，A，Sn!-N-1Xj=nLvjVj+1Vj+1δt- l范，A，Sn- qn，q，vn!!#!.参考文献[1]R.Almgren和N.Chriss。清算中的价值。风险，12（12）：61-631999。[2] R.Almgren，N.Chriss，投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，2001年3月5日至40日。[3] 阿尔姆格伦，C。图姆，E。

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