金融网络中系统性风险的最优监控与缓解

4.绿线是最小默认值数与C的函数关系图。蓝线是通过重新加权计算得出的解l=0.001δ=10的极小化算法-6.该算法使用六种不同的初始化：五个随机数和w（0）=1。在这六种解决方案中，选择了默认值最少的一种。红线是由贪婪算法计算的解。从图4可以明显看出，两种算法产生的结果都非常接近最优算法。贪婪算法在C=1000点之外的整个C范围内都达到了最优。当C=1000时，最佳策略是向根节点注入1000美元，而贪婪算法向NK1注入10美元。对于k=1，2，···，100.3.3示例：核心-外围网络第三，我们在一个简单的核心-外围网络上测试我们的算法，因为核心-外围模型广泛用于模拟银行系统[21，24，37，16]。在图5中，i、ii和iii是三个核心节点。节点i向节点ii和iii各欠100美元，节点ii向节点iii欠100美元。每个核心节点连接10个外围节点，每个外围节点向其核心节点欠20美元。系统中没有外部资产，因此，在没有外部现金注入的情况下，除了节点iii之外，所有节点都处于默认状态。如果现金注入量为C<100，最佳解决方案是选择任何[C/20]外围节点，并给每个节点20美元。这将默认值的数量减少[C/20]。如果100≤ C<200时，我们首先选择核心节点ii的任意五个外围节点，每个节点20美元，因为这样可以节省节点ii和这五个外围节点。然后我们选择任何其他[（C- 100）/20]外围节点，每人20美元。

这将使默认值的数量减少[C/20]+1。如果200≤ C<600，我们首先使用200美元拯救核心节点i的所有10个外围节点，节省i、ii，这些100美元100美元100美元20美元2010节点20美元20美元20美元20美元20II10节点图5：核心外围网络拓扑。50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600051015205303540救助金额C重新加权的违约次数l1最小化贪婪最小化最优解图6：我们的算法，用于最小化网络办公室的默认值与最优解的数量。5.10外围节点。然后我们选择任何其他[（C- 200）/20]外围节点，每人20美元。这将使违约次数减少[C/20]+2。如果C≥ 600美元，则可以通过向每个外围节点提供20美元来拯救所有节点。综上所述，对于这种核心-外围网络结构，作为现金注入量C函数的最小违约次数Nd为：Nd（C）=32- [C/20]如果C<100,31- [C/20]如果100≤ C<200,30- [C/20]如果200≤ C<600,0如果C≥ 600.（11）在图6中，绿线是作为C函数的最小默认数的曲线图。蓝线是通过我们的重新加权计算得出的解l=0.001δ=10的极小化算法-6.使用六种不同的初始化运行算法：五种随机初始化，w（0）=1。在六种解决方案中，选择了默认值最少的一种。红线是贪婪算法计算的解。如图6所示，重新称重后的结果l在整个C范围内，算法非常接近最优算法。

请注意，对于贪婪算法，性能5核心节点：每个核心节点完全连接20个外围节点：1个到核心节点的链接图7：随机核心外围网络，以比较重新加权后的性能l算法和贪婪算法。取决于救援具有相同未付责任金额的节点的顺序。例如，如果greedyalgorithms首先拯救核心节点iii的外围节点，则性能会很差。3.3.4示例：三个随机网络我们现在比较重新加权的网络l极小化算法是贪心算法，它使用更复杂的网络拓扑，其中最优解很难直接计算。我们构造了三种类型的随机网络，它们都有外部资产向量e=0。第一个是arandom图，有30个节点。对于任何一对节点i和j，lij都是零，概率为0.8，并且在[0,2]中以概率0.2均匀分布。第二个是图7所示的随机核心-外围网络。核心包含完全连接的五个节点。从一个核心节点到每一个其他核心节点的责任在[0,20]中统一分配。每个核心节点有20个外围节点。每个外围节点只欠其核心节点钱。这笔钱在[0,1]中均匀分布。第三种是随机的核心-外围网络，由外围节点链组成。如图8所示，核心包含五个完全连接的节点。从一个核心节点到另一个核心节点的责任在[0,20]中均匀分布。每个核心节点有20个连接到它的外围链，每个链由单个外围节点（短链）或3个外围节点（长链）组成。每个核心节点要么只有连接到它的短外围链，要么只有连接到它的长外围链。有两个核心节点，外围链很长。

每个长链上的负债金额相同，并且均匀分布在[0,1]中。每个短链上的负债金额也在[0,1]中统一分配。对于这三个随机网络中的每一个，我们从分布中生成100个样本，并运行这两个样本l每个样本网络上的最小化算法和贪婪算法。在重新称重l最小化算法，我们设置=0.001，δ=10-6.我们使用六种不同的初始化来运行算法：五种随机初始化，w（0）=1。在这六种解决方案中，选择了违约次数最少的一种。结果如图所示。9、10和11。蓝色和红色实线表示两种算法分配的现金注入后默认节点的平均数量：蓝色表示重新加权的节点l5个核心节点：为每个核心节点完全连接20个外围链：1个到核心节点的链接图8：带有长链的随机核心-外围网络，以比较重新加权的l算法和贪婪算法。5 10 15 20 25 30 35 40 45 500510152025欠费金额空置率违约次数重新加权l1最小化±2标准错误快速算法±2标准错误图9：两种最小化默认值的启发式算法：随机网络评估。贪心算法的最小化和红色。虚线显示了平均值估计值的误差条。每个误差条为±两个标准误差。从图9中，我们可以看到重新加权后的性能l该算法与随机网络上的贪婪算法非常接近。从图10和图。

11.我们发现，在随机的核心-外围网络上，greedyalgorithm的性能优于加权算法l算法，而在随机的带有链的核心-外围网络上，重新加权l算法更好。3.4最小化加权未付债务和违约节点权重总和的线性组合我们现在调查问题III，它是问题I和问题II的组合。我们不只是最小化未付债务的加权和或违约节点的数量，而是考虑一个目标函数，它是违约节点上的权重和加权总和10 15 20 25 30 35 40 45 5001020304050607080救助金额CAverage违约重新加权的数量的线性组合l1最小化±2标准错误快速算法±2标准错误图10：最小化默认数的两种启发式算法：对随机核心外围网络的评估。5 10 15 20 25 30 35 40 45 50020406080100120140救助金额违约次数重新加权l1最小化±2标准错误快速算法±2标准错误图11：最小化默认数的两种启发式算法：长链随机核心外围网络的评估。未付负债的比例：D=wT（`p- p） +sTd，如表1所示，di=I\'pi-pi>0是一个二进制变量，指示节点i是否默认，Si是节点i默认值的权重。由于D相对于p是严格递减的，所以[20]中的引理4意味着最小化D将产生一个可观的支付向量。鉴于这一事实，我们证明了在固定注入现金量C下最小化D等价于一个混合整数线性规划。定理2。假设负债矩阵L、外部资产向量e、权重向量w>0和s>0以及现金注入总额C是固定且已知的。

假设系统使用了比例支付机制，没有破产成本。定义如表1所示。然后采用最优现金分配策略，使成本函数D=wT（`p）最小化- p） +sTd可通过求解以下混合整数线性规划得到：maxp，c，dwTp- 标准（12）受toTc约束≤ C、 （13）C≥ 0, (14)0 ≤ P≤\'p，（15）p≤ πTp+e+c，（16）π- 圆周率≤ 对于i=1，2，··，N，（17）di∈ {0，1}，对于i=1，2，···，N.（18）证明。让（p*, C*, D*) 是混合整数线性规划（12–18）的解。我们首先表明，p*isa清算支付向量，即对于每个i，我们有p*i=\'PIP或p*i=NXj=1∏jip*j+ei+ci。假设某个节点k不是这种情况，即p*k</PK和p*k<NXj=1∏jkp*j+ek+ck。我们构造了一个向量p，它等于p*在除第k个分量以外的所有分量中。我们将p的第k分量设为pk=p*k+，其中>0小到足以确保pk<pk和pk<NXj=1∏jkpj+ek+ck。由于∏isa矩阵具有非负项，对于任何i6=k，我们有：pi=p*i<NXj=1∏jip*j+ei+ci<NXj=1∏jipj+ei+ci。此外，“pk”-pk<\'pk-P*K≤ “pkdk。因此，（p，c*, D*) 也在（12–18）的可行范围内，并且实现了比（p*, C*, D*). 这与（p*, C*, D*) is第18-12号决议。因此，p*是一个结算支付载体。其次，我们证明了d*i=i’pi-P*i> 0。如果“pi”- P*i> 0，然后是d*由于约束条件（17）和（18），i=1。如果“pi”- P*i=0，则约束（17）始终为真。在这种情况下，si>0意味着，为了最大化目标函数，d*我必须是零。因此，d*i=i’pi-P*i> 0。到目前为止，我们已经证明了p*和d*分别是现金注入向量c的清算支付向量和默认指标向量*. 我们现在用矛盾的方法证明c*是最佳的现金注入地点。

假设c′6=c*导致成本函数D的值比c的值小得多*. 在另一个例子中，M+1M+22M…e=01P2PMP图12：定理3证明中使用的金融网络。对于这个网络，全有或全无支付机制下的问题I是一个背包问题。换句话说，假设c\'满足约束条件（13）和（14），并且相应的清算支付向量p\'和默认指标向量d\'满足wT（\'p- p′）+sTd′<wT（\'p- P*)+ 性病*, 这相当于：wTp′- sTd′>wTp*- 性病*.由于p′是对应的清算支付向量，满足约束条件（15）和（16）。此外，d′是对应的默认指标向量，满足约束条件（17）和（18）的c′。所以（c′，p′，d′）在（12-18）的可行域内，并且实现了比（p′）更大的目标函数*, C*, D*), 这与事实相矛盾（p*, C*, D*) 是（12-18）的解。4全有或全无支付机制我们现在证明，在全有或全无支付机制下，问题I是NP难的。尽管如此，我们通过模拟表明，对于与美国银行系统规模相当的网络规模，这个问题可以在个人计算机上使用现代优化软件在几秒钟内解决。定理3。在全有或全无支付机制下，问题I可以归结为背包问题，这意味着问题I是NP难的。证据考虑图12所示的网络。该网络有N=2M个节点，其中M为正整数。我们让Li，M+i=\'pii=1，2，··，M；对于所有其他对（i，j），我们将Lij设置为0。我们将externalasset向量设置为零：e=0。我们将所有权重设置为1:w=1。我们让xibe作为节点i的救援指标变量，即，如果i处于默认状态，xi=0，如果i完全获救，xi=1，对于i=1，··，M。注意，在全有或全无支付机制下，对于任何i=1，···，M inFig，完全拯救节点i。

12表示注入ci=`pi。另一方面，注入任何其他非零金额ci都是浪费，因为它不会减少系统中未付债务的总额。因此，对于每个defaultingnode i，我们有xi=0、ci=0和pi=0，对于每个获救节点i，我们有xi=1、ci=\'pi和pi=\'pi。由于现金注入导致的未付债务总额减少isMXi=1xi’pi。我们必须选择x以最大化该金额，但要受预算约束tmxi=1xipi的限制≤ 也就是说，在完全解救的节点上花费的现金注入总量不得超过C:maxxMXi=1xi\'pi（19）subject toMXi=1xi\'pi≤ C、 xi∈ {0，1}，对于i=1，2，···，M。如果剩余现金，可以在剩余节点之间任意分配，或者根本不花费，因为部分拯救节点不会导致目标函数的任何改进。程序（19）isa背包问题，一个著名的NP难问题。因此，在图12的网络的全有或全无支付机制下的问题I（可以简化为（19））是一个NP难问题。我们现在建立一个混合整数线性规划来解决问题I，采用全有或全无支付机制。定理4。假设负债矩阵L、外部资产向量e、权重向量w>0和现金注入总额C是固定且已知的。假设采用全有或全无的支付机制。那么问题I等价于下面的混合整数线性规划：maxp，c，dwTp（20）subject toTc≤ C、 （21）C≥ 0，（22）π=°π（1）- di），对于i=1,2，··，N，（23）π-NXj=1∏jipj- 工程安装- 词≤ 对于i=1，2，··，N，（24）di∈ {0，1}，对于i=1，2，···，N.（25）证明。让（p*, C*, D*) 是混合整数线性规划（20–25）的解。我们首先表明，p*结算支付向量是否对应于c*.

对于节点i，如果pi>NXj=1∏jip*j+ei+ci，然后从约束条件（24）和（25）得出d*i=1，所以p*i=0。如果“pi”≤NXj=1∏jip*j+ei+ci，则di=0和di=1都满足约束（24）。在这种情况下，为了使目标函数最大化，必须是d*= 0和p*i=\'pi。这就完成了p*结算支付向量是否对应于c*在全有或全无的支付机制下。通过第二个矛盾，我们证明*是最优配置。假设c′导致未付债务的较小权重之和，或相当于wTp′的较大值，其中p′是对应于c′的清算付款向量。由于p′是一个清算支付向量，如果'pi>NXj=1∏jip′j+ei+c′i1  oE F 70便士我伊恩 F! “#$%c&\'（）*+，-1链路t./023456789：图13：一个核心-外围网络。那么p′i=0；如果`pi≤NXj=1∏jip′j+ei+c′ithen p′i=\'pi。我们将向量d′定义为d′i=0，表示p′i=’平面d′i=1。然后（p′，c′，d′）位于MILP（20–25）的可行区域，但导致目标函数的值大于（p*, C*, D*). 这与（p*, C*, D*) 是（20–25）的解。4.1数值模拟为了求解MILP（20），我们使用CVX，一个用于指定和求解凸规划的包[33,32]。各种先前文献（例如[51]）表明，美国银行间网络被很好地建模为一个核心外围网络，由大约15家高度互联的银行组成，大多数其他银行都与之相连。因此，我们在图13所示的核心-外围网络上测试运行时间。它包含15个完全连接的核心节点。每个核心节点有70个外围节点。每个外围节点都有一个指向相应核心节点的链接。每个节点都没有外部资产：e=0。所有的义务都是独立的均匀随机变量。

对于每对核心节点i和j，倾角均匀分布在[0,10]中。对于核心节点i及其外围节点k，倾角LKI均匀分布在[0,1]中。对于核心节点i，我们将权重wi设置为10；对于外围节点k，我们将权重wk设置为1。对于这个核心外围网络，我们生成了100个样本。我们使用2.66GHz Intel Core2 Duo处理器P8800在个人电脑上运行VX代码。平均运行时间为1.9秒，样本标准偏差为2.0秒。解的目标和最优目标之间的相对差距小于10-4.（该界限是通过计算相应线性规划目标的最佳值获得的，这是MILP最佳目标值的上限。）我们可以看到，对于核心-外围网络，MILP（20）可以通过CVX高效准确地求解。CVX代码在附录B.5随机资本模型中给出。在前面的章节中，我们假设外部资产向量e是监管机构已知的确定性向量。然而，一些应用，如压力测试，需要对各种不同的意外事件进行预测和规划。这种应用需要使用节点资产数量的随机模型。在这种情况下，我们的目标是解决问题I的随机版本，其中e被建模为arandom向量。假设我们能够有效地获得该向量的独立样本。其余参数-p、∏和w-仍被认为是确定的和已知的，并在上一节中进行了定义。根据引理1，使未付债务的加权和最小化的清算支付向量是e和c的函数，我们将其表示为p*（e，c）。如果e是一个随机向量，那么sois p*（e，c）。